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Appunti di Fisica 2

Queste note sono state scritte da me in seguito alla rielaborazione di appunti personali presi durante le lezioni, non devono pertanto essere considerate come dispende ufficiali.
Vengon trattati in maniera chiara e precisa i principali argomenti relativi al corso di fisica 2, tra cui:
1) Operatori differenziali.
2) Elettrostatica.
3) Conduttori.
4) Elettrostatica nella materia:... Vedi di più

Esame di Fisica 2 docente Prof. M. Bassan

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82 CHAPTER 6. MAGNETOSTATICA

~

avanti indicheremo nuovamente con in maniera tale che la sua divergenza

A, 1

sia nulla, questa particolare scelta prende il nome di .

gauge di Coulomb

~

Definiamo cosı̀ il campo detto quel campo tale che:

A, potenziale vettore,

~ ~ ~ ~ ~

= ∇ × ∇ · =0

B A A Potenziale vettore

~ ~ ~ ~

Se ora si riconsidera l’espressione ∇× = e si sostituisce a l’espressione

B µ J B

0

con il potenziale vettore si ottiene: ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2

) − ∇ =

∇ × = ∇ × ( ∇ × = ∇ · ( ∇ · A µ J

B A) A 0

| {z }

0

da cui: ~ ~

2

∇ = −µ

A J

0

che scritta in coordinate cartesiane corrisponde al sistema di equazioni:

2 2 2

∇ = −µ ∇ = −µ ∇ = −µ

A J A J A J

0 0 0

x x y y z z ρ

2

Ognuna di essere ha la stessa forma dell’equazione di Poisson ∇ = −

V ε 0

vista nel paragrafo 2.10, la soluzione per ogni equazione avrà dunque la stessa

forma della soluzione dell’equazione di Poisson:

Z ′ ′ ′ ′ ′ ′

(x )dx

J , y , z dy dz

µ 0 i

(x, =

A y, z)

i 1

4π 2 2 2

′ ′ ′

[(x − ) + (y − ) + (z − ) ]

x y z 2

τ

che si può riscrivere in forma vettoriale:

Z ~

Jdτ

µ 0

~ =

A 4π r

τ

Nel caso in cui il volume corrisponda ad un elemento di filo possiamo

scrivere = Σds, dunque l’equazione diventa:

dτ I

µ i d~s

0

~ =

A 4π r

Fino ad ora si è sempre passati da un relazione globale e integrale ad un locale,

~ ~ ~

si vuole ora cercare la forma integrale dell’espressione locale ∇ × = per

A B,

farlo calcoliamo il flusso di entrambi i membri attraverso una superficie Σ e

applichiamo il teorema di Stokes: I

Z

Z ~

~ ~

~ ·

( ∇ × · =

· = A d~s

A) n̂ dΣ

B n̂ dΣ Σ

Σ

1 Nota: questa scelta ha senso solamente per campi che sono costanti nel tempo.

83

6.12. POTENZIALE VETTORE E POTENZIALE SCALARE

~ ~

La circuitazione di lungo una linea chiusa è pari al flusso del campo

A B

attraverso una superficie Σ che appoggi sulla linea di integrazione.

Come per il teorema di Ampère in alcune situazioni particolari può essere

più semplice calcolare il campo magnetico partendo dal potenziale vettore.

Nel paragrafo 6.10 si è accennato al fatto che il campo magnetico diventa

irrotazionale quando lo si studia al di fuori della regione in cui sono presenti

~ ~

delle correnti elettriche, in tal caso la legge di Ampère diventa ∇ × = 0.

B

In questa situazione il campo magnetico è irrotazionale e pertanto può essere

definito un tale che:

V

potenziale magnetico scalere m

~ ~

= − ∇V

B m

Il potenziale magnetico scalere deve soddisfare la legge di Laplace:

2 2 2

∂ V ∂ V ∂ V

m m m

2

∇ = + +

V m 2 2 2

∂x ∂y ∂z

84 CHAPTER 6. MAGNETOSTATICA

Chapter 7

Magnetostatica nella materia

Nel precedente capitolo si è parlato delle proprietà e delle leggi del campo

magnetico generato da correnti stazionarie nello spaio vuoto. Si è inoltre

accennato nella parte introduttiva al fatto che comunemente si osserva che

certi tipi di materiali, se sottoposti ad un campo magnetico, acquisiscono

proprietà magnetiche, in questo capitolo si approfondisce questo aspetto. La

prima osservazione che si può fare è che non tutti i materiali subiscono gli

stessi effetti, alcuni materiali risultano essere respinti dal campo magnetico,

altri risultano esseri attratti e altri ancora ottengono proprietà magnetiche

che persistono nel tempo anche dopo che il materiale non è più sottoposto ad

un campo magnetico esterno. In base a queste caratteristiche i materiali che

subiscono effetti magnetici possono essere divisi in tre grandi classi che ver-

ranno approfondite nel corso del capitolo: sostanze diamagnetiche, sostanza

e

paramagnetiche sostanze ferromagnetiche.

Un primo dato importante per lo studio di queste sostanze è assumere che,

~

sotto gli effetti di un campo magnetico esterno queste sostanze acquisis-

B, ~

cono un momento magnetico che può essere concorde o discorde a Si

m

~ B.

~

definisce il , detto più comune-

M

momento magnetico per unità di volume

mente il vettore:

magnetizzazione, d m

~

~ = M agnetizzazione

M dτ

La magnetizzazione è pari al rapporto tra il momento magnetico associato

m

~

ad un volume e il volume stesso.

τ

Possiamo effettuare una prima classificazione delle sostanze:

- Sono dette quelle sostanze che sottoposte ad un campo

diamagnetiche

~ ~ ~

magnetico acquisiscono una magnetizzazione discorde a esse ven-

B M B,

gono respinte dal campo magnetico e tendono raggiungere le zone di spazio

in cui il campo è minimo, dove cioè è minima l’energia potenziale.

85

86 CHAPTER 7. MAGNETOSTATICA NELLA MATERIA

- Sono dette quelle sostanze che sottoposte ad un campo

paramagnetiche

~ ~ ~

magnetico acquisiscono una magnetizzazione concorde al campo

B M B,

sono attratte dal campo e tendono a raggiungere le regioni di spazio in cui il

campo è massimo, dove cioè è minima l’energia potenziale.

In entrambi i casi la magnetizzazione è proporzionale al campo magnetico

esterno, infine:

- Sono dette quelle sostanza che sottoposte ad un campo

f erromagnetiche

~ ~

magnetico acquisiscono una magnetizzazione concorde al campo, sono

B M

fortemente attratte dal campo magnetico e conservano delle proprietà mag-

netiche anche dopo l’essere state sottoposte al campo. Per le sostanza fer-

romagnetiche non esiste una relazione lineare ed univoca tra il campo e la

magnetizzazione, quest’ultima può dipendere dal modo in cui si è svolto il

processo.

Si consideri ora con il campo magnetico esterno (spesso detto

B campo inducene)

0

e con il campo all’interno del materiale, se il materiale è omogeneo speri-

B

mentalmente si osserva che esiste il rapporto:

B = k m

B 0

è detta mentre si definisce

k permeabilità magnetica relativa, permeabilità

m la il prodotto = . Si definisce infine

µ µ k

magnetica assoluta suscettività

0 m

la quantità = −1. La suscettività magnetica è un valore che

χ k

magnetica m m

generalmente resta costante per le sostanze diamagnetiche e paramagnetiche,

risulta essere negativa nelle prime e positiva nelle seconde. La permeabilità

magnetica relativa è una quantità sempre positiva, risulta essere minore di 1

per le sostanze diamagnetiche e maggiore di 1 per le sostanze paramagnetiche.

In base a questo fatto si nota come per le sostanze diamagnetiche si ha

una diminuzione del campo inducente, per le sostanze paramagnetiche si ha

invece un aumento. Una trattazione a parte deve essere fatta per le sostanze

ferromagnetiche.

7.1 Correnti amperiane e magnetizzazione

Nel capitolo precedente si è accennato al fatto che i fenomeni magnetici nella

materia sono associati a delle correnti microscopiche dette correnti amperi-

Tali correnti microscopiche sono associate al movimento degli elettroni

ane.

intorno al nucleo, agli elettroni si può quindi associare un momento mag-

netico. In realtà la situazione è ben più complessa ed oltre ad un momento

magnetico ciascun elettrone possiede un momento di in base alle carat-

spin

teristiche dell’atomo a cui appartiene e in base alla natura dell’orbitale. La

87

7.1. CORRENTI AMPERIANE E MAGNETIZZAZIONE

trattazione completa dei fenomeni magnetici può avvenire solamente tramite

la meccanica quantistica, in questo capitolo ci limitiamo quindi solamente a

delle osservazioni macroscopiche che possano essere spiegate con la mecca-

nica classica.

Per ora è sufficiente pensare che per le sostanze diamagnetiche la somma

di tutti quanti i momenti, associati agli elettroni di un atomo, è nulla. Il

materiale non ha quindi proprietà magnetiche, quando però è sottoposto ad

un campo inducente il moto degli elettroni è perturbato e si genera un mo-

mento risultante complessivo che si oppone alla causa che lo ha generato, c’è

quindi una diminuzione del campo magnetico inducente. Questo fenomeno è

analogo a quanto avviene per la polarizzazione elettronica.

Nelle sostanze paramagnetiche invece la somma complessiva dei momenti

non è nulla, tuttavia a causa del moto di agitazione termica il momento

medio complessivo è nullo e quindi il materiale non ha proprietà magnetiche.

Quando viene sottoposto ad un campo inducente gli atomi subiscono un ori-

entamento parziale e compare quindi un momento magnetico complessivo

concorde al campo inducente, esso viene rafforzato e pertanto aumenta. In

questo processo si vede l’analogia con il processo di polarizzazione per orien-

tamento, tuttavia per il campo elettrostatico l’effetto della polarizzazione è

sempre quello di provocare una diminuzione nel campo che l’ha indotta, per

il campo magnetico l’effetto dipende dal tipo di materiale.

Per i materiali ferromagnetici il processo è molto complessi e non si può usare

la meccanica classica nemmeno per una descrizione informale, si può sola-

mente dire che dopo che il materiale è stato sottoposto al campo inducente

mantiene una magnetizzazione non nulla che determina le sue proprietà mag-

netiche, si dice che il materiale si è magnetizzato uniformemente.

Il campo magnetico generato da un materiale magnetizzato (sia che sia dia-

magnetico, paramagnetico o ferromagnetico) può essere pensato come un

campo generato da delle correnti, dette che

correnti di magnetizzazione

circolano all’interno del materiale e sulla sua superficie. Se chiamiamo cor-

le correnti che generano il campo inducente e che sono

renti di conduzione

sotto il nostro controllo, allora nel caso delle sostanze diamagnetiche le cor-

renti di magnetizzazione hanno verso opposto a quelle di conduzione, dimin-

uendo l’effetto del campo, nelle sostanze paramagnetiche e ferromagnetiche

le correnti di magnetizzazione sono equiverse alle correnti di conduzione au-

mentando l’effetto del campo inducente.

Nei successivi due paragrafi ci occupiamo di analizzare più in dettagli le

correnti di magnetizzazione.

88 CHAPTER 7. MAGNETOSTATICA NELLA MATERIA

7.2 Magnetizzazione uniforme

Si consideri ora un cilindro, di lunghezza di materiale omogeneo magne-

h, ~

tizzato uniformemente con magnetizzazione parallela all’asse z. Suddi-

M

vidiamo il cilindro in dischetti di spesso a sua volta dividiamo ciascun

dz,

dischetto in piccoli prismi di base spessore e volume = ·

dΣ, dz dτ dΣ dz.

~

Ciascun prisma avrà un momento magnetico parallelo e concorde ad ,

d m

~ M

utilizzando la definizione di magnetizzazione data ad inizio capitolo:

~

= =

d m

~ M dτ M dz dΣ û z

Sfruttando il principio di equivalenza di Ampère visto nel paragrafo 6.3,

lo stesso momento magnetico può essere associato ad una spira a forma di

nastro, di area spessore percorsa da una corrente tale che:

dΣ, dz, di

m

= = ⇒ =

d m

~ di dΣ û M dz dΣ û di M dz

m z z m

Da quanto già discusso, il teorema di equivalenza non mette in relazione

solamente gli effetti magnetici ma anche i campi magnetici prodotti. Se ora si

sostituisce a tutti i prismi il relativo circuito equivalente, le correnti si elidono

su ciascun lato e rimangono solamente le correnti sulla superficie laterale del

disco. Il disco magnetizzato equivale quindi ad un circuito percorso dalla

corrente . Se si ripete questo procedimento per tutti quanti i dischi in cui

di m

è suddiviso il cilindro magnetizzato uniformemente si ottiene che esso equivale

ad un circuito a forma di nastro di spessore percorso dalla corrente:

h

Z h =

= M dz M h

i m 0

La corrente è la di cui si è parlato nel para-

i corrente di magnetizzazione

m

grafo precedente. Questa corrente ha una in modulo pari

densità lineare

a: di

i

m m

= =

= J

M s

h dz

Il modulo della densità lineare è pari al modulo del vettore magnetizzazione.

In forma vettoriale invece si ha:

~ ~

= ×

J M û Densità lineare della corrente di magnetizzazione

s n

La densità lineare della corrente di magnetizzazione è pari al prodotto vet-

~

toriale tra la magnetizzazione e la normale uscente alla superficie del

M û n

materiale magnetizzato. Nel caso di una magnetizzazione uniforme dunque le

correnti di magnetizzazione compaiono solamente sulla sua superficie, infatti

89

7.3. MAGNETIZZAZIONE NON UNIFORME

spesso prendono anche il nome di il loro verso dipende

correnti di superficie,

dalla superficie in cui si calcolano. Per calcolare il campo magnetico gen-

erato da un corpo magnetizzato è conveniente calcolare il campo magnetico

generato dal circuito equivalente nei modi descritti nel capitolo precedente,

nel caso del cilindro il campo magnetico da esso generato equivale al campo

generato da un solenoide percorso dalla corrente di densità = . Nel

ni J s

caso invece di un anello magnetizzato uniformemente, il circuito equivalente

corrisponde ad un toroide.

7.3 Magnetizzazione non uniforme

Analizziamo ora il caso in cui il materiale non sia magnetizzato uniforme-

~

mente, la magnetizzazione diventa una funzione della posizione ed è

M

prevedibile che le correnti all’interno del materiale non si elidano più com-

pletamente. Suddividiamo il materiale in prismi di volume =

dτ dx dy dz,

cominciamo con il considerare due prismi contigui lungo l’asse x, a ciascuno

di essi è associata una magnetizzazione che dipenderà dalla posizione dei

prismi. Le componenti lungo l’asse z delle magnetizzazioni saranno (x) e

M z

(x + cosı̀ che i due prismi sono percorsi dalle correnti superficiali:

M dx),

z = (x)dz = (x +

di M di M dx)dz

1 2

z z

La corrente complessiva che circola nella faccia comune ai due prismi è pari

a:

∂M ∂M

z z

−di = [M (x) − (x + = (x) − (x) − = −

di M dx)] dz M M dx dz dx dz

1 2 z z z z ∂x ∂x

La corrente risultante, diversa da zero, scorre lungo la direzione y su una

delle facce.

Se si ripete il ragionamento per due prismi contigui lungo l’asse z si ottiene

la corrente che scorre sull’altra faccia sempre lungo la direzione y:

∂M x

− = [M (z + − (z)] = dz dx

di di dz) M dx

4 3 x x ∂z

La corrente complessiva che scorre lungo l’asse y per ciascun prisma è pari

a:

∂M ∂M z

x

= (di − ) + (di − ) = − dx dz

di di di

4 3 1 2

y ∂z ∂x

La superficie interessata è pari a = la densità della corrente è

dΣ dx dy, di

y

dunque: di ∂M ∂M

y x z ~ ~

= = − = ( ∇ × )

J M

y y

dx dz ∂z ∂x

90 CHAPTER 7. MAGNETOSTATICA NELLA MATERIA

Se si completa il ragionamento per le altre due direzioni si ottiene che le cor-

rente di magnetizzazione per un materiale non magnetizzato uniformemente,

circola con densità superficiale:

~ ~ ~

= ∇ ×

J M Densità della corrente di magnetizzazione

m

Come supposto all’inizio del paragrafo, per i materiali non uniformemente

magnetizzati, le correnti di magnetizzazione compaiono anche all’interno dal

mezzo stesso, per questo a volte vengono chiamate correnti di volume.

Si può ora proseguire nel vedere come può essere espresso il teorema di

Ampère nel caso dei mezzi materiali.

7.4 Equazioni generali della magnetostatica

Nel paragrafo 6.9 si è parlato della legge di Ampère, si ricorda la sua forma

integrale: I ~ · =

B d~s µ i

0 conc.

con la relativa espressione differenziale:

~ ~ ~

∇ × =

B µ J

0

Con si intendono tutte quante le correnti concatenate dal cammino della

i conc.

circuitazione. Occorre ora esprimere questa legge per il campo magnetico

nella materia, oltre alle correnti di conduzione occorre tenere conto delle

~ ~ ~

correnti di magnetizzazione che scorrono con densità = ∇ × , scriviamo

J M

m

la forma differenziale nel seguente modo:

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

∇ × = ( + ) ⇒ ∇ × = + ∇ ×

B µ J J B µ J µ M

0 0 0

c m c

da cui: !

~

B ~ ~

~ − =

∇ × M J c

µ 0

~

Si definisce il vettore:

H

campo magnetizzante

~

B ~

~ −

= M

H Campo magnetizzante

µ 0

Si può ora riscrivere il teorema di Ampère come segue:

I

~ ~ ~ ~

∇ × = · =

H J H d~s µ i Equazioni della magnetostatica nella materia

0

c c.conc. 91

7.5. DISCONTINUITÀ DEL CAMPO MAGNETICO

Con si intendono solamente le correnti di conduzione concatenate alla

i

c.conc. ~

circuitazione. La circuitazione del campo dipende solamente dalle correnti

H

di conduzione che sono sotto il nostro controllo, come già visto per il teo-

rema di Gauss e per la legge di Ampère in particolari situazioni si può cosı̀

~ ~

facilmente calcolare Tuttavia per trovare il campo magnetico e la mag-

H. B

~

netizzazione occorre un’ulteriore informazione che leghi le tre grandezze,

M

come si è precedentemente anticipato per i mezzi diamagnetici e paramag-

netici, la magnetizzazione è proporzionale al campo magnetico. La relazioni

~ ~

di proporzionalità può essere espressa anche tra ed ed è data dalla

M H

seguente espressione: ~ ~

=

M χ H

m

Nei mezzi diamagnetici e paramagnetici la magnetizzazione è proporzionale

~

al campo con costante di proporzionalità pari alla suscettività magnetica

H ~ ~

del mezzo. Per ottenere la relazione tra e è sufficiente sostituire questa

H B

~ ~

espressione nella precedente espressione di ed esplicitare

H B:

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

= ( + ) = ( + = + ) = =

B µ H M µ H χ H)) µ H(1 χ µ k H µ H

0 0 0 0

m m m

~ ~ ~ ~

In questa maniera è possibile ricavare le espressioni di e .

H, B, M J m

La situazione è diversa per i materiali ferromagnetici dove generalmente il

~ ~

valore di non è costante, dunque tra ed non solo non esiste una

χ H M

m

relazione lineare ma solitamente non esiste nemmeno una relazioni biuni-

voca. La questione verrà risolta più avanti introducendo un diagramma di

fase per queste sostanze, occorre però notare che le relazioni fino ad ora viste

possono essere applicate comunque alle sostanze ferromagnetiche, tuttavia

valgono solamente nel preciso stato in cui si trova il mezzo e non durante

tutto quanto il processo di magnetizzazione.

Riassumiamo le considerazioni fatte fino ad ora nella seguente tabella:

~ ~ ~ ~

Sostanze e e

χ k M H B B 0

m m ~ ~

−5 opposto ad

Diamagnetiche ∼ −10 0 0.9999 1 M H

< < B < B 0

~ ~

−4 concorde ad

Paramagnetiche ∼ 10 0 1.0001 1 M H

> > B > B 0

~ ~

2 4 2 4 dipende da

Ferromagnetiche 10 ∼ 10 10 ∼ 10 M H B >> B 0

7.5 Discontinuità del campo magnetico

Come già fatto per il campo elettrico in presenza della materia è importante

capire come come variano il campo magnetico e il campo al passaggio da un

H

materiale ad un altro. Consideriamo dunque due materiali con permeabilità

magnetica relativa e divisi da una superficie di separazione piana,

k k

1,m 2,m

92 CHAPTER 7. MAGNETOSTATICA NELLA MATERIA

~ ~

indichiamo con e gli angoli che i campi magnetici e formano con

θ θ B B

1 2 1 2

le direzioni normali alla superficie di separazione.

Con ragionamenti analoghi a quelli già fatti, applicando il teorema di Ampère

e il fatto che il flusso del campo magnetico è nullo attraverso una superficie

chiusa, si ottengono i seguenti risultati. La componente normale del campo

magnetico si conserva:

= ⇒ ) = )

B B B cos(θ B cos(θ

1,n 2,n 1 1 2 2

Questo fatto è di importanza rilevante per i materiali ferromagnetici quando

in essi si apre una fenditura, chiamata o se il campo

traf erro interf erro:

magnetico attraversa la superficie di separazione ortogonalmente ad essa

praticamente il campo magnetico nel traferro è lo stesso che nel materiale,

l’importanza di questa osservazione si capirà più avanti.

Da = segue che:

H =

k H k H

1,m 1,n 2,m 2,n

~

La componente normale del campo è discontinua al passaggio attraverso la

H

superficie di separazione. Se si applica il teorema di Ampère ad un rettangolo

che sta nel piano individuato dai campi, con due lati paralleli alla superficie

di separazione e da parti opposte e gli altri due lati infinitesimi si trova che:

= ⇒ ) = )

H H H sen(θ H sen(θ

1,t 2,t 1 1 2 2

~

La componente tangenziale del campo resta continua, mentre invece la

H

componente tangenziale del campo magnetico sarà discontinua:

B B

1,t 2,t

=

k k

1,m 2,m

Dividendo le due espressioni si trova:

tg θ k

1 1,m

= Legge della rifrazione delle linee di campo magnetico

tg θ k

2 2,m

Se il materiale è ferromagnetico con molto grande risulta che è

k θ

2,m 2

π , le linee di campo restano tutte nel mezzo magnetico e si ottiene

prossimo a 2

cosı̀ uno Se invece le linee di campo sono ortogonali alla

schermo magnetico.

superficie di separazione non subiscono alcuna discontinuità.

7.6 Sostanze ferromagnetiche e ciclo di isteresi

Si è precedentemente detto che per le sostanze ferromagnetiche non esiste una

relazione lineare o biunivoca tra la magnetizzazione o il campo magnetico in-

ducente. Per trovare la relazione tra e occorre tracciare un diagramma

H B 93

7.6. SOSTANZE FERROMAGNETICHE E CICLO DI ISTERESI

Figure 7.1: Esempio di un ciclo di isteresi per una sostanza ferromagnetica

di fase per la sostanza presa in esame. Consideriamo dunque un mezzo fer-

romagnetico sottoposto ad un campo magnetico generato da delle correnti di

conduzione (ad esempio un avvolgimento solenoidale attorno ad una sezione

del mezzo), possiamo calcolare tramite il teorema di Ampère, mentre possi-

H

amo calcolare il campo magnetico all’interno del materiale tramite una sonda

1

di Hall . Costruiamo un grafico dove riportiamo il campo sull’asse delle

H

ascisse il campo sull’asse delle ordinate, al variare della corrente varierà

B

il valore di e di conseguenza varierà anche il campo magnetico, il grafico

H

che si ottiene dal processo costituisce il diagramma di fase della sostanza.

Un grafico del tutto analogo può essere costruito invece riportando il valore

della magnetizzazione in funzione del campo H.

Per descrivere al meglio il processo si consideri come esempio la figura 7.1.

Partiamo dall’origine a cui corrisponde uno stato in cui la corrente di con-

duzione è nulla e risultano essere nulli anche e . Quando un materiale

H, B M

si trova in queste condizioni si dice che esso si trova in uno dove

stato vergine,

1 La sonda può essere inserita in una piccola cavità ricavata nel mezzo, come si è visto

nel precedente paragrafo infatti in opportune condizioni il campo magnetico nella fenditura

è lo stesso che nel mezzo ferromagnetico.

94 CHAPTER 7. MAGNETOSTATICA NELLA MATERIA

esso non ha ancora delle proprietà magnetiche, discuteremo poco più avanti

nel paragrafo dei processi che conducono il materiale in tale stato.

Cominciamo ora a far aumentare la corrente, all’aumentare di H il campo

magnetico aumenta e descrive le curva OA detta curva di prima magnetiz-

Quando supera raggiunge il valore la magnetizzazione resta

H H

zazione. max

costa al valore , il campo magnetico comincia a crescere linearmente sec-

M sat

ondo: = (H + )

B µ M

0 sat

In questa fase la crescita è molto più lenta di prima poichè la retta ha pen-

denza pari a , essenzialmente la crescita è dovuta solamente all’aumento

µ 0

delle correnti di conduzione, mentre nella fase iniziale c’era il contributo

dovuto all’aumento delle correnti di magnetizzazione. Per si dice

H > H max

che il materiale ha raggiunto la e il valore è chiamato

saturazione M mag-

sat

netizzazione di saturazione.

Se ora si comincia a diminuire la corrente, quindi anche ed diminuiranno

H, B M

seguendo la curva AC che si trova sopra la curva di prima magnetizzazione.

Se si annulla la corrente, = 0, il campo magnetico e la magnetizzazione ri-

H

mango ai valori ed chiamati rispettivamente

B M campo magnetico residuo

r r

e legati dalla relazione:

magnetizzazione residua, =

B µ M

0

r r

Si vede dunque la caratteristica fondamentale dei materiali ferromagnetici,

dopo che si interrompe il campo inducente rimangono comunque magnetiz-

zati con magnetizzazione residua pari a . Se si vuole annullare la mag-

M r

netizzazione è necessario invertire il verso di percorrenza della corrente che

corrisponde sul grafico ad una decrescenza di nel semiasse negativo. La

H

magnetizzazione decresce seguendo la curva CD fino al punto in cui = 0

M

a cui corrisponde il valore = , detto al quale cor-

H H campo coercitivo,

c

risponde un campo magnetico = . Se si fa ancora decrescere si

B µ H H

0 c

raggiunge il punto −H dove la magnetizzazione ha raggiunto nuovamente

max

il valore di saturazione ma nel verso opposto, il campo magnetico continua

a decrescere con pendenza −µ . Se ora si fa aumentare di nuovo la cor-

0

rente, quindi si percorre la curva EA fino a raggiungere nuovamente il

H,

punto , si ottiene un grafico chiuso che prende il nome di

H ciclo di is-

max

ed è caratteristico di ciascun materiale ferromagnetico. Se si fa variare

teresi

continuamente tra −H e si ottiene sempre il medesimo ciclo, se

H H

max max

si cambia l’intervallo in cui può variare si ottengono dei cicli sempre più

H

stretti tutti quanti contenuti nel ciclo di isteresi. Se si diminuisce sempre

di più l’intervallo di variabilità di si raggiunge una condizione in cui per

H

= 0 sia che sono prossimi al valore nullo, questo è un possibile

H B M 95

7.7. ELETTROMAGNETI E MAGNETI PERMANENTI

processo di del materiale. Un altro processo di smagne-

smagnetizzazione

tizzazione consiste nel portare il materiale ad un’altissima temperatura, tutti

quanti i materiali ferromagnetici infatti possiedono una temperatura critica,

detta al di sopra della quale diventano dei materiali

temperatura di Curie,

paramagnetici, dunque se la corrente viene portata a 0 mentre sono in queste

condizioni la magnetizzazione anche diventerà nulla.

Il grafico che si ottiene dopo aver fatto variare durante tutto il processo

H

costituisce il diagramma di stato della sostanza, si vede chiaramente che

~ ~

non può esistere una relazione biunivoca tra il campo e si dice quindi

H B,

che la magnetizzazione della sostanza dipende dalla del materiale.

storia

Scegliendo opportunamente il processo si possono ottenere tutti quanti gli

stati contenuti nel ciclo di isteresi.

In base alla forma del ciclo si possono dividere i materiali ferromagnetici in

due classi: i a cui corrisponde un grafico piuttosto largo (M

materiali duri r

e grandi), sono particolarmente adatti alla costruzione di magneti per-

H c

manenti infatti hanno una magnetizzazione residua molto grande ed è molto

grande anche il campo coercitivo, cioè si smagnetizzano difficilmente; i ma-

a cui corrisponde un grafico molto stretto, dato che è piccolo

H

teriali dolci c

è facile smagnetizzarli e magnetizzarli, sono quindi adatti alla costruzione di

elettromagneti, inoltre essendo il grafico molto stretto per alcuni intervalli di

la relazione tra ed può essere considerata lineare e dunque in queste

H M H

fasi si può considerare costante.

χ m

7.7 Elettromagneti e magneti permanenti

Nel precedente paragrafo si è parlato del diagramma di fase dei materiali fer-

romagnetici, si è inoltre parlato del fatto che se un materiale ferromagnetico

presenta una fenditura, chiamata o allora il campo

traf erro interf erro,

magnetico nella fenditura è lo stesso che nel materiale. In questo paragrafo

si vuole capire come poter ricavare informazioni numeriche dal ciclo di is-

teresi e quale è l’effetto della presenza di un traferro. Si consideri un sistema

semplificato, il materiale ferromagnetico consiste di un anello di lunghezza

in cui è presente una piccola fenditura di spessore Se la permeabilità

s h.

~ ~

magnetica del materiale è molto alta tutte le linee di e sono contenute

B H

all’interno del mezzo, nessuna linea attraversa la superficie esterna e non c’è

~

quindi flusso disperso verso l’esterno, come conseguenza il flusso di at-

B

traverso qualsiasi sezione del mezzo è costante. Se lo spessore del traferro è

h

abbastanza piccolo queste considerazioni restano valide anche per il traferro

stesso. Per generare un campo magnetico al’interno del materiale possiamo

96 CHAPTER 7. MAGNETOSTATICA NELLA MATERIA

porre uno o più avvolgimenti di spire intorno al mezzo, indichiamo con N

il numero complessivo di avvolgimenti e con la corrente che li attraversa.

i

Questo sistema prende il nome di cioè un dispositivo che

elettromagnete,

produce un campo magnetico in una regione di spazio accessibile. Nel tra-

ferro il campo magnetico vale: =

B µ H

0 0

Applicando il teorema di Ampère a tutto il circuito si ottiene:

− + =

H(s h) H h N i

0

Sostituiamo ad la precedente espressione ed esplicitiamo si ottiene

H B,

0

l’equazione: −

s h Ni

= −µ +

B H µ

0 0

h h

Nel grafico in cui è riportato il ciclo di isteresi questa equazione

H-B

corrisponde ad una retta, dunque devono valere contemporaneamente questa

equazione e il ciclo di isteresi, ciò vuol dire che i possibili stati in cui si trova

il materiale ferromagnetico sono determinati dall’intersezione di questa retta

con il diagramma di fase. Per una data corrente sono possibili diversi stati a

seconda di come si è svolto il processo.

La pendenza della retta dipende solamente dalla geometria del sistema: fis-

sata la geometria, al variare della corrente la retta si sposta parallelamente

ad essa.

Si può ora capire quale è l’effetto dell’interferro, se consideriamo il mezzo

i parallela

senza interferro, = 0, l’equazione si riduce alla retta =

h H N s

all’asse ed interseca il ciclo di isteresi lungo un tratto verticale. In queste

B,

condizioni per = 0 il valore del campo magnetico assume i valori compresi

i

tra ±B . Se ora si aggiunge l’interferro, la retta ruota in senso antiorario

r

tanto più tanto è maggiore lo spessore del’interferro. Come conseguenza,

a parità di corrente si possono ottenere campi magnetici maggiori o minori

rispetto al caso senza interferro. L’effetto complessivo dell’interferro è dunque

quello di far variare il campo magnetico all’interno del mezzo ferromagnetico.

Un’altra osservazione che si può fare riguardo il ciclo di isteresi è che possono

~ ~

esistere stati dove e sono vettori opposti (nel secondo e quarto quad-

H B

rante). Ciò accade perchè quando il materiale viene magnetizzato occorre

un’azione contraria per riportare a zero e poi invertire la magnetizzazione.

Concludiamo il paragrafo accennando ai magneti permanenti, un magnete

permanente consiste di un mezzo ferromagnetico che è stato magnetizzato

con magnetizzazione pari a , dunque = 0. Il campo magnetico residuo è

M i

r 97

7.8. CIRCUITI MAGNETICI E LEGGE DI HOPKINSON

tanto maggiore quanto maggiore è il ciclo di isteresi e tanto più piccolo è lo

spessore del traferro.

In questo caso l’equazione ottenuta dal teorema di Ampère diventa:

s h

~ ~

= −µ H

B 0 h

La sua intersezione con il ciclo di isteresi da i possibili stati in cui si può

trovare il sistema. Risulta evidente tuttavia che all’interno di un magnete

~ ~

permanente e sono opposti, ciò è in accordo col fatto che nell’interferro

B H

~ ~

e sono concordi, possono cosı̀ essere soddisfatte le equazioni del sistema.

B H

Se non ci fosse l’interferro il campo magnetico avrebbe il valore e il campo

B r

~ ~

sarebbe nullo, la presenza dell’interferro ha come conseguenza diverso

H H

da zero e discontinuo al passaggio ferro-aria.

7.8 Circuiti magnetici e legge di Hopkinson

Un mezzo ferromagnetico la cui forma è quella di un circuito chiuso prende

il nome di un esempio di circuito magnetico è l’anello

circuito magnetico,

visto nel precedente paragrafo. Al suo interno può essere generato un campo

magnetico tramite un avvolgimento composto da spire percorse da una

N

corrente le equazioni che descrivono il sistema sono le seguenti:

i, I ~ ~ ~

· = =

H d~s N i B µ H ~ ~

Se la permeabilità è abbastanza grande le linee di e sono contenute

µ B H

all’interno del mezzo, non c’è flusso disperso nel mezzo che circonda il toroide.

~

Dato che è solenoidale il suo flusso attraverso qualsiasi sezione del materiale

B

è costante: Z ~

~ · =

Φ( = B n̂ dΣ BΣ

B)

L’espressione vale se è costante in tutta la sezione o se si considera il

BΣ B

suo valore medio. Possiamo dunque scrivere:

I I I

B ds

= = = Φ

N i Hds ds

µ µΣ

Definiamo la quantità:

forza magnetomotrice I

F = =

Hds N i

98 CHAPTER 7. MAGNETOSTATICA NELLA MATERIA

mentre si definisce la quantità:

riluttanza del circuito

I ds

R = µΣ

Combinando le due espressioni si ottiene la legge di Hopkinson:

F = RΦ Legge di Hopkinson

La legge di Hopkinson è la legge fondamentale per la risoluzione dei cir-

cuiti magnetici, essa consente di calcolare il campo magnetico dal flusso Φ

conoscendo i dettagli tecnici e geometrici del circuito. È evidente l’analogia

con la legge di Ohm per i circuiti elettrici, l’analogia tuttavia è solo formale

in quanto nei circuiti magnetici non c’è effettivamente alcun movimento di

carica o di materia. Come per le resistenze, se si hanno due tratti di circuito

magnetico collegati in serie la riluttanza complessiva sarà pari alla somma

delle riluttanze dei due tratti, se invece sono collegati in parallelo l’inverso

della riluttanza equivalente è pari alla somma degli inversi delle riluttanze.

Consideriamo come esempio un anello di materiale ferromagnetico, di perme-

abilità magnetica relativa , con un interferro nel mezzo. Indichiamo con

k m

la lunghezza dell’anello e con lo spessore dell’interferro, la riluttanza

s s

1 2

complessiva del sistema è pari alla somma della riluttanza dell’anello e la

riluttanza dell’interferro: +

s s k s

s 2 1 2

1 m

+ =

R = R + R =

1 2 Σ

µΣ µ µΣ

0

Da quest’ultima espressione si vede come l’interferro contribuisce all’aumento

della riluttanza. Dalla legge di Hopkinson si vede inoltre che il flusso, quindi

il campo magnetico, è inversamente proporzionale alla riluttanza, quindi in

generale un aumento dello spessore dell’interferro causa una diminuzione

del campo magnetico. Questa evenienza tuttavia è indispensabile per poter

usufruire di regioni di spazio accessibili in cui è presente un campo magnetico

uniforme.

Chapter 8

Induzione elettromagnetica

Fino ad ora si sono studiate le origini, gli effetti e le implicazioni dei campi

elettrostatico e magnetostatico, sia nel vuoto che nella materia. La maggior

parte dei risultati fino ad ora ottenuti possono essere riassunti in quattro

leggi, che abbiamo chiamato che si presentano nella

equazioni di Maxwell,

forma: ρ

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

∇ · = ∇ × =0 ∇ · =0 ∇ × =

E E B B µ J

0

ε 0

Queste equazioni descrivono bene il comportamento del campo elettrostatico

~ un campo conservativo generato da cariche fisse, e del campo magneto-

E, ~

statico un campo non conservativo generato da una corrente in regime

B,

stazionario. Sono dunque valide per campi che rimangono constanti nel

tempo, in questo capitolo si vuole invece mostrare cosa accade quando i

campi, elettrico e magnetico, variano nel tempo.

Esperimenti condotti da Faraday e da Henry misero in evidenza fin da subito

una stretta relazione tra campo magnetico e campo elettrico: un campo

magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico non conservativo in

grado di produrre una forza elettromotrice. Come accennato nel paragrafo

introduttivo alla magnetostatica successivamente Maxwell completò la teo-

ria dimostrando anche la legge simmetrica: un campo elettrico variabile nel

tempo genera un campo magnetico. Occupiamoci ora però della fase iniziale,

di seguito elenchiamo alcune osservazioni sperimentali che portarono avanti

la teoria. Si consideri un circuito chiuso a cui è collegato un galvanometro,

cioè uno strumento in grado di rilevare e misurare la corrente elettrica che

scorre nel circuito. Si osservano i seguenti fenomeni:

· Se si pone vicino al circuito un magnete e lo si muove in maniera da avvic-

inarlo ad esso il galvanometro registra una corrente elettrica nel circuito, se

si allontana il magnete si registra ancora una corrente ma nel verso opposto

99

100 CHAPTER 8. INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

alla precedente. Non si registra alcuna corrente se il magnete resta fermo.

· Se al posto di un magnete si utilizza un secondo circuito percorso da cor-

rente, in grado quindi di genera un campo magnetico, e si fa variare la cor-

rente, nel primo circuito si registra ancora una corrente elettrica con verso

che dipende dal tipo di variazione di corrente nel secondo circuito. Se nel sec-

ondo circuito non circola corrente o circola una corrente costante nel primo

circuito non si rileva alcuna corrente elettrica.

· Se si muove il circuito in una regione di spazio in cui è presente un campo

magnetico uniforme il galvanometro segnala la presenza di una corrente elet-

trica che circola nel circuito, se si inverte il senso del moto la corrente circola

nel verso opposto.

· Se il circuito si trova in una regione di spazio in cui è presente un campo

magnetico uniforme e lo si deforma, si registra ancora un passaggio di cor-

rente.

In tutti i casi appena elencati l’effetto macroscopico è la comparsa di una cor-

rente elettrica, detta all’interno del circuito. Nel

corrente elettrica indotta,

prossimo paragrafo si discuterà dell’interpretazione fisica di questi fenomeni.

8.1 Legge di Faraday - Neumann

Nel precedente paragrafo si sono illustrati alcuni esperimenti che misero in

evidenza una relazione tra il campo magnetico e il campo elettrico, i risultati

ottenuti possono essere riassunti nella seguente affermazione: in un circuito

chiuso compare una corrente elettrica, detta ogni qual volta

corrente indotta,

~

c’è un moto relativo tra il circuito ed un campo magnetico o una variazione

B

di esso, sia che sia generato da un magnete o che sia generato da un circuito

percorso da corrente.

In realtà la comparsa della corrente elettrica indotta è un fenomeno secon-

dario, la corrente compare infatti se nel circuito si instaura una forza elet-

tromotrice. L’effetto principale dunque è la comparsa di una forza elettro-

motrice, detta E , che a sua volta da origine alla

froza elettromotrice indotta i

corrente. Più avanti si vedrà che alla base della forza elettromotrice indotta

c’è a sua volta un campo elettrico indotto non conservativo. Il fenomeno

descritto prende il nome di induzione elettromagnetica.

Una prima espressione analitica è dovuta a Farady, il quale dedusse che il

~

fenomeno dell’induzione si verifica ogni volta che il flusso Φ( concatenato

B),

con il circuito, varia nel tempo. La relazione tra il flusso e la forza elettro-

motrice indotta è data da: ~

dΦ( B)

E = − Legge di Faraday - Neumann

i dt 101

8.2. LEGGE DI LENZ

La legge di Faraday - Neumann (alla quale solitamente ci si riferisce anche solo

con offre un’espressione analitica e generale per il fenomeno

legge di Faraday),

dell’induzione elettromagnetica: la forza elettromotrice che si instaura in un

circuito chiuso è pari all’opposto della derivata del flusso del campo magnetico

concatenato con il circuito stesso.

La forza elettromotrice indotta ha gli stessi effetti di una qualunque forza

elettromotrice prodotta da un generatore, nonché ha la stessa unità di misura.

Se il circuito è costituito di materiale conduttore, se è chiuso e se è dotato

di una resistenza allora si instaura una corrente elettrica indotta che può

R

essere calcolata tramite la legge di Ohm:

~

1

E dΦ( B)

i = − ·

=

i Corrente elettrica indotta

R R dt

Ricordiamo che per definizione, una forza elettromotrice è pari alla cir-

cuitazione di un campo elettrico, dunque si può anche scrivere:

I ~

dΦ( B)

~ 6 = 0

· = −

E = E d~s

i

i dt

La variazione di flusso concatenato con il circuito genera un campo elet-

trico non conservativo (campo elettromotore) la cui circuitazione è pari alla

forza elettromotrice indotta nel circuito.

8.2 Legge di Lenz

Nel precedente paragrafo si è introdotta la legge di Faraday la cui espressione

è: ~

dΦ( B)

E = −

i dt

Discutiamo ora più nel dettaglio questa legge, in particolare discutiamo la

necessità del segno meno che compare al secondo membro. Il segno meno è

di fondamentale importanza tanto che il suo senso fisico è espresso per mezzo

di un enunciato, noto come che riportiamo in seguito: L’effetto

legge di Lenz,

della forza elettromotrice indotta è sempre tale da opporsi alla causa che lo

ha generato.

La corrente indotta nel circuito genera a suo volta un campo magnetico il cui

flusso attraverso il circuito stesso (autoflusso) è tale da opporsi alla variazione

del flusso esterno. In particolare quindi:

~ dΦ 0 , l’autoflusso è discorde al flusso primario cosı̀

- Se Φ( aumenta >

B) dt

che il flusso complessivo cresce più lentamente.

102 CHAPTER 8. INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

~ dΦ 0 , l’autoflusso è concorde al flusso primario cosı̀

- Se Φ( diminuisce <

B) dt

che il flusso complessivo decresce più lentamente.

Se ci si sofferma un attimo a pensare risulta evidente che questo fenomeno è

una diretta conseguenza del principio di conservazione dell’energia, è perciò

quasi spontaneo che la legge si esprima con un segno negativo.

8.3 Origine fisica della forza elettromotrice

indotta

Fino ad ora si è parlato del fenomeno dell’induzione elettromagnetica in

maniera generale, in questo paragrafo si vuole approfondire l’origine di tale

fenomeno. Ad inizio paragrafo sono stati illustrati quattro esperimenti che

avevano come risultato la comparsa di una corrente in un circuito, si possono

riportare altri numerosi esempi ma tutti quanti i casi possono essere riassunti

nelle seguenti due situazioni:

· Un conduttore si muove in un sistema di riferimento in cui le sorgenti del

campo magnetico sono fisse.

· Avviene una variazione di campo magnetico in un sistema di riferimento in

cui il conduttore è in quiete.

Analizziamo ora nel dettaglio le due situazioni.

MOTO DI UN CONDUTTORE IN UN CAMPO MAGNETICO

Si osserva che alla base del fenomeno di induzione c’è la forza di Lorentz,

di cui si è ampiamente parlato nel paragrafo 6.1. Consideriamo un circuito

di materiale conduttore che si muove con una velocità in una regione di

~v

~

spazio in cui è presente un campo magnetico sugli elettroni del condut-

B,

tore, che si muovono con velocità insieme ad esso, agisce la forza di Lorentz

~v

~ ~

= −e × si può quindi definire un campo elettromotore:

F ~v B, ~

F

~ ~

= − = ×

E ~v B

i e

Se ora si calcola la circuitazione di tale campo attraverso il circuito si ottiene

la forza elettromotrice: I

I ~ ~

· = (~v × ·

E = E d~s B) d~s

i

i

Si è cosı̀ mostrato che la forza di Lorentz può effettivamente generare una

forza elettromotrice tramite un campo elettromotore, per dimostrare però che

questa è l’effettiva causa della comparsa della forza elettromotrice indotta oc-

corre verificare che la forza elettromotrice generata dal campo elettromotore

8.3. ORIGINE FISICA DELLA FORZA ELETTROMOTRICE INDOTTA103

sia la stessa che si ottiene dalla legge di Faraday.

In tempo il conduttore si muove della quantità = possiamo quindi

dt d~r ~v dt,

riscrivere la forza elettromotrice come:

I I

1

~ ~

E = × · = × ·

d~s ~v B d~s d~r B

i dt

H ~ ~

Occorre ora mostrare che × · = −dΦ( per verificare quanto è

d~s d~r B B)

richiesto. Il vettore × ha modulo pari all’area del parallelogramma di

d~s d~r ′

lati e possiamo quindi scrivere × = , da cui:

ds dr, d~s d~r dΣ û n

~ ~ ′ ′

× · = · =

d~s d~r B B û dΣ dΦ

n

L’area corrisponde all’area che un elemento di circuito copre nello

dΣ ds

spostamento e con si intende il flusso del campo magnetico attraverso

dr dΦ

questa superficie. Se indichiamo con l’area che tutto il circuito copre nello

spostamento il flusso del campo attraverso essa sarà pari a:

dr Z Z

~ ~

′ ′

( = = ·

dΦ B) dΦ B û dΣ

t n

dunque: ~

(

dΦ B)

t

E =

i dt

~

Il flusso Φ ( è chiamato e corrisponde al flusso del campo

B) flusso tagliato

t

magnetico attraverso la superficie laterale dell’immaginaria figura descritta

~ ~

dallo spostamento del circuito. Indichiamo con con Φ ( e con Φ ( il

B) B)

1 2

flusso iniziale e finale concatenato con il circuito, se ora si calcolata il flusso

complessivo attraverso l’immaginaria superficie chiusa descritta dallo sposta-

mento infinitesimo del circuito deve risultare:

~ ~ ~

Φ ( − Φ ( + ( =0

B) B) dΦ B)

2 1 t

dato che il campo magnetico è solenoidale. La variazione di flusso tra la fine

dello spostamento e prima dello spostamento è pari a:

dr

~ ~ ~ ~ ~ ~

= Φ ( − Φ ( = −dΦ ( ⇒ ( = −dΦ(

dΦ( B) B) B) B) dΦ B) B)

2 1 t t

Dunque la forza elettromotrice dovuta alla forza di Lorentz è pari a:

~

dΦ( B)

E = −

i dt

che corrisponde proprio alla legge di Faraday.

104 CHAPTER 8. INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

CONDUTTORE IN UN CAMPO MAGNETICO VARIABILE

Consideriamo ora la seconda situazione, il conduttore è fermo ed immerso

~

in un campo magnetico variabile nel tempo. Poichè gli elettroni del

B(t)

conduttore non si muovono, questa volta non saranno sottoposti alla forza di

Lorentz e dunque bisogna procedere in maniera diversa. Per far si che esista

una forza elettromotrice indotta occorre che esista un campo elettromotore di

cui calcolare la circuitazione, partiamo dunque dall’assunzione che un campo

magnetico variabile nel tempo genera un campo elettromotore.

Per calcolare la forza elettromotrice indotta si può passare per la legge di

Faraday o calcolando la circuitazione del campo elettromotore, cioè le due

leggi: Z

I ~

~ ∂ B(t)

dΦ( B)

~ = − ·

· E = −

E = n̂ dΣ

E d~s i

i dt ∂t

Σ

Eguagliamo le due espressioni e utilizziamo il teorema di Stokes:

I Z Z ~

∂ B(t)

~ ~ ~

· = ·

∇ × · = −

E d~s n̂ dΣ

E n̂ dΣ ∂t

Σ Σ

da cui: ~

∂ B(t)

~ ~

∇ × = −

E ∂t

Questa legge esprime la relazione locale tra la variazione del campo magnetico

e il campo elettrico indotto. Essa rappresenta una delle quattro equazioni di

Maxwell per il caso generale che illustreremo in maniera completa nel para-

grafo 8.5. Risulta quindi evidente che la conservatività del campo elettrico

(espressa mediante l’annullamento del suo rotore) è un caso particolare valido

quando non si hanno campi magnetici variabili nel tempo. Infatti risulta ora

evidente come un campo magnetico che varia nel tempo generi un campo

elettrico non conservativo, ciò si era già precedentemente anticipato ma ora

è stata fornita la relazione che esprime questo fenomeno fisico. In particolare

essa ha validità ovunque, anche nei mezzi materiali. ~

Si vuole ora legare direttamente il campo elettrico al campo magnetico.

E ~

Scriviamo il campo magnetico passando per il potenziale vettore: =

B(t)

~ ~

∇ × e sostituiamolo nella precedente relazione:

A(t) ~ ~

~

∂ B(t) ∂ ∂ A(t)

∂ A(t)

~ ~ ~

~ ~ ~

= − ⇒ = −

∇ × = − ∇ ×

∇ × = − E

A(t)

E ∂t ∂t ∂t ∂t

Poichè in generale il campo elettrico è anche generato da una distribuzione

di carica si può completare l’espressione come:

~

∂ A(t)

~ ~

= − − ∇V

E ∂t 105

8.4. CORRENTI DI SPOSTAMENTO

Questa relazione lega in maniera definitiva il campo elettrico alle sue sorgenti.

8.4 Correnti di spostamento

Si deve ora parlare della seconda parte della teoria dell’elettromagnetismo,

cioè il fatto che campi elettrici variabili nel tempo generano dei campi mag-

netici. Il contributo di questa scoperta di deve a Maxwell che si rese conto

dell’incompletezza della legge di Ampère per il campo magnetico. Riporti-

amo di seguito la legge di Ampère vista nel paragrafo 6.9 con le sue due

forme: I Z

~ ~ ~ ~ ~

· = = · ∇ × =

B d~s µ i µ J n̂ dΣ B µ J

0 0 0

Σ

Come già detto alla fine del paragrafo 6.9 questa espressione è valida quando

le correnti concatenate si trovano in regime stazionario, condizione espressa

~ ~

dll’equazione ∇ · = 0. Quando le correnti non si trovano in regime

J

stazionario deve essere soddisfatta l’equazione di continuità vista nel para-

grafo 5.2: ∂ρ

~ ~

∇ · = −

J ∂t

In queste condizioni allora la legge di Ampère non è più valida in quanto se

si calcola la divergenza di entrambi i membri si ottiene un risultato assurdo:

∂ρ

~ ~ ~ ~ ~ 6 = 0

∇ · ( ∇ × = 0 = ∇ · = −

B) µ J

0 ∂t

Un altro esempio in cui la legge di Ampère si rivela contraddittoria è la sua

applicazione all’armatura di un condensatore. Si consideri un filo conduttore

collegato all’armatura di un condensatore, si è parlato del fatto che la cor-

rente che scorre nel circuito in realtà non scorre all’interno del condensatore

dove non avviene spostamento di carica. Questo fatto è alla base della con-

traddizione della legge di Ampère. Se infatti si applica la legge di Ampère

ad una circonferenza concentrica con il filo si ottiene:

I ~ · =

B d~s µ i

0

Ma se si applica la versione integrale e si considera come superficie Σ una

superficie che poggia sullo stesso bordo della circuitazione di prima, che non

interseca il filo e che passa all’interno del condensatore si ottiene:

I Z

~ ~

· = · = 0

B d~s µ J n̂ dΣ

0 Σ

106 CHAPTER 8. INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

Infatti all’interno del condensatore non c’è spostamento di carica e dunque

~

il flusso di attraverso Σ è nullo.

J

Maxwell completò la legge di Ampère passando per la divergenza del campo

elettrico di cui l’espressione è già nota: ~

∂ρ ∂ E

ρ

~ ~ ~

∇ · = ⇒ = ∇ ·

E ε 0

ε ∂t ∂t

0

In questo caso si assume che il campo elettrico sia una funzione del tempo

e perciò che sia variabile nel tempo, in effetti il campo elettrico tra le arma-

ture del condensatore varia man mano che circola corrente nel circuito, si è

cosı̀ legata la variazione di carica ad una variazione di campo elettrico. Se

ora si sostituisce questa espressione nell’equazione di continuità della carica

elettrica: !

~ ~

∂ρ ∂ E ∂ E

~ ~ ~

~

~ ~ ~

= ∇ · + = ∇ · =0

∇ ·

∇ · + +

J ε

J J ε

0 0

∂t ∂t ∂t

Si definisce il vettore:

vettore densità di corrente totale

~

∂ E

~ ~

= +

J J ε Vettore densità di corrente totale

0

T OT ∂t ~

La proprietà fondamentale di è di essere un campo solenoidale, la sua

J T OT

divergenza è sempre nulla e dunque si può risolvere la prima contraddizione

~

trovata. Si può ora modificare la legge di Ampère usando al posto di

J T OT

~

J: !

I Z Z Z

~ ~

∂ E ∂ E

~ ~ ~ ·

· = · =

+ · + n̂ dΣ

B d~s µ n̂ dΣ µ

J ε ε

J n̂ dΣ µ

0 0

0 0

0

∂t ∂t

Σ Σ Σ

dove indichiamo: Z ~ ·

= J n̂ dΣ

i Correnti di conduzione

Σ

Z ~

∂ E

= ·

ε

i n̂ dΣ Correnti di spostamento

0

s ∂t

Σ

cosı̀ che la legge di Ampère diventa:

I ~ · = (i + )

B d~s µ i Legge di Ampère completa in forma integrale

0 s 107

8.5. EQUAZIONI DI MAXWELL GENERALI

Con si è indicata una quantità che prende il nome di

i corrente di sposta-

s in realtà esse non sono legate a nessun vero spostamento di carica ma

mento,

rappresentano un’immaginaria corrente prodotta dalla variazione di campo

elettrico, in questo modo si può risolvere anche la contraddizione che deriva

dall’esperimento del condensatore.

Accanto alla forma integrale si può ovviamente scrivere la più nota forma

differenziale: ~

∂ E(t)

~ ~ ~ ~

∇ × = = +

B µ J µ J µ ε Legge di Ampère in forma differenziale

0 0 0 0

T OT ∂t

Questa legge mette in relazione il fatto che all’origine di un campo mag-

netico non c’è solamente una corrente elettrica ma anche un campo elettrico

variabile nel tempo e si è ottenuta l’espressione analitica che descrive questo

fenomeno. Tale legge rappresenta la quarta ed ultima equazione di Maxwell

in forma generale.

8.5 Equazioni di Maxwell generali

È finalmente possibile scrivere le equazioni di Maxwell per il caso più generale,

cioè quello in cui le grandezze interessate variano nel tempo. Nel vuoto esse

prendono la forma: ~

~

ρ ∂ E(t)

∂ B(t)

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~

∇ · = ∇ · =0 ∇ × = +

∇ × = −

E B B µ J µ ε

E 0 0 0

ε ∂t ∂t

0

Queste quattro leggi rappresentano le quattro equazioni di Maxwell in forma

esse descrivono e riassumono tutti quanti i comportamenti

generale nel vuoto,

e le proprietà dei campi elettrico e magnetico sia quando sono statici che

quando variano nel tempo. Mettono inoltre in rilevanza il fatto che quando

si hanno fenomeni variabili nel tempo, il campo magnetico e il campo elettrico

sono sempre legati tra di loro, per questo motivo Maxwell introdusse un unico

campo, detto che rappresenta l’unione del campo

campo elettromagnetico,

magnetico e del campo elettrico. Il campo elettromagnetico necessita di una

trattazione a parte, ne daremo alcuni cenni nel successivo capitolo ma senza

approfondire troppo la questione.

Un fatto di notevole è interesse è che le equazioni di Maxwell contengono

implicitamente l’equazione di continuità della corrente elettrica, se infatti si

calcola la divergenza di entrambi i membri della quarta equazione e poi si

utilizza la prima, si ottiene proprio l’equazione di continuità:

∂ρ

~ ~ = 0

∇ · +

J ∂t

108 CHAPTER 8. INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

Se invece si vogliono scrivere le equazioni nei mezzi materiali occorre tenere

conto del fato che nei materiale i campi elettrici generano delle cariche di

polarizzazione mentre i campi magnetici generano dell correnti di magnetiz-

zazione, conto dei campi ausiliari che sono stati introdotti:

B

~ ~ ~ ~ ~

= + = −

D ε E P H M

0 µ 0

le diven-

quattro equazioni di Maxwell generali nei mezzi materiali in quiete

tano: ~ ~

∂ B(t) ∂ D(t)

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

∇ · = ∇ × = − ∇ · =0 ∇ × = +

D ρ E B H J

L ∂t dt

Scriviamo infine le quattro equazioni nel caso più semplice in cui ci troviamo

nel vuoto e non ci sono nè cariche nè correnti elettriche:

~ ~

∂ E(t)

∂ B(t) ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ∇ · =0 ∇ × =

∇ · =0 ∇ × = − B B µ ε

E E 0 0

∂t ∂t

8.6 Legge di Felici

Il fenomeno dell’induzione elettromagnetica provoca la comparsa di una cor-

rente elettrica nel circuito e dunque il passaggio di una carica attraverso esso.

Si vuole ora legare la carica complessiva che passa nel circuito alla variazione

di flusso concatenato. Possiamo esprimere la corrente elettrica tramite le due

leggi: 1

dQ dΦ

= = −

i i

dt R dt

Eguagliando le due espressioni si trova che:

1

= − dΦ

dQ R

Per calcolare la carica complessiva occorre quindi integrare tale espressione:

Z ∆Φ Φ − Φ

1 2

= = − =

Q dQ Legge di F elici

R R

Questa espressione, nota come mette in evidenza il fatto che la

legge di Felici,

carica complessiva che fluisce in un circuito durante il processo di induzione

non dipende dal modo in cui avviene il processo ma solamente dal flusso

iniziale e finale. La legge di Felici è molto utile in numerose circostanze

109

8.7. AUTOFLUSSO ED AUTOINDUZIONE

mentre non porta a conclusioni in altre, se infatti il flusso iniziale è uguale

a quello finale dalla legge di Felici si ottiene che la carica complessiva che è

passata nel circuito è nulla. Questo è chiaramente sbagliato, è la somma di

tutta la carica ad essere nulla ma non la carica effettiva che passa nel circuito,

per ovviare a questo problema occorrerebbe dividere il processo nelle diverse

fasi e di volta in volta sommare il modulo della carica che si ottiene.

8.7 Autoflusso ed autoinduzione

Nel paragrafo 6.8 si è parlato della forza con cui si attraggono due circuiti

percorsi da corrente, si vuole ora vedere come interagiscono due circuiti inde-

formabili, fissi l’uno rispetto all’altro e posti a distanza ravvicinata. Ognuno

~ ~

dei due circuiti genera un campo magnetico che indichiamo con e . Per

B B

1 2

ciascuno dei due campi è possibile calcolare il flusso concatenato con il cir-

~

cuito vicino, indichiamo con Φ il flusso di attraverso il secondo circuito

B

1,2 1

~

e con Φ il flusso di attraverso il primo circuito. Utilizzando le prima

B

2,1 2

legge di Laplace vista nel capitolo 6 calcoliamo i due flussi:

I

Z ×

d~s û

µ i 1

0 1 r ·

·

Φ = n̂ dΣ 2

1,2 2

4π r

Σ 2

dove Σ è una qualunque superficie che si appoggi sul secondo circuito. Se

2

la corrente che scorre nel primo circuito è costante possiamo scrivere il flusso

come: Φ = M i

1,2 1,2 1

dove:

I

Z ×

d~s û

µ 1

0 r ·

·

= n̂ dΣ

M 2

1,2 2

4π r

Σ 2

In maniera del tutto analoga si può scrivere per il flusso attraverso il primo

circuito: Φ = M i

2,1 2,1 2

I termini e prendono il nome di

M M coefficienti di mutua induzione

1,2 2,1

e dipendono solamente dalle proprietà geometriche dei circuiti e dal mezzo

in cui essi sono immersi. Se i circuiti sono indeformabili e fissi tra di loro

risulta che = = dove è il coefficiente di mutua induzione del

M M M M

1,2 2,1

sistema, si può dunque scrivere:

Φ = Φ =

M i M i

1,2 1 2,1 2

110 CHAPTER 8. INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

Quando 6 == 0 i due circuiti si dicono

M accoppiati.

Si può inoltre calcolare il flusso di un campo magnetico generato da un cir-

cuito concatenato con il circuito stesso, in questo caso si parla di autof lusso,

utilizzando la prima legge di Laplace si può scrivere l’autoflusso come:

I

Z ×

d~s û

µ i

0 r ·

Φ= n̂ dΣ

2

4π r

Φ

Si definisce la quantità:

coefficiente di autoinduzione L

I

Z ×

µ d~s û

0 r

= ·

L n̂ dΣ

2

4π r

Φ

Si può scrivere l’autoflusso come:

Φ = Li Autof lusso

L’autoflusso di un circuito è pari al prodotto tra il coefficiente di autoin-

duzione del circuito e la corrente che scorre nel circuito stesso. Generalmente

il coefficiente di autoinduzione è anche indicato con e un circuito

induttanza

per il quale 6 = 0 viene chiamato

L induttore.

Quando la corrente nel circuito non è costante l’autoflusso ha una con-

seguenza importante. Infatti una variazione di corrente in un induttore cor-

risponde ad una variazione di autoflusso, di conseguenza nel circuito compare

una forza elettromotrice, detta secondo

forza elettromotrice di autoinduzione,

la legge di Faraday: d(Li)

E = − = −

L dt dt

Nel caso particolare in cui l’induttanza rimanga costante, la forza elettro-

motrice di autoinduzione diventa: di(t)

E = −L

L dt

Come per la forza elettromotrice indotta la EL si oppone alla causa che l’ha

generata, dunque la presenza di un induttore in un circuito impedisce alla

corrente elettrica di aumentare o diminuire istantaneamente. Il fenomeno de-

scritto prende il nome di nel prossimo paragrafo si vedranno

autoinduzione,

le conseguenze di tale fenomeno su un circuito in cui una resistenza è colle-

gata in serie con un induttore.

Si vuole ora calcolare il coefficiente di autoinduzione per unità di lunghezza

di un solenoide rettilineo. Indichiamo con la densità di spire per unità di

n 111

8.8. CIRCUITI RL

lunghezza, con Σ l’area di una spira, con la lunghezza del solenoide e con

d

la corrente che circola in esso. Risultano valide le seguenti relazioni:

i 2

= Φ = = =

B µ ni N BΣ ndBΣ µ n dΣi

0 0

da cui: Φ

L 2

= = Σ

µ n

0

d i

da cui l’induttanza: 2

= Σd

L µ n

0

8.8 Circuiti RL

Si vuole ora studiare nel dettaglio cosa accade in un circuito in cui sono

collegati in serie una resistenza un induttore un generatore di forza

R, L,

elettromotrice E e un interruttore. Le due fasi in cui è interessante studiare

il comportamento del circuito sono quella in cui viene chiuso il circuito e

comincia a circolare corrente grazie al generatore e quella in cui viene aperto

il circuito, dove cioè viene staccato il generatore. Per entrambi i casi è comodo

disporre di un’equazione di maglia, ricordando le leggi di kirchhoff viste nel

paragrafo 5.7, si può scrivere la seguente equazione valida istante per istante

nel circuito: E + E = Ri

L

Al posto di E sostituiamo l’espressione trovata nel paragrafo precedente:

L di(t)

E = +

L Ri(t)

dt

Si tratta di un’equazione differenziale a variabili separabili in cui l’incognita

è ha come soluzione:

i(t), Rt

E − =

Ri(t) c e L

Dove è la costante di integrazione che va determinata in base alle condizioni

c

iniziali del circuito. Si possono ora distinguere i due case:

· Quando si chiude l’interruttore comincia a scorrere una corrente nel circuito,

l’autoflusso dell’induttore cambia e compare una forza elettromotrice di au-

toinduzione che si oppone a tale variazione, come conseguenza la corrente

non può crescere istantaneamente e deve per tanto risultare che = 0, da

i(0)

cui si ottiene che = E, l’equazione precedente diventa:

c

E Rt

= 1 −

i(t) e L

R

112 CHAPTER 8. INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

Come si vede dall’equazione stessa, l’effetto dell’induttanza è quello di ral-

lentare la crescita della corrente tanto più quanto è maggiore il valore di L.

La corrente elettrica tende al valore asintotico:

E

=

i ∞ R

Dato che la corrente elettrica cresce nel tempo ci si aspetta che la forza

elettromotrice di autoinduzione diminuisca nel tempo, infatti:

di(t) Rt

= −Ee

E = −L L

L dt

Il fatto che la corrente non cresca istantaneamente al valore asintotico oltre

che al motivo precedentemente spiegato, può essere interpretato anche come

la comparsa di una corrente elettrica, detta , che

i

extra corrente di chiusura L

si oppone alla normale corrente prodotta dal generatore, il suo valore può

essere calcolato come: E E

Rt L

− =

− = = −

e i

i i(t) L L

∞ R R

· Consideriamo ora il caso in cui il circuito si trova alla condizione di equilibrio

in cui = e supponiamo di aprire l’interruttore. La corrente che scorre

i(t) i

nel circuito comincia ad diminuire rallentata però dalla forza elettromotrice

E

di autoinduzione, perciò possiamo porre = = . L’equazione del

i(0) i

∞ R

circuito in questo caso diventa: di(t) =

−L Ri(t)

dt

che risolta ha come soluzione: E Rt

=

i(t) e L

R

La corrente elettrica decresce nel tempo fino al valore asintotico = 0, la

i ∞

decrescita è tanto più lenta quanto è maggiore il valore dell’induttanza.

8.9 Energia magnetica

Si vuole ora studiare il bilancio energetico del circuito descritto nel precedente

paragrafo, difatti quando c’è una corrente elettrica, e quindi uno sposta-

mento di cariche, c’è un compimento di lavoro. Consideriamo nuovamente

l’equazione generale del circuito: d i(t)

E = +L + Ri(t)

dt 113

8.9. ENERGIA MAGNETICA

Per ottenere l’equazione che rappresenta il del circuito

bilancio energetico

moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione per i(t)dt:

2

E = (t)dt +

i(t)dt R i L i(t)dt

Analizziamo i singoli termini ricordando quanto dedotto nel paragrafo 5.4.

Il termine E corrisponde per definizione al lavoro compiuto dal gener-

i(t)dt 2

atore, il termine (t)dt rappresenta l’energia che viene dissipata dalla re-

R i

sistenza sotto forma di calore per effetto Joule, il termine rappresenta

L i(t)dt

il lavoro speso dal generatore contro la forza elettromotrice di autoinduzione

per far aumentare la corrente da a + Se si vuole portare la corrente da

i i di.

0 ad un valore si deve quindi compiere il lavoro:

i Z i 1 2

=

= Li

Li di

W 2

0

Come si può notare il lavoro compiuto per raggiungere questa corrente non

dipende dal modo in cui è stata raggiunta ma soltanto dal suo valore finale,

si può quindi definire un’energia pari a:

intrinseca della corrente

1 2

= Li

U Energia magnetica intrinseca

L 2

che corrisponde al lavoro che il generatore compie per far circolare cor-

rente contro la forza elettromotrice di autoinduzione. Quando invece si apre

l’interruttore il lavoro per far circolare la corrente è fornito a spese di questa

energia intrinseca.

Analogamente a quanto fatto per l’energia elettrostatica si può pensare all’energia

intrinseca come localizzata nei punti dello spazio in cui c’è un campo mag-

netico. Per l’energia elettrostatica si era preso in considerazione un conden-

satore, in questo caso possiamo prendere in considerazione un solenoide la cui

2

induttanza, calcolata precedentemente, è data dall’espressione = Σd.

L µ n

0

Sostituiamo l’espressione di in quella dell’energia intrinseca, si ottiene:

L 2 2

1

1 B B

2 2 2

= = Σdi = Σd =

U Li µ n τ

0

L 2 2 2µ 2µ

0 0

Come si può ben notare, l’espressione ottenuta non contiene alcun elemento

distintivo del sistema iniziale che si è considerato, questo dimostra la sua

generalità, si può quindi definire la come:

densità di energia magnetica

2

1 1 1

B 2

= = =

u µ H HB Densità di energia magnetica

0

m 2 2 2

µ 0

114 CHAPTER 8. INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

Se si conosce l’espressione della densità di energia magnetica, si può calcolare

l’energia magnetica contenuta in una certa regione di spazio:

Z Z

1 2

=

= u dτ B dτ

U m

m 2µ 0

τ τ

La densità di energia magnetica può essere espressa anche per i mezzi mate-

riali, in particolare se i mezzi sono lineari assume la forma:

2 1 1

1 B 2

= =

= µH HB

u m 2 2 2

µ

Quando si hanno due circuiti accoppiati l’energia magnetica del sistema è

data dall’espressione: 1 1

21 22

= + +

U L i L i M i i

1 2 1 2

m 2 2

Chapter 9

Campo elettromagnetico

Nel precedente capitolo si è parlato dei fenomeni variabili nel tempo e si

è mostrato come i campi magnetici ed elettrici dipendano l’uno dall’altro.

Questa dipendenza portò Maxwell ad elaborare un concetto che racchiudesse

entrambi i fenomeni in se, si parla cosı̀ di Il campo

campo elettromagnetico.

elettromagnetico è un campo che si può propagare sia nel vuoto che nella

materia, visto che i campi elettrici e magnetici possono essere definiti sia

nel vuoto che nella materia. Il campo elettromagnetico è descritto comple-

tamente dalle quattro equazioni di Maxwell in forma generale, nel caso dei

mezzi materiali sono: ~ ~

∂ B(t) ∂ D(t)

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

∇ · = ∇ × = − ∇ · =0 ∇ × = +

D ρ E B H J

L ∂t dt

L’interazione del campo magnetico con corpi carichi è espressa mediante la

forza di Lorentz: ~ ~ ~

= + ×

F Q( E ~v B)

La trattazione del campo elettromagnetico richiede la completa conoscenza

dei fenomeni ondulatori, per questo motivo in queste note tratteremo solo una

piccola parte della teoria che c’è dietro l’elettromagnetismo. Nel prossimo

paragrafo si vedrà come il campo elettromagnetico possa essere interpretato

come un’onda.

9.1 L’onda elettromagnetica

Ciò che si notò fin da subito è che il campo elettromagnetico genera dei

fenomeni tipici delle onde, viene quindi interpretato come un’onda, chiamata

che si propaga nello spazio con o senza materia. Nel

onda elettromagnetica, 115

116 CHAPTER 9. CAMPO ELETTROMAGNETICO

caso più semplice è possibile dimostrare che l’onda elettromagnetica si com-

porta come un’onda Prima di proseguire con la trattazione conviene

piana.

vedere brevemente cosa è un’onda piana. Indichiamo con la

ξ(x, y, z, t) fun-

cioè la generica la perturbazione di un campo, prodotta da una

zione d’onda,

sorgente, che si propaga nello spazio. L’onda piana è descritta dalla funzione

è cioè un’onda che dipende solamente da una coordinata spaziale ed

ξ(x, t),

una temporale. Un’onda piana obbedisce all’equazione differenziale:

2 2

1

∂ ξ ∂ ξ

= Onda piana

2 2 2

∂x v ∂t

La precedente equazione è detta oppure

equazione delle onde piane equazione

2

il termine rappresenta il quadrato della velocità di propagazione

v

di d’Alembert,

dell’onda. Le soluzioni dell’equazione delle onde piane hanno la forma:

= (x − + (x +

ξ(x, t) ξ vt) ξ vt)

1 2

dove la componente (x − è detta e rappresenta lo

ξ vt) onda progressiva,

1

spostamento positivo lungo l’asse x, mentre la componente (x + è detta

ξ vt)

2

e rappresenta lo spostamento negativo lungo l’asse x. A

onda regressiva

seconda delle condizioni possono o meno essere presenti entrambe le compo-

nenti. Quanto visto è sufficiente per descrivere l’onda elettromagnetica come

un’onda piana.

Consideriamo il caso semplificato in cui non ci siano cariche elettriche sor-

genti, non ci siano correnti di conduzione e la propagazione avvenga nel

vuoto. È evidente che se l’onda elettromagnetica si comporta come un’onda

piana deve soddisfare l’equazione delle onde, tale relazione deve necessaria-

mente essere implicita nelle equazioni di Maxwell. Consideriamo l’equazione

di Maxwell: ~

∂ B

~ ~

∇ × = −

E ∂t

e calcoliamo il rotore di entrambi i membri:

d

~ ~ ~ ~ ~

∇ × ( ∇ × = − ( ∇ ×

E) B)

dt

Ricordando le relazioni: ~

∂ E

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

2

∇ × ( ∇ × = ∇ · ( ∇ · − ∇ ∇ × = +

E) E) E B µ J µ ε

0 0 0 ∂t

si ottiene: !

~

∂ E

d ~

~ ~ ~ ~

2 +

∇ · ( ∇ · − ∇ = − µ J µ ε

E) E 0 0 0

dt ∂t 117

9.1. L’ONDA ELETTROMAGNETICA

~

~ ~ ρ = 0 e = 0 dato che si è assunto che non ci fossero

Risulta che ∇ · = µ J

E 0

ε 0

cariche sorgenti e correnti di conduzione. Si ottiene dunque l’equazione:

~

2

∂ E

~

2 =

∇ E µ ε Equazione di d’Alembert per l’onda elettromagnetica

0 0 2

∂t

L’equazione di d’Alembert per l’onda elettromagnetica rappresenta la forma

vettoriale dell’equazione delle onde piane, come volevasi dimostrare il campo

elettromagnetico si comporta come un’onda. È di notevole interesse calcolare

la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche:

1 1 m

8

= ⇒ = = = 2.99792458 · 10

µ ε v c √

0 0

2

v µ ε s

0 0

Un’onda elettromagnetica si propaga nel vuoto con una velocità pari alla

velocità della luce, per questo motivo Maxwell ipotizzò che la stessa luce

non è altro che un’onda composta da un campo elettrico e da un campo

magnetico, ma di questo argomento non si parlerà qui.

Si può rappresentare l’equazione di d’Alembert anche mediante l’operatore

dalembertiano di cui si è parlato nel paragrafo 1.4:

~ =0

E Equazione di d’Alembert per l’onda elettromagnetica

Tralasciando la dimostrazione, nell’ipotesi che l’onda elettromagnetica si

propaghi lungo la direzione positiva dell’asse x, si ottiene la relazione che

il campo elettrico e il campo magnetico:

~ = (x − + (x −

E E vt)û E vt)û

y y z z

~ = −E (x − + (x −

v B vt)û E vt)û

z y y z

Dalla seconda equazione si trova la relazione tra i moduli dei campi, valida

istante per istante: E

E

= = =

B E vB v

v B

Se invece si effettua il prodotto scalare tra le due equazioni si ottiene:

~ ~

· =0

E B

Il campo elettrico e il campo magnetico sono perpendicolari tra loro. Se

invece si effettua il prodotto vettoriale si ottiene:

2

E

~ ~ =

× = û EB û

E B x x

v

esso ci da la direzione e il verso di propagazione del campo elettromagnetico.

118 CHAPTER 9. CAMPO ELETTROMAGNETICO

9.2 Il vettore di Poynting

Per il campo elettrico e per il campo magnetico si è parlato rispettivamente

di energia elettrica ed energia magnetica, assumendo che essa risiede nelle

regioni di spazio in cui esiste un campo non nullo. Si vuole ora ottenere

l’espressione per l’energia Indichiamo con la generica

ω

elettromagnetica.

espressione della che vogliamo trovare.

densità di energia elettromagnetica

Si consideri ora una regione di spazio di volume , l’energia elettromagnetica

τ

contenuta in esso sarà data dall’integrazione:

Z ωdτ

τ

Il campo elettromagnetico si propaga come un’onda, in generale quindi l’energia

che trasporta non è costante. Se si assume però che l’energia elettromagnet-

ica si conservi localmente allora si può scrivere (analogamente a quanto fatto

per la conservazione della carica elettrica): Z

Z

Z dω

d ~ ·

= − =

− S n̂ dΣ

ωdτ dτ

dt dt Σ

τ

τ

La variazione di energia contenuta in un volume è pari all’opposto del

τ

~

flusso di un vettore detto attraverso la superficie Σ

S, vettore di Poynting,

che racchiude il volume . Il vettore di Poynting è un vettore che ha per

τ

moduo l’energia elettromagnetica che per unità di tempo attraversa l’unità

di superficie ortogonale alla velocità di propagazione del campo elettromag-

netico. Nel caso più generico in cui nel volume siano contenute anche delle

τ

cariche elettriche occorre tenere conto del lavoro che il campo elettromag-

netico compie su di esse. Il lavoro della forza elettrica è dato dall’espressione

R ~ ~

· come si è visto nel paragrafo 5.4, mentre il campo magnetico non

E J dτ

τ

compie lavoro sulle cariche elettriche visto che la forza di Lorentz è sem-

pre diretta ortogonalmente alle cariche. Il bilancio energetico complessivo si

scrive quindi come: Z

Z Z

dω ~ ~

~

= ·

· +

− dτ E J dτ

S n̂ dΣ

dt Σ τ

τ

Applicando il teorema della divergenza al secondo membro si ottiene l’equazione:

∂ω

~ ~ ~ ~

· = − − ∇ ·

E J S

∂t

~

Sia l’espressione di che di sono ancora ignote, per determinarle trovi-

ω S

amo un’altra equazione che soddisfi quella appena ottenuta. Consideriamo

119

9.3. EQUAZIONI PER I POTENZIALI

l’equazione di Maxwell: ~

∂ E

~ ~ ~

∇ × = +

B µ J µ ε

0 0 0 ∂t

~ ~ ~

moltiplichiamo entrambi i membri per ed isoliamo il termine ·

E E J:

~

1 ∂ E

~

~ ~ ~

~ ~ ·

· ( ∇ × −

· = E

E B) ε

E J 0

µ ∂t

0

Ricordando le relazioni: ~

∂ B

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

· ( ∇ × = · ( ∇ × + ∇ · ( × ∇ × = −

E B) B E) B E) E ∂t

Si ottiene cosı̀: ~ ~

1

1 ∂ B ∂ E

~ ~ ~ ~ ~

~ ~ +

· ∇ · ( × − ·

· = − B B E) ε E

E J 0

µ ∂t µ ∂t

0 0

che può essere riscritta come:

1

1

1

~ ~ ~ ~ ~

2 2

· = − − ∇·

+ ×

E J ε E B E B

0

2 2µ

∂t µ

0 0

L’equazione cosı̀ trovata ha la stessa forma di quella cercata, possiamo quindi

~

esplicitare le espressioni analitiche di ed nel vuoto:

ω S 1

1

1 ~ ~

~ 2 2

+

× =

= ε E B

E B ω

S 0

2 2µ

µ 0 0

In un mezzo omogeneo diventano invece: 1

1

~ ~ ~ +

= × = ED BH

S E H ω 2 2

9.3 Equazioni per i potenziali

In questo paragrafo si voglio trovare delle equazioni per i potenziali dei campi

elettrici e magnetici nella forma più generale possibile. Si è visto che quando

i campi sono variabili le relazioni tra campi e potenziali sono date da:

~

∂ A ~ ~ ~ ~

~ − ∇V = ∇ ×

= − B A

E ∂t

120 CHAPTER 9. CAMPO ELETTROMAGNETICO

Cerchiamo ora di trovare delle espressioni per i potenziali che non dipendano

dai campi, per il potenziale elettrico consideriamo l’equazione di Maxwell:

ρ

~ ~

∇ · =

E ε 0

~

Sostituiamo al posto di l’espressione con i potenziali:

E !

~ ~ ~

∂ A ρ ∂ A ρ

~ ~ 2

∇ · − − ∇V = ⇒ ∇ + = −

V

∂t ε ∂t ε

0 0

Lasciamo momentaneamente da parte questa espressione e passiamo al poten-

ziale vettore per il campo magnetico. Consideriamo l’equazione di Maxwell:

~

∂ E

~ ~ ~

∇ × = +

B µ J µ ε

0 0 0 ∂t

~ ~

Sostituiamo al posto di e di le spressioni con i potenziali:

B E !

~

∂ A

∂ ~

~ ~ ~ ~ − ∇V −

∇ × ( ∇ × = +

A) µ J µ ε

0 0 0 ∂t ∂t

Ricordando l’espressione vettoriale:

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

2

∇ × ( ∇ × = ∇( ∇ · − ∇

A) A) A

si ottiene: ~

2

∂V ∂ A

~ ~ ~ ~ ~ ~

2

∇( ∇ · − ∇ = − ∇ −

A) A µ J µ ε µ ε

0 0 0 0 0 2

∂t ∂t

da cui:

~

2

∂ A

∂V ~

~ ~ ~ ~

2 = −µ

∇ − ∇ ∇ · + µ ε J

A A µ ε 0

0 0

0 0 2

∂t ∂t

Nel paragrafo 6.12 si è visto come ci sia una certa libertà nel poter scegliere

~

il valore della divergenza del potenziale vettore in questo caso è comodo

A,

~ ~

scegliere ∇ · come segue:

A 1

∂V ∂V

~ ~

∇ = −µ = −

A ε Gauge di Lorentz

0 0 2

∂t c ∂t

Questa scelta opportuna prende il nome di Ricordando che

gauge di Lorentz.

1

= , si ottengono per il potenziale vettore magnetico e per il potenziale

µ ε

0 0 2

c

elettrico (riprendendo l’espressione lasciata in sospeso) le espressioni:

~

2 2

1 1

∂ ∂ V

A ρ

~ ~

2 2

= −µ = −

∇ − ∇ −

A J V Equazioni per i potenziali

0

2 2 2 2

c ∂t c ∂t ε 0 121

9.3. EQUAZIONI PER I POTENZIALI

Per una certa distribuzione di carica o di correnti si possono calcolare i campo

~ ~

e mediante le equazioni di Maxwell oppure risolvendo le equazioni per i

E B

potenziali e trovando poi i campi dalle relazioni che li legano ad essi. Ricor-

diamo l’operatore dalembertiano, le equazioni per i potenziali possono essere

scritte anche come: ρ

~ ~

= −µ = −

A J Equazioni per i potenziali

V

0 ε 0

122 CHAPTER 9. CAMPO ELETTROMAGNETICO

Chapter 10

Oscillazioni in circuiti elettrici

In questo capitolo ci occupiamo di descrivere il comportamento di quei cir-

cuiti in cui scorre una corrente variabile nel tempo. Nei paragrafi 5.8 e 8.8

sono già stati analizzati i circuiti RC e i circuiti RL, ora oltre a voler general-

izzare le nozioni viste per circuiti più complessi si vuole anche studiare quei

circuiti in cui compare un generatore di Una corrente

corrente alternata.

si dice se varia proporzionalmente nel tempo secondo una legge

alternata

oppure cos(ωt). Più in generale si definisce una grandezza

sen(ωt) alternata,

periodica che ha valore medio nullo nell’arco di un periodo. Come si vedrà

più avanti, una corrente alternata viene prodotta da un generatore che pro-

duce una è di particolare interesse l’angolo

forza elettromotrice alternata,

di sfasamento tra le due grandezze. Nel prossimo paragrafo analizziamo il

comportamento di un circuito RLC.

10.1 Circuiti RLC

Un circuito è un circuito costituito da un condensatore carico di ca-

RLC

pacità da un induttore di valore e da una resistenza di valore disposti

C, L R

in serie. Quando si chiude l’interruttore comincia a circolare una corrente

Q(t) , dove è la carica contenuta nel conden-

nel circuito pari a = − Q(t)

i(t) dt

satore, allo stesso tempo nell’induttore compare una forza elettromotrice di

di(t) . L’equazione del circuito è dunque la seguente:

autoinduzione −L dt Q(t) di(t)

− =

L Ri(t)

C dt

Sostituendo a l’espressione −i(t)dt e derivando rispetto al tempo si

Q(t)

ottiene: 2

d i(t) di(t)

R i(t)

+ + =0

2

dt L dt LC

123

124 CHAPTER 10. OSCILLAZIONI IN CIRCUITI ELETTRICI

Introduciamo le quantità: 1

R √

=

= ω

γ 0

2L LC

dove prende il nome di mentre si chiama

γ ω

coefficiente di smorzamento, 0

Riscriviamo l’equazione come:

pulsazione propria. 2

d i(t) di(t) 2

+ 2γ + = 0

ω i(t)

0

2

dt dt

Questa equazione è un’equazione differenziale lineare del secondo ordine ed

ha la stessa forma dell’equazione che descrive l’oscillatore armonico smorzato.

Dalla teoria dell’analisi matematica riguardante le equazioni differenziali (che

qui non verrà illustrata) sappiamo che la soluzione generale ha la forma:

t t

−λ −λ

= +

i(t) c e c e

1 2

1 2

dove e sono le soluzioni dell’equazione caratteristica:

λ λ

1 2 2 2

+ 2γλ + = 0

λ ω

0

Le costanti di integrazione e si ottengono dalle condizioni iniziali del

c c

1 2

problema quando queste sono fornite. A seconda della relazione tra e si

γ ω

0

ottengono soluzioni differenti:

2 2

- :

γ > ω

Smorzamento forte 0 √ √

2 2

2 2

t

γt γ γ

−ω −t −ω

= +

c e

i(t) e c e

0 0

1 2

2 2

- = :

γ ω

Smorzamento critico 0 −γt

= (c +

i(t) e c t)

1 2

2 2

- :

γ < ω

Smorzamento debole 0 q

−γt 2 2

= + con = ω γ

i(t) c e sen(ωt φ) ω 0

In quest’ultimo caso le costanti di integrazione sono date da dall’angolo

c φ.

Nei primi due casi si ha un andamento esponenziale decrescente mentre nel

terzo caso si ha un’oscillazione smorzata. In tutti e tre i casi la corrente

elettrica tende asintoticamente a 0. Questo rappresenta un caso generale, per

i casi particolari si può ripetere il ragionamento con considerazioni analoghe.

125

10.2. CIRCUITI RLC IN CORRENTE ALTERNATA E RISONANZA

10.2 Circuiti RLC in corrente alternata e riso-

nanza

Nel precedente paragrafo si è parlato dei circuiti in serie e si è visto

RLC

come la corrente tenda in ogni caso al valore nullo in un tempo infinito.

Si pone ora il problema di voler mantenere un’oscillazione permanente in un

circuito Per farlo occorre chiaramente utilizzare un generatore di forza

RLC.

elettromotrice variabile nel tempo, tale forza elettromotrice dovrà essere una

grandezza e pertanto può essere scritta con un’espressione del tipo:

alternata E = E +

cos(ωt φ)

0

L’equazione del circuito diventa: Q(t)

di(t)

E + − = +

cos(ωt φ) L Ri(t)

0 dt C

Sostituendo a l’espressione e derivando nel tempo si ottiene:

Q(t) i(t)dt

2 di(t)

R i(t) ωE

d i(t) 0

+ + = − +

sen(ωt φ)

2

dt L dt LC L

La soluzione di questa equazione differenziale è data dalla somma dell’equazione

omogenea (termine noto nullo) che è già stata trovata nel paragrafo prece-

dente e dalla somma di un’equazione che possiamo cercare nella

particolare,

forma = Le due soluzioni coesistono solamente durante la fase

i(t) i cos(ωt).

0

transitoria, quando si raggiunge lo stato di regime la soluzione dell’omogenea

si annulla (come precedentemente visto la corrente tende a 0) e resta soltanto

l’equazione particolare. Un modo per determinare i parametri della soluzione

particolare è il cosı̀ detto Senza effettuare

metodo delle costanti arbitrarie.

i calcoli, che sono puramente algebrici, si sostituisce la soluzione particolare

all’equazione omogenea e alla fine si eguagliano i coefficienti dei due membri;

risulta che l’equazione particolare è soluzione dell’equazione differenziale se

sono soddisfatte le condizioni:

1

ωL E 0

ωC =

= i

tg φ q

0

R 2

1

2 + −

R ωL ωC

Tramite un generatore di forza elettromotrice variabile è quindi possibile

instaurare un’oscillazione elettrica permanente nel circuito. La corrente elet-

trica = oscilla con la stessa pulsazione della forza elettro-

i(t) i cos(ωt)

0

motrice, le due grandezze sono però sfasate di un angolo che dipende da

φ ω

126 CHAPTER 10. OSCILLAZIONI IN CIRCUITI ELETTRICI

e dalle proprietà del circuito.

Una situazione particolare si verifica quando la pulsazione della forza elet-

ω

tromotrice è uguale alla pulsazione propria del circuito, la corrente elet-

ω

0

trica assume il suo massimo valore e lo sfasamento tra la corrente e la forza

elettromotrice è nullo: questo fenomeno prende il nome di In

risonanza.

condizioni di risonanza si ha: E E E

1 0 0

=0 = = =

= φ i i(t) cos(ωt)

ωL Risonanza

0

ωC R R R

Il circuito ha un comportamento puramente cioè 6 = 0 e =

resistivo, R L

0. Se viceversa fosse stato 6 = 0 e = 0 il circuito avrebbe avuto un

L R

comportamento puramente induttivo.

Se si analizzano le varie combinazioni di due componenti disposi in serie si

trova che il valore massimo del potenziale ai capi della serie è legato al

V 0

valore massimo della corrente dalla relazione di proporzionalità:

i

0 =

V Z i

0 0 0

è detta e come si può vedere l’impedenza ha come

Z impedenza della serie

0

unità di misura l’Ohm Ω, lo stesso della resistenza. Tuttavia non si tratta di

una resistenza reale in quanto può essere calcolata anche per il condensatore

e per l’induttore. Mostriamo nella seguente tabella i valori dell’impedenza

per i vari componenti:

Componente Impedenza Z 0

Resistenza R R

Induttanza L ωL

1

Condensatore C ωC

Quando si hanno più componenti disposti in serie l’impedenza equivalente

della serie corrisponde alla somma delle singole impedenze.

Se invece si considerano le possibili combinazioni di componenti disposti in

parallelo risulta che la relazione tra e è data da:

V i

0 0

=

i Y V

0 0 0

è detta risulta che l’ammettenza non è altro che l’inverso

Y ammettenza,

0

dell’impedenza: 1

=

Y Ammettenza

Z

Le ammettenze dei singoli componenti sono riportate nella seguente tabella:

127

10.3. METODO SIMBOLICO

Componente Ammettenza Y

1

Resistenza R R

1

Induttanza L ωL

Condensatore C ωC

Quando si hanno più elementi disposti in parallelo l’ammettenza equiv-

alente corrisponde alla somma delle singole ammettenze, dunque l’inverso

dell’impedenza equivalente è pari alla somma degli inversi delle singole im-

pedenze, viceversa lo stesso si più dire per l’ammettenza complessa di più

elementi disposti in serie.

Nel fornire i dati riportati nelle tabelle si sono trascurati i numerosi pro-

cedimenti e calcoli che si sarebbero dovuti eseguire, nel prossimo paragrafo

illustreremo una metodologia adottata per la risoluzione di circuiti in corrente

alternata che consentirà una semplificazione nei procedimenti.

10.3 Metodo simbolico

La difficoltà nella risoluzione dei circuiti in corrente alternata risiede nel

fatto che tra le grandezze non esiste una relazione di proporzionalità come

avveniva con la legge di Ohm, come già visto una relazione di proporzion-

alità esiste solamente tra i valori massimi da esse raggiunti. Occorre inoltre

osservare che, essendo la forza elettromotrice e la corrente sfasate, tali valori

massimi sono raggiunti in instanti di tempo diversi, l’impedenza cosı̀ come è

stata introdotta non è quindi di grandissimo aiuto quando le grandezze non

si trovano ai valori massimi.

Per ovviare a questi problemi si è introdotto un metodo alternativo per in-

terpretare i fenomeni oscillatori nei circuiti basandosi sui numeri complessi,

questo metodo è chiamato Il metodo simbolico consiste

metodo simbolico.

nell’associare a ciascuna grandezza reale una corrispondente grandezza com-

plessa la cui parte reale corrisponde alla grandezza reale. Si effettuano cosı̀

i conti sulle grandezze complesse per poi alla fine considerare solo la parte

reale. Il vantaggio di questo procedimento verrà illustrato a breve.

Poichè si effettueranno dei conti con i numeri complessi d’ora in avanti si

indicherà la corrente elettrica con la lettere maiuscola, mentre con la let-

I

tera minuscola si intende l’unità cioè quella costante tale che

i immaginaria,

2 = −1.

i

Se si considera una generica grandezza reale = la grandezza

x(t) x cos(ωt+φ),

0

i(ωt+φ)

complessa associata avrà la forma = , se infatti si ricorda la

x̄(t) x e

0

128 CHAPTER 10. OSCILLAZIONI IN CIRCUITI ELETTRICI

1

formula di Eulero :

ix = +

e cos(x) isen(x) F ormula di Eulero

si ottiene: = + + +

x̄(t) x cos(ωt φ) ix sen(ωt φ)

0 0

da cui: =

x(t) Re[x̄(t)]

come richiesto.

Vediamo di seguito l’applicazione di questo metodo ai tre principali compo-

nenti di un circuito elettrico. Si considerino come grandezze reali la forza

elettromotrice E(t) = E + e la corrente elettrica =

cos(ωt φ) I(t) I cos(ωt),

0 0

si ha nei vari casi:

1) per la resistenza in realtà non è necessario applicare alcun

Resistenza:

metodo visto che per essa si dispone già di una relazione di proporzionalità

tra tensione e corrente, cioè la legge di Ohm E (t) = non c’è nessuno

RI(t),

R

sfasamento tra le due grandezze.

2) procedendo tramite le grandezze reali si ha che:

Induttanza:

dI(t) π

E (t) = = −ωLI = +

L sen(ωt) ωLI cos ωt

0 0

L 2

dt

In questo caso si può vedere che la tensione non è proporzionale al valore della

corrente assunta in quel preciso istante ma al valore della corrente assunta

π π

dopo un angolo di , si dice che la tensione è in di sulla corrente.

anticipo

2 2

Se indichiamo E = , si definisce la quantità:

ωLI reattanza dell’induttore

0 0 V 0 =

= ωL

X L I 0

La non è altro che il rapporto tra i valori massimi della tensione e

reattanza

della corrente, essa corrisponde alla parte immaginaria dell’impedenza com-

plessa che ora vedremo.

Se si segue il metodo simbolico invece consideriamo la corrente nella forma

iωt

complessa = , da cui:

I(t) I e

0 dI(t)

E (t) = =

L iωLI(t)

L dt i π

1 Si ricordino in particolare le due espressioni derivate dalla formula di Eulero: =

e i

2

iπ =1

e e 129

10.3. METODO SIMBOLICO

La tensione e la corrente in forma complessa sono proporzionali tramite il

coefficiente complesso: E (t) π

π

L i

i =

= = = Z e

Z iωL ωLe 2 2

0

I(t)

è chiamata ed corrisponde al rapporto tra la ten-

Z impedenza complessa

sione elettrica e la corrente elettrica. In questo passaggio si può apprezzare

il vantaggio del metodo simbolico, mentre per le grandezze reali l’impedenza

è pari al rapporto dei valori massimi, le grandezze complesse sono sempre

proporzionali tramite l’impedenza complessa. L’utilizzo di grandezze comp-

lesse ha come effetto quello di ripristinare una relazione di proporzionalità

tra la tensione e la corrente rendendo più semplice la trattazione di circuiti

complicati. π

Nel caso dell’induttanza si ha = = e = , da cui:

Z X ωL φ

0 L 2 π

π )

iωt i(ωt+

i =

E (t) = = I e ωLI e

ZI(t) ωLe 2 2

0 0

L

Se si considera solo la parte reale si ottiene l’espressione trovata precedente-

mente.

3) passando per le grandezze reali si ha:

Condensatore:

(t)

dE I π

dQ(t) 0

C

= ⇒ E (t) = −

= C cos ωt

I(t) C 2

dt dt ωC

Anche in questo caso la tensione non è proporzionale al valore assunto dalla

corrente nel medesimo instante ma al valore assunto un quarto di periodo

π

prima, si dice quindi che la tensione è in di sulla corrente. In questo

ritardo 2

I , la reattanza del condensatore è pari a:

caso si ha E = 0

0 ωC E 1

0

= =

X C I ωC

0

Se invece si passa per le grandezze complesse, analogamente a quanto fatto

per l’induttanza, si ottiene: 1

i π π

−i −i

= − = =

Z e Z e

2 2

0

ωC ωC

da cui: I π

0 )

i(ωt−

E (t) = = e

ZI(t) 2

C ωC

Se si prende la parte reale si ottiene di nuovo l’espressione precedente.

130 CHAPTER 10. OSCILLAZIONI IN CIRCUITI ELETTRICI

La comodità del metodo simbolico è dunque quella di poter riconsiderare

la tensione e la corrente come grandezze tra loro proporzionali in ciascun

istante, inoltre in alcuni casi è più facile eseguire calcoli con esponenziali

complessi che con grandezze goniometriche. Nella seguente tabella riporti-

amo i valore delle impedenze complesse per i singoli componenti:

Componente Impedenza complessa Z

Resistenza R R

Induttanza L iωL

1 i

Condensatore = −

C iωC ωC

Come per l’impedenza reale se si hanno componenti in serie, l’impedenza

n

equivalente è pari a: = + + +

Z Z Z ... Z

1 2 n

mentre se sono disposti in parallelo:

1 1 1

1 = + + +

...

Z Z Z Z

1 2 n

Se dunque ci si trova davanti ad un circuito complicato lo si può semplificare

riconducendolo al circuito equivalente come si fa per i circuiti elettrici in

corrente continua. Se dopo aver eseguito una somma di più impedenze si

ottiene un’espressione del tipo: = +

Z Z iZ

R X

per passare alla forma esponenziale:

= = +

Z Z e Z cos(φ) iZ sen(φ)

0 0 0

si può tenere conto delle seguenti relazioni:

q Z X

2

2

= =

+

Z tg φ

Z

Z

0 X

R Z R

10.4 Legge di Galileo Ferraris

Nel precedente paragrafo si è introdotto il metodo simbolico per i circuiti

in corrente alternata e si è visto quale è il vantaggio dell’usare grandezze

complesse. Quando si vuole calcolare la potenza, generalmente data dal

prodotto E(t)I(t), non si possono più usare le grandezze complesse per poi

prende la parte reale poichè in generale la parte reale di un prodotto tra

grandezze complesse è diversa dal prodotto della parte reale: 6 =

Re[E(t)I(t)]

131

10.4. LEGGE DI GALILEO FERRARIS

Occorre quindi sviluppare il prodotto tramite le usuali

Re[E(t)]Re[I(t)].

regole goniometriche:

(t) = E(t)I(t) = E +

P cos(ωt φ)I cos(ωt)

0 0

1

1 2

E (ωt) − E

⇒ (t) = I cos(φ)cos I sen(φ)sen(2ωt)

P 0 0 0 0

2 2

La potenza è pari alla somma di due termini, se si calcola il valor medio dei

due termini nell’arco di un periodo si ottiene:

T

Z 1 1

2

= E (ωt)dt = E

P I cos(φ)cos I cos(φ)

0 0 0 0

2 2

T Z 1 E = 0

− I sen(φ)sen(2ωt)dt

0 0

2

T

Il secondo termine ha valore medio nullo mentre ha valore massimo pari a:

1 E

= I sen(φ)

Q 0 0

2

è detta e corrisponde alla potenza effettivamente dissipata

P potenza reale

dal circuito, è detta e viene alternativamente ceduta e

Q potenza reattiva

assorbita dal generatore. Si definisce invece la quantità:

potenza apparente

1

p 2 2

= E

+ =

S I

P Q 0 0

2

Generalmente per una grandezza è comodo introdurre il che

valore efficace

corrisponde al valore massimo della grandezza diviso 2, nel nostro caso:

E I 0

0

√ √

=

E = I ef f

ef f 2 2

Si può cosı̀ riscrivere la potenza reale:

= E

P I cos(φ) Formula di Galileo Ferraris

ef f ef f

Il termine è noto come

cos(φ) fattore di potenza.

132 CHAPTER 10. OSCILLAZIONI IN CIRCUITI ELETTRICI

Chapter 11

Teoria della relatività ristretta

Fin dalla nascita della meccanica classica si è sempre posto il problema di

studiare i fenomeni fisici attraverso diversi sistemi di riferimento e in parti-

colare si è posto il problema di capire come cambiano le leggi della fisica al

passaggio da un sistema ad un altro. Un primo passo in questo senso venne

fatto da Galileo Galilei che oltre ad enunciare il primo principio di relatività

tra i sistemi di riferimento, stabilisce anche delle leggi che descrivono il cam-

biamento di coordinate al passaggio da un sistema di riferimento ad un altro.

Le vennero accettate, utilizzate e date per valide

trasformazioni galileiane

fino all’avvento della teoria dell’elettromagnetismo. Come si vedrà a breve,

con l’introduzione dell’elettromagnetismo si entra in un periodo di crisi per

la meccanica classica poichè le leggi di Maxwell che descrivono i fenomeni

elettromagnetici sembrano apparentemente non rispettare le trasformazioni

galileiane che per tanto tempo sono state utilizzate. La soluzione di questa

contraddizione si trova introducendo un nuovo modello di relatività, detta

teoria della o il cui concepimento risale

relatività ristretta relatività speciale,

al 1905 da parte del fisico Albert Einstein.

11.1 Relatività galileiana

La relatività galileiana è particolarmente adatta per descrivere fenomeni fisici

al passaggio da un sistema di riferimento ad un altro che si muovo di moto

rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro. Un sistema di riferimento che si

muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema fisso privilegiato

(come ad esempio il prende il nome di

sistema delle stelle fisse) sistema di

ad indicare il fatto che è valido il

riferimento inerziale, principio di inerzia.

Quando due sistemi di riferimento inerziali si muovo di moto rettilineo uni-

forme l’uno rispetto all’altro, si può sempre assumere arbitrariamente che

133

134 CHAPTER 11. TEORIA DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA

uno dei due sistemi sia fermo rispetto al sistema privilegiato e sia l’altro

a muoversi di moto uniforme. Indichiamo con R il sistema di riferimento

fermo rispetto al sistema fisso e con R il sistema di riferimento mobile. Il

miglior modo per descrivere la posizione del soggetto da studiare (che può

ad esempio essere un corpo puntiforme) è quello di utilizzare un sistema di

assi cartesiani a cui si aggiunge una quarta coordinata temporale che indica

l’istante di tempo a cui si effettua la misura rispetto ad un fissato sistema

di riferimento temporale. Si definisce quindi un insieme di

evento puntuale

quattro valori, tre coordinate spaziali e una temporale, generalmente indi-

cato con la notazione (t,

P x, y, z).

Per semplicità assumiamo che il moto relativo tra i due sistemi avvenga so-

lamente lungo l’asse e che il sistema R si muova con velocità rispetto ad

z u

R.

Fissato dunque un evento (t, rispetto al sistema R, le coordinate

P x, y, z)

′ ′ ′ ′ ′ ′

dell’evento (t ), cioè l’evento visto dal sistema R , sono date

P , x , y , z P

dalle trasformazioni:

 ′

=

t t

 ′

=

x x Trasformazioni galileiane

=

y y

 ′ ′

= +

z z ut

Occorre notare che la coordinata temporale non subisce alcuna trasformazione,

questo concetto prende il nome di il tempo associato ad un

tempo assoluto,

evento puntuale è lo stesso per tutti i sistemi di riferimento inerziali che si

muovo di moto uniforme l’uno rispetto all’altro. È poi interessante vedere

come cambia si trasforma la velocità dell’evento al cambiamento di sistema:

 ′

=

v v

x

 x

=

v v Composizione delle velocità

y y

 ′

= +

v v u

z z

Le velocità cambiano solamente per un termine costante, si vede cosı̀ che le

accelerazioni restano invariate:

 ′

=

a a

x

 x

=

a a Composizione delle accelerazioni

y y

 ′

=

a a

z z

Se le accelerazioni restano invariate allora saranno invariate anche le forze che

agiscono sul corpo. Dato che le leggi della meccanica si esplicano attraverso

135

11.2. CRISI DELLA MECCANICA CLASSICA

forze e accelerazioni allora esse non variano, si definisce cosı̀ il principio di rel-

o le leggi della meccanica

atività galileiana principio di invarianza galileiana:

hanno la stessa forma per tutti i sistemi di riferimento inerziali. In alternativa

si può dire che le leggi della meccanica sono per le trasformazioni

invarianti

galileiane. Numerose osservazioni sperimentali verificarono l’esattezza delle

trasformazioni galileiane, ancora oggi vengono utilizzate nella maggior parte

dei casi.

11.2 Crisi della meccanica classica

La relatività galileiana funzionò bene fino allo sviluppo della teoria completa

dell’elettromagnetismo. Come si è visto nel paragrafo 9.1, il campo elettro-

magnetico può essere interpretato come un’onda che si propaga nel vuoto

con velocità detta

c velocità della luce:

1 m

8

= 2.99792458 · 10

=

c Velocità della luce

√ µ ε s

0 0

Il problema sostanziale sta nel fato che le equazioni di Maxwell non tengono

conto del sistema di riferimento rispetto al quale devono essere usate, se si

pensa quindi si utilizzare le trasformazioni galileiane dovrebbe risultare che

la velocità di un raggio luminoso vari con ± a seconda della velocità

c u

del sistema di riferimento considerato. Tuttavia un celebre esperimento con-

dotto dai fisici Michelson e Morley dimostra definitivamente che ciò non

avviene: la velocità della luce non cambia al passaggio da un sistema di rifer-

imento ad un altro. Descriviamo in breve l’esperimento di Michelson-Morley.

L’apparecchiatura utilizzata prende il nome di interferometro di Michelson-

si tratta di un dispositivo nel quale viene generato un raggio lumi-

Morley,

noso, tramite uno specchio semi-riflettente il raggio è convogliato lungo due

direzioni diverse: una parallela alla velocità di rivoluzione della Terra e una

ortogonale al piano di rotazione della Terra. Lungo ciascuna delle due di-

rezioni è posto uno specchio che ha l’obiettivo di riflettere il raggio luminoso

e convogliarlo verso un sensore dove giungono entrambi i raggi luminosi. A

seconda che i raggi luminosi arrivino in tempi diversi o nello stesso istante di

tempo, il sensore è in grado di emettere un segnale che contraddistingue le

due eventualità. Il raggio luminoso che segue una direzione ortogonale al pi-

ano di rotazione della Terra non dovrebbe subire alcuna variazione, il raggio

luminoso che prosegue lungo al direzione di rivoluzione della Terra dovrebbe

invece essere variato di ±u , dove è la velocità di rivoluzione della Terra,

u

t t

a seconda di come è orientato l’interferometro. Ciò che si registra in tutti

quanti i casi è che i due raggi luminosi arrivano al sensore nel medesimo

136 CHAPTER 11. TEORIA DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA

istante di tempo, la velocità della luce non subisce alcuna variazione al pas-

saggio da un sistema di riferimento ad un altro.

Fissata questa osservazione sperimentale inequivocabile si cercò la causa della

contraddizione, le ipotesi potevano essere essenzialmente due: o le trasfor-

mazioni di Galileo erano sbagliate o le equazioni di Maxwell dovevano cam-

biare a seconda del sistema di riferimento.

Il fatto che le equazioni di Maxwell cosı̀ enunciate fossero sostenute da nu-

merose prove sperimentali portò i fisici a ritenere che fossero corrette. Albert

Einstein pose le basi per una nuova teoria, la teoria della relatività ristretta,

di cui riportiamo i due postulati da egli enunciati:

-Principio tutte le leggi della meccanica e dell’elettro-

di relatività einsteiniana:

magnetismo devono essere le stesse per tutti i sistemi di riferimento inerziali.

-Principio la velocità della luce nel

di invarianza della velocità della luce:

vuoto deve essere la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali, essa non

varia la passaggio da un sistema ad un altro.

Con questi presupposti era dunque necessario trovare delle nuove trasfor-

mazioni.

11.3 Trasformazioni di Lorentz

Nel precedente paragrafo si è parlato dei motivi che portarono alla nascita

di una nuova teoria della relatività e della necessità di scrivere delle nuove

trasformazioni. Le nuove trasformazioni da applicare per passare da un sis-

tema di riferimento inerziale R ad un altro R , che si muove con velocità u

rispetto al primo, devono soddisfare le seguenti condizioni:

- Devono essere equazioni lineari.

- Le leggi della meccanica classica e dell’elettromagnetismo devono essere in-

varianti rispetto tali trasformazioni.

- La velocità della luce deve essere invariante per tali trasformazioni.

c

- Non devono essere troppo diverse dalle trasformazioni galileiane, in parti-

colare per |u| devono ricondursi alle trasformazioni di Galileo.

<< c

Le trasformazioni cercate vennero trovate e pubblicate da Lorentz, infatti

ci si riferisce ad esse come e le riportiamo di se-

trasformazioni di Lorentz, 137

11.3. TRASFORMAZIONI DI LORENTZ

guito:  ′ =

x x

 ′ =

y y Trasformazioni di Lorentz

′ = −

z γ(u)(z ut)

 u

′ = − z

t γ(u) t 2

c 1

La funzione è generalmente chiamata , è una funzione della

γ(u) γ

fattore

velocità e ha la forma:

u 1

=

γ(u) γ

Fattore

q 2

u

1 − 2

c

È usuale anche introdurre il termine: u

= ≤ 1

β c

e riscrivere le trasformazioni come:

 ′ =

x x

 ′

 =

y y

 ′ = −

z γ(u)(z ut)

 = (ct −

ct γ(u) βz)

 1

 2 −

= (1 − )

γ(u) β 2

La prima cosa da notare delle equazioni di Lorentz è che anche il tempo

subisce un cambiamento, nella teoria della relatività ristretta dunque il tempo

ma dipende da sistema di riferimento che si considera.

non è più assoluto,

Questa è essenzialmente una conseguenza del fatto che la velocità della luce

non cambia da un sistema ad un altro, se una grandezza diventa invariante

necessariamente deve smettere di esserlo un’altra. Le equazioni cosı̀ pro-

poste soddisfano tutte e quattro le condizioni poste, infatti sono lineari e per

|u| risulta che ∼ 1, ritornano cosı̀ le trasformazioni galileiane.

<< c γ(u)

Nei prossimi paragrafi mostreremo anche che la velocità della luce è invari-

ante per tali trasformazioni cosı̀ come lo sono le leggi della meccanica e

dell’elettromagnetismo.

Si osservi ora il fattore risulta che ≥ 1 e che ∈ [0, la funzione

γ, γ(u) u c),

è una funzione positiva crescente che presenta un asintoto verticale per

γ(u)

→ Questa osservazione mette in evidenza il fatto che la velocità della

u c.

luce rappresenta un limite invalicabile per qualsiasi altro corpo al di fuori

c

di un raggio luminoso, nulla può andare più veloce della velocità della luce.

1 Fattore gamma.

138 CHAPTER 11. TEORIA DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA

Analizzando il fattore si capisce come mai le trasformazioni di Galileo

γ

siano state per tanto tempo considerate giuste, gli effetti relativistici com-

uc ≥ 0.2, vale a dire per

inciano ad essere significativi solamente per =

β

km

≥ 0.2c ∼ 60000 , si tratta di una velocità al di fuori delle esperienze

u s

giornaliere dell’uomo.

Nei prossimi paragrafi illustreremo le varie conseguenze portate da questa

nuova teoria e vedremo come poter riadattare le già note leggi della mecca-

nica e dell’elettromagnetismo.

11.4 Trasformazione della velocità ′

Vediamo ora come si trasforma la velocità al passaggio da R a R attraverso le

trasformazioni di Lorentz. Per semplicità assumiamo che il moto relativo tra

i due sistemi avvenga solamente lungo l’asse e che R si muova con velocità

z

rispetto a R. Il modo più semplice per ottenere le trasformazioni per la

u

velocità è quello di differenziare i membri delle trasformazioni di Lorentz:

 ′ =

dx dx

 ′ =

dy dy

′ = −

dz γ(u)(dz udt)

 u

′ = − dz)

dt γ(u)(dt 2

c

A questo punto si possono ottenere le regole per la composizione della ve-

locità: ′ 1 1

dx v

dx x

′ =

= =

v x u u

′ − 1 −

dt γ(u) dt γ(u)

dz v z

2 2

c c

′ 1

1 dy v

dy y

′ = =

=

v y u u

′ − 1 −

dz v

dt γ(u) dt γ(u) z

2 2

c c

′ − −

dz udt

dz v u

z

′ =

= =

v z u u

′ − 1 −

dt dt dz v z

2 2

c c

Se si considera solamente la tera equazione, è la velocità del sistema di

u ′

riferimento R, è la velocità del corpo rispetto al sistema R e è la velocità

v v

z z

del corpo rispetto ad R . È possibile ora mostrare che le trasformazioni di

Lorentz soddisfano la condizione di invarianza della velocità della luce, se

′ ′ ′

infatti si pone = = = si ottiene = = = Nei prossimi due

v v v c v v v c.

x y z x y z

paragrafi si discuterà di due celebri conseguenze derivate dalle trasformazioni

di Lorentz. 139

11.5. DILATAZIONE DEI TEMPI

11.5 Dilatazione dei tempi

Si consideri ora un orologio fisso nel sistema R tramite il quale si misura un

′ ′

intervallo di tempo ∆t. L’intervallo di tempo ∆t rispetto ad un sistema R

si ottiene mediante le trasformazioni di Lorentz:

u

′ ∆z =

∆t = ∆t − γ(u)∆t

γ(u) 2

c

infatti ∆z = 0 dato che l’orologio è fisso. Indichiamo con l’intervallo di

τ

tempo ∆t, cioè l’intervallo di tempo misurato nel sistema con cui il corpo è

solidale. L’intervallo di tempo prende il nome di esso non

τ tempo proprio,

dipende dal moto dei sistemi di riferimento considerati ma solamente dal

fenomeno che si verifica nel sistema di riferimento con cui esso è solidale, τ

è dunque una costante invariante per le trasformazioni di Lorentz. Risulta

quindi che il tempo , misurato da qualunque altro sistema in moto rispetto

t

a quello con cui il corpo è fermo, vale:

′ =

t γ(u)τ ′

Come si è visto precedentemente 1, dunque : il tempo di

γ(u) > τ < t

svolgimento di un evento misurato rispetto ad un sistema di riferimento che

si muove rispetto a tale evento è sempre maggiore del tempo proprio misurato

nel sistema con cui l’evento è solidale. Questo fenomeno prende il nome di

In maniera analoga si può dire che il tempo misurato

dilatazione dei tempi.

da tutti i possibili sistemi di riferimento con cui avviene un evento, assume

il valore minimo nel sistema di riferimento solidale con l’evento stesso.

11.6 Contrazione delle lunghezze

Poniamoci nuovamente nel sistema R e misuriamo un intervallo di lunghezza

∆z in un certo tempo ∆t. Se effettuiamo la stessa misurazione rispetto ad

un sistema mobile R si ottiene:

∆z = −

γ(u)(∆z u∆t)

u

′ ∆z)

∆t = −

γ(u)(∆t 2

c

Poichè non avrebbe senso effettuare la misurazione in due intervalli di

tempo distinti rispetto al sistema R , che si muove rispetto alla lunghezza

fissa, poniamo ∆t = 0. Dalla seconda equazione si ottiene:

u

∆t = ∆z

2

c

140 CHAPTER 11. TEORIA DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA

che sostituita nella prima da: ∆z

2

∆z = − ) =

γ(u)∆z(1 β γ(u)

da cui si ottiene che ∆z ∆z: la misura di una lunghezza effettuata da un

<

sistema di riferimento che si muove rispetto a tale lunghezza, è sempre minore

della misura effettuata nel sistema di riferimento con cui la lunghezza è sol-

idale. Questo fenomeno è chiamato In maniera

contrazione delle lunghezze.

analoga si può dire che la cioè il valore della lunghezza

lunghezza propria,

misurata nel sistema con cui essa è solidale, è sempre maggiore del valore

misurato da un sistema in moto relativo rispetto ad essa.

La dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze sono fenomeni os-

servati sperimentalmente, tramite essi non solo si è trovata la conferma ma-

teriale dell’esattezza delle trasformazioni di Lorentz, ma si è anche potuto

spiegare una serie di fenomeni di cui prima si ignorava l’origine fisica. Un

esempio è quello dei che illustriamo brevemente. i muoni sono par-

muoni

ticelle elementari che si formano negli strati più alti dell’atmosfera quando

i raggi cosmici interagiscono con essa. Normalmente i muoni si muovo con

una velocità prossima a quella della luce ed hanno un tempo medio di vita

molto breve, cosı̀ che percorrono solo pochi chilometri negli strati più alti

dell’atmosfera prima di morire. Il fenomeno inspiegabile è che molto spesso

questi muoni riescono a raggiungere la superficie terrestre, una spiegazione

del tutto razionale si trova applicando i principi della relatività einsteiniana.

Per noi osservatori sulla Terra il tempo di vita dei muoni risulta dilatato in

quanto essi si muovono rispetto al nostro sistema di riferimento, ciò consente

loro in realtà di percorre una distanza molto maggiore di quanto si avrebbe

senza considerare la relatività. D’altro canto nel sistema di riferimento dei

muoni il loro tempo di vita è quello breve, tuttavia loro vedono la distanza

con la Terra contratta cosı̀ che devono percorrere una distanza minore di

quella effettiva. Il fatto che abbiano una velocità molto alta rende gli effetti

relativistici particolarmente visibili e pertanto si può cosı̀ spiegare quanto

osservato sperimentalmente.

11.7 Intervallo spazio - temporale

Si è già intuito che con il termine si intende una grandezza fisica

invariante

che non subisce modifiche quando è sottoposta a delle trasformazioni rela-

tivistiche. In questo paragrafo introduciamo un’altra grandezza invariante

per le trasformazioni di Lorentz. Si consideri il risultato ottenuto quando si

141

11.8. MATRICE DI LORENTZ

è parlato della dilatazione dei tempi: τ

= =

t γ(u)τ q 2

u

1 − 2

c

Tramite alcuni semplici passaggi algebrici si arriva all’espressione:

2 2 2 2

(cτ ) = (c − )

t u

La velocità del sistema R può essere scritta come:

u 2 2 2

+ +

x y z

2 =

u 2

t

Sostituendola nella precedente espressione si trova:

2 2 2 2 2

(cτ ) = (ct) − − −

x y z

Precedentemente si è parlato della proprietà del tempo proprio di essere

invariante per le trasformazioni di Lorentz, poichè le quantità che compaiono

al secondo membro non hanno nulla a che fare con il tempo proprio allora esse

devono avere lo stesso valore per qualunque sistema di riferimento, significa

dunque che la quantità:

2 2 2 2 2

= (ct) − − −

s x y z Intervallo spazio-temporale

è un invariante per le trasformazioni di Lorentz, essa viene indicata con la

lettere e prende il nome di Come si vedrà nel

s intervallo spazio-temporale.

prossimo paragrafo, l’intervallo temporale ha un’importantissimo significato

nell’ambito di una nuova geometria fondata per studiare gli eventi caratter-

izzati da quattro coordinate.

11.8 Matrice di Lorentz

Nel paragrafo 11.1 si è definito un evento come un insieme di quattro coordi-

nate, una temporale e tre spaziale. Poichè nelle trasformazioni di Lorentz e

nell’intervallo spazio-temporale compare il prodotto è conveniente porre

ct,

proprio questo prodotto come coordinata temporale di un evento, d’ora in

avanti si definisce un insieme di quattro coordinate del

x

evento puntuale i

tipo: = (x ) = (ct,

x , x , x , x x, y, z) Evento puntuale

0 1 2 3

i

142 CHAPTER 11. TEORIA DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA

La coordinata temporale è indicata con mentre le coordinate spaziali

ct x 0

sono indicate con . Occorre notare che con questa nuova definizione le

x 1,2,3

quattro coordinate diventano omogenee, cioè con stessa unità di misura.

Si possono ora riscrivere le trasformazioni di Lorentz, fissato un evento =

x i

′ ′ ′ ′ ′

(x ) nel sistema di riferimento R, l’evento = (x ) visto

, x , x , x x , x , x , x

0 1 2 3 0 1 2 3

i

nel sistema R è dato dalle relazioni:

 ′ =

x x 1

 1

 ′ =

x x 2

2 Trasformaioni di Lorentz

′ = − )

x γ(u)(x βx

3 0

 3

 ′ = − )

x γ(u)(x βx

0 3

0

Le trasformazioni di Lorentz possono essere scritte anche in forma matriciale

ik

introducendo la cosı̀ definita:

L

matrice di Lorentz

 

0 0 −γ(u)β

γ(u)

0 1 0 0

 

ik =

L Matrice di Lorentz

 

0 0 1 0

 

−γ(u)β 0 0 γ(u)

tramite la quale si può più semplicemente scrivere:

ik

′ =

x L x i

i

Se infatti si effettua il prodotto tra matrici si ottengono le trasformazioni di

Lorentz:   

0 0 −γ(u)β

γ(u) x 0

0 1 0 0 x

  

 1

′ = (x ) = · =

, x , x , x

x   

0 1 2 3

i 0 0 1 0 x

  

 2

−γ(u)β 0 0 γ(u) x 3

= (γ(u)x − − )

γ(u)βx , x , x , γ(u)x γ(u)βx

0 3 1 2 3 0

11.9 Spazio quadrimensionale di Minkowski

Quando vengono trattati punti con tre coordinate spaziali è comodo dare loro

un’interpretazione tridimensionale utilizzando un sistema di riferimento con

2

3 assi cartesiani, in tale sistema si definisce inoltre una funzione di distanza ,

detta che ha la proprietà di essere una grandezza invariante per le

metrica,

trasformazioni associate a quel determinato sistema di riferimento.

2 Comunemente si utilizza la metrica euclidea, 143

11.9. SPAZIO QUADRIMENSIONALE DI MINKOWSKI

Dal momento in cui vennero introdotti gli eventi, caratterizzati da quat-

tro coordinate, nacque anche l’esigenza di introdurre un nuovo sistema di

riferimento. Minkowski interpretò le trasformazioni di Lorentz in questo

senso creando uno detto Le

spazio quadrimensionale spazio di Minkowski.

trasformazioni dello spazio quadrimensionale che permettono di passare da

un sistema di riferimento ad un altro sono chiaramente le trasformazioni

di Lorentz già viste. Occorreva quindi introdurre una nuova metrica, cioè

una funzione di distanza, che fosse invariante per tali trasformazioni. Senza

dover creare da zero una nuova funzione si scelse come metrica l’intervallo

spazio-temporale che come si è visto, è un invariante per le trasformazioni

i

di Lorentz. Fissato un evento puntuale = (x ), nello spazio

x , x , x , x

0 1 2 3

quadrimensionale il quadrato della sua distanza dall’origine del sistema (cioè

l’intervallo spazio-temporale associato all’evento) è data da:

2 2 2 2 2

∆s = (x ) − (x ) − (x ) − (x )

0 1 2 3

Più semplicemente la distanza si può scrivere:

2 j k

∆s = g x x

jk

dove con si intende il cioè la matrice sim-

g tensore metrico di Minkowski,

jk

metrica:  

1 0 0 0

0 −1 0 0

 

= = −1, −1, −1)

g diag(1,

 

jk 0 0 −1 0

 

0 0 0 −1

Si può notare che nell’espressione data non compare il simbolo di sommato-

ria, questo perchè si utilizza la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti

secondo la quale, quando compare due volte uno stesso indice (una volta in

basso e una volta in alto) si omette il simbolo di sommatoria sottointendendo

implicitamente la somma sull’indice ripetuto. Si approfondirà maggiormente

la questione nei prossimi paragrafi. ′

′ ′ ′

′ ),

= (x

Se si hanno due eventi distinti = (x ) e , x

, x , x

x , x , x , x x

0 1 2 3

i 3

2

0 1

i

l’intervallo spazio-temporale tra i essi è dato da:

2 2 2 2 2

′ ′ ′ ′

∆s = (x − ) − (x − ) − (x − ) − (x − ) =

x x x x

0 1 2 3

0 1 2 3

2 2 2 2 2

= (∆t) − (∆x) − (∆y) − (∆z)

c

La particolarità di questa metrica è che il quadrato della distanza cosı̀ definita,

a differenza di quella euclidea, può essere anche negativa o nulla per due

eventi distinti, in base a questo è possibile effettuare una classificazione che

vedremo nel prossimo paragrafo.

144 CHAPTER 11. TEORIA DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA

11.10 Grafico spazio-tempo

Nel precedente paragrafo si è introdotto lo spazio quadrimensionale di Minkowski

con la sua metrica e le sue trasformazioni, è evidente che quando un evento

puntuale evolve nel tempo è possibile tracciare una traiettoria del suo moto,

vediamo ora come studiare tale traiettoria su un grafico. Ovviamente non è

pensabile di poter disegnare un grafico in quattro dimensioni, ma se si assume

che il moto avvenga solo lungo una direzione si può ottenere una schema-

tizzazione semplice utilizzando un sistema con due assi cartesiani chiamato

Tradizionalmente si riporta sull’asse orizzontale la vari-

grafico spazio-tempo.

abile temporale, mentre sull’asse verticale si riporta la variabile spaziale. Per

motivi storici tale convenzione è invertita per il grafico spazio-tempo, sull’asse

orizzontale è riportata la coordinata spaziale e sull’asse verticale è ripor-

x 3

tata la coordinata temporale .

x 0

In questo grafico l’asse orizzontale ha equazione = = 0 mentre l’asse

x ct

0

verticale ha equazione = 0, i due assi si incontrano in un unico punto che

x 3

costituisce l’origine del grafico spazio-tempo. L’asse verticale rappresenta la

storia di un corpo fermo nell’origine allo scorrere del tempo, l’asse orizzontale

rappresenta invece l’iperpiano degli eventi puntuali che sono contemporanei

all’evento posto nell’origine, rappresenta cioè il Se si considera

presente.

l’origine come l’evento che si sta verificando nel presente, per 0 si ha il

x >

0

mentre per 0 si ha il

f uturo x < passato.

0

La curva che rappresenta il moto di un evento è detta la

linea di universo,

tangente alla traiettoria rappresenta la velocità del corpo, cioè la derivata

della variabile spaziale rispetto alla variabile temporale. Nel grafico spazio-

tempo dunque la tangente alla linea d’universo forma con l’asse un angolo

x 0

tale che:

θ 1 dx

dx v

3 3

= = = =

tg θ β

dx c dt c

0

Se l’evento che si sta considerando è la propagazione di un raggio luminoso,

esso ha velocità = da cui:

v c c π

= =1 ⇒ = ±

tg θ θ 4

c

Le linee di universo di un evento che si propaga alla velocità della luce cor-

rispondono alle bisettrici del piano − , se si aggiungesse una seconda

x x

0 3

dimensione spaziale si otterrebbe un cono, detto se infine si

cono di luce,

aggiungesse anche la quarta dimensione spaziale si otterrebbe un iperspazio

in cui il cono diventerebbe un Il cono di luce viene normalmente

ipercono.

diviso in una falda superiore che si trova nel futuro, una falda inferiore che

si trova nel passato e una regione esterna. Se per un segnale che

v < c, 145

11.10. GRAFICO SPAZIO-TEMPO

parte dall’origine del sistema le linee di universo non potrebbero mai uscire

dal cono di luce, altrimenti vorrebbe dire che almeno per un istante la ve-

locità del segnale è stata maggiore di quella della luce e ciò chiaramente non

è possibile: le traiettorie di eventi che passano per l’origine e che hanno una

velocità sono sempre contenute all’interno del cono di luce.

v < c

Questa osservazione ha un’importante risvolto nella correlazione di eventi

distinti:

· Tutti i punti che si trovano nella falda superiore del cono possono essere

raggiunti da un segnale che si propaga con emesso dall’origine, questi

v < c

punti nel futuro possono cioè essere influenzati dal presente nell’origine, si

parla dunque di futuro causale.

· Tutti i punti che si trovano nella falda inferiore del cono possono emettere

un segnale che si propaga con e che raggiunga l’origine, tali punti nel

v < c

passato possono cioè influenzare il presente nell’origine, si parla quindi di

passato causale.

· Tutti i punti al di fuori del cono di luce, quindi nella regione esterna, non

possono influenzare l’evento nell’origine e non possono essere influenzati da

esso. Un evento nell’origine e un evento nella regione esterna sono quindi tra

loro scorrelati.

Si vuole ora vedere come tracciare due eventi al passaggio da un sistema

di riferimento ad un altro. Se indichiamo con un evento nell’prigine del

O ′ ′

sistema R possiamo vedere come appaiono gli assi e di un sistema

x x

0 3

′ ′ ′

R la cui origine coincide con Per definizione gli assi di R devono

O O.

′ ′

essere = 0 e = 0, se si pone questa condizione nelle trasformazioni di

x x

0 3

Lorentz si ottiene che essi devono passare per e devono formare un angolo

O

uc = con gli assi e del sistema R. In particolare gli

= arctgβ x x

θ arctg 0 3

′ ′

assi e non sono ortogonali tra loro visti dal sistema R. Ciò che appare

x x

0 3

immediatamente chiaro è che la simultaneità di due eventi puntuali non è

′ sono simultanei nel sis-

assoluta, infatti mentre tutti gli eventi sull’asse x 3

tema R non lo sono nel sistema R. In particolare se si considera un evento

al di fuori del cono di luce, è sempre possibile trovare un riferimento in cui

esso sia contemporaneo con l’evento posto nell’origine, per farlo è sufficiente

tracciare la retta che unisce i due punti e assumere che quello sia l’asse x 3

del nuovo riferimento. Se invece il punto si trova in una delle due falde non

è possibile trovare un riferimento in cui esso sia contemporaneo all’evento

π

nell’origine, se si procedesse nello stesso modo si troverebbe e cioè

θ > 4

1, chiaramente ciò non è possibile.

β >

Concludiamo il paragrafo parlando della distanza tra due eventi di cui si è ac-

cennato al paragrafo precedente. Dati due eventi distinti = (x )

x , x , x , x

0 1 2 3

i

146 CHAPTER 11. TEORIA DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA

′ ′ ′ ′ ′

e = (x ), la loro distanza è data da:

x , x , x , x

0 1 2 3

i p ′ ′ ′ ′

2 2 2 2

(x − ) − (x − ) − (x − ) − (x − ) =

∆s = x x x x

0 1 2 3

0 1 2 3

p 2 2 2 2 2

= (∆t) − (∆x) − (∆y) − (∆z)

c

La componente spaziale della distanza corrisponde alla distanza euclidea

2 2 2 2

(∆r) = (∆x) + (∆y) + (∆z) , possiamo quindi scrivere l’intervallo spazio-

2 2 2 2

temporale tra due eventi come: (∆s ) = (∆t) − (∆r) . Classifichiamo gli

c

intervalli spazio-temporali nel seguente modo:

- Intervallo tra un evento posto nell’origine e un evento posto sul cono di

2 2 2 2 2 2 2

risulta (∆s) = (∆t) − (∆r) = (∆t) − (c∆t) = 0, infatti un

c c

luce:

evento posto sul cono di luce ha velocità pari a da cui ∆r = Tali

c c∆t.

eventi hanno distanza nulla sebbene essi siano distinti, si parla di intervallo

genere luce.

- Intervallo tra un evento posto nell’origine e un evento all’interno del cono

2 2 2 2 2 2 2

risulta (∆s) = (∆t) − (∆r) = (∆t) − (v∆t) 0, infatti un

c c >

di luce:

evento all’interno del cono di luce ha velocità tali eventi hanno una

v < c,

distanza positiva nello spazio quadrimensionale, si parla di intervallo genere

tempo.

- Intervallo tra un evento posto nell’origine e un evento all’esterno del cono

2 2 2 2 2 2 2

risulta (∆s) = (∆t) − (∆r) = (∆t) − (v∆t) 0, infatti

c c >

di luce:

un evento al di fuori del cono di luce viene visto con una velocità la

v > c,

distanza tra tali eventi è negativa, si parla di intervallo genere spazio.

Dato che l’intervallo spazio-temporale è un invariante per le trasformazioni

di Lorentz allora sarà un invariante anche il genere dell’intervallo.

11.11 Quadrivettori

Nei precedenti paragrafi si è parlato dell’evento puntuale, della sua rappre-

sentazione grafica e della distanza da un altro evento. In questo paragrafo

si vuole generalizzare la questione per altre grandezze quadrimensionali e si

vuole fare chiarezza sulla notazione utilizzata. 0 1 2 3

i

Se definisce una grandezza di quattro dimensioni = (x )

x , x , x , x

quadrivettore

che sotto trasformazioni di Lorentz si trasformano come le coordinate di un

evento puntuale:  1 1

(x ) = x

 2 2

(x ) = x

3 3 0

(x ) = − )

γ(u)(x βx

 0 0 3

(x ) = − )

γ(u)(x βx 147

11.11. QUADRIVETTORI

e che sotto tali trasformazioni mantiene inalterata la quantità:

2 0 2 1 2 2 2 3 2

= (x ) − (x ) − (x ) − (x )

s

0

La componente è chiamata componente temporale del quadrivettore, men-

x 1 2 3

tre le componenti e sono le componenti spaziali del quadrivettore e

x , x x

vengono normalmente intese come il classico vettore in tre coordinate della

geometria euclidea, un quadrivettore infatti si può generalmente anche scri-

0

i

vere come: = (x ).

x , ~v

Fissiamo ora la convenzione che contraddistingue gli indici in alto o in basso.

0 1 2 3

i

Consideriamo nuovamente il quadrivettore = (x ) e moltiplichi-

x , x , x , x

amo per il tensore metrico di Minkowski:

 

 0

1 0 0 0 x 1

0 −1 0 0 x

  

 0 1 2 3

i · = (x −x −x −x ) =

= , , , x

g x   

 i

jk 2

0 0 −1 0 x

 

 3

0 0 0 −1 x

cioè: 0 1 2 3

= (x = = −x = −x = −x )

x x , x , x , x

0 1 2 3

i i

Dunque il quadrivettore con l’indice in alto è chiamato

x controvariante,

mentre il quadrivettore con l’indice in basso è chiamato e ha le

x covariante

i

componenti spaziali del vettore controvariante cambiate di segno.

L’effetto del tensore metrico applicato su un quadrivettore controvariante è

quello di abbassare l’indice e trasformarlo in covariante, viceversa l’applicazione

ad un quadrivettore covariante alza l’indice e lo trasforma in controvariante:

i jk i

= =

g x x g x x

jk i i

L’introduzione delle forme covarianti e controvarianti insieme alla conven-

zione di Einstein sugli indici ripetuti rende particolarmente semplice la no-

2

tazione per le relazioni tra quadrivettori, infatti l’intervallo si può scrivere

s

semplicemente nei seguenti modi:

2 0 1 2 3 0 2 2

i i i jk i

= = = = = +x +x +x = (x ) −|~v |

s g x x x x g x x x x x x x x x

0 1 2 3

jk i i i i

Cosı̀ come per la geometria euclidea si definisce un prodotto scalare, per

la geometria quadrimensionale si definisce il tra due

quadriprodotto scalare

0 1 2 3 0 1 2 3

i i

quadrivettori, = (x ) e = (y ), come:

x , x , x , x y , y , y , y

0 0 1 1 2 2 3 3

i i i i

· = = = − − −

x y x y x y x y x y x y x y Quadriprodotto scalare

i i

Il quadriprodotto scalare da un’espressione identica a quella dell’intervallo

spazio temporale, perciò esso è un invariante per le trasformazioni di Lorentz.

148 CHAPTER 11. TEORIA DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA

Si definisce o una matrice 4 × 4

T

tensore quadrimensionale quadritensore,

che sotto trasformazioni di Lorentz si trasforma come:

i km

′ = T

T L L Quadritensore

0

dove è la matrice di Lorentz vista nel paragrafo 11.8. In pratica le 16

L ij i i

grandezze si trasformano come i prodotti di due quadrivettori e :

t x y

0,0 0 0 0,1 0 1 2,3 2 3 3,3 3 3

come , come ,..., come , come .

t x y t x y t x y t x y

ij

Un quadritensore può presentare componenti controvarianti , covarianti

t t ij

ki

o miste . Un tensore è detto se:

t simmetrico

ij ji

=

t t Tensore simmetrico

se:

antisimmetrico ij ji

= −t

t Tensore antisimmetrio

La matrice è un tensore simmetrico.

g jk

Prima di concludere il paragrafo introduciamo una prima grandezza quadriv-

0 1 2 3

i

ettoriale, il Il quadrivolume di un quadrivettore = (x )

x , x , x , x

quadrivolume.

è pari a: 0 1 2 3

=

dΩ dx dx dx dx Quadrivolume

Il quadrivolume risulta essere una grandezza invariante, infatti tenendo conto

delle relazioni viste per la dilatazione dei tempi e per la contrazione delle

lunghezze, si ottiene: 3

dx

0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3

′ ′ ′ ′ ′

= (dx ) (dx ) (dx ) (dx ) = =

dΩ γdx dx dx dx dx dx dx

γ

Parleremo nuovamente del quadrivolume nel paragrafo 11.14 riguardo l’elettro-

dinamica.

11.12 Operatori differenziali

Nel precedente paragrafo si è introdotto il concetto di quadrivettore, i campi

vettoriali comunemente utilizzati sono interessati dagli operatori differenziali

che sono stati introdotti del primo capitolo, in questo paragrafo si vuole

mostrare come vengono scritti tali operatori differenziali per la geometria

quadrimensionale. 149

11.12. OPERATORI DIFFERENZIALI

:

QUADRIGRADIENTE 0 1 2 3

Data una funzione scalare = ), si definisce

ϕ ϕ(x , x , x , x quadrigradiente

il quadrivettore:

rispetto le sue componenti controvarianti

1

∂ ∂ϕ ~

= ∇ϕ

ϕ ,

j

∂x c ∂t

mentre invece si definisce quadrigradiente rispetto le sue componenti covari-

il quadrivettore:

anti

1

∂ ∂ϕ ~

= − ∇ϕ

ϕ ,

∂x c ∂t

j

Il quadrigradiente ottenuto derivando rispetto le coordinate controvarianti si

comporta come un vettore covariante e viceversa, ciò si può spiegare scrivendo

il differenziale di come:

ϕ ∂ϕ i

=

dϕ dx

i

∂x

Il differenziale è uno scalare ottenuto dal prodotto delle componenti con-

dϕ ∂ϕ

i

trovarianti per le componenti che necessariamente devono essere co-

dx i

∂x

varianti, altrimenti il quadrigradiente cosı̀ definito non sarebbe un quadriv-

ettore. L’operatore quadrigradiente può essere espresso anche tramite la

notazioni breve: ∂

∂ j =

= ∂

∂ j

j

∂x ∂x

j

QUADRIDIVERGENZA:

La quadridivergenza è definita come il quadriprodotto scalare tra l’operatore

j

quadrigradiente e un quadrivettore . Come si è precedentemente visto

∂ x

j

il quadriprodotto scalare da uno scalare invariante:

j = Ψ

∂ x Quadridivergenza

j

La quadridivergenza è pertanto un operatore invariante per le trasformazioni

di Lorentz.

DALEMBERTIANO

Nel paragrafo 1.4 si è parlato dell’operatore di d’Alembert, si può ora spiegare

come viene ricavato. Applicando consecutivamente l’operatore quadrigradi-

j

ente e l’operatore quadridivergenza ad una funzione scalare si ottiene

∂ ∂ ϕ,

j

uno scalare invariante chiamato di e indicato con il simbolo

ϕ

dalembertiano

: 2

1 ∂ ϕ

2

j = = ∇ −

∂ ∂ ϕ Operatore di d’Alembert

ϕ

j 2 2

c ∂t

150 CHAPTER 11. TEORIA DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA

11.13 Dinamica classica relativistica

In questo paragrafo si vuole mostrare come vengono interpretate le grandezze

fisiche e le leggi della meccanica classica in forma quadrimensionale. Quando

si sono scritte le trasformazioni di Lorentz, si è chiesto che le leggi della

meccanica classica e dell’elettromagnetismo fossero rispetto esse.

invarianti

Richiedere che una grandezza sia invariante equivale a chiedere che essa possa

essere scritta in forma cioè in una forma che rimane la stessa in

covariante,

qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Questo si può fare facendo in modo

che il primo e il secondo membro della relazione varino nello stesso modo,

dunque poichè si vogliono applicare le trasformazioni di Lorentz occorre che

le grandezze siano espresse mediante quadrivettori.

QUADRIVELOCITÁ 0

i

Preso un quadrivettore = (x ) che definisce la posizione nello spazio e

x , ~r

nel tempo di un evento, si vuole esprimere la sua velocità in forma covariante,

i

dx

non si può applicare la definizione classica di velocità = poichè non

~v dt

dt

è un invariante relativistico e dunque la velocità cosı̀ definita non sarebbe un

quadrivettore. Una grandezza che ha le dimensioni fisiche di un tempo e che

dt , si definisce quindi

è un invariante è il tempo proprio =

dτ quadrivelocità

γ

il quadrivettore:

i i

dx dx d~r

ct

i = = [c, ]

= =

v γ ~v

γ γ , Quadrivelocità

dτ dt dt dt

dove è la velocità come la si intende nella meccanica classica. La quadriv-

~v

elocità è un quadrivettore, il suo intervallo spazio-temporale deve essere un

invariante e infatti risulta che:

2 2 2 2 2 2

i e

· = (c − ) = (1 − ) =

v v γ v γ c β c

i

e come si è visto, è un invariante per le trasformazioni di Lorentz.

c

QUADRIACCELERAZIONE

In maniera analoga a quanto fatto per la quadrivelocità, si definisce la quadri-

accelerazione:

i dc d~

v

dv 2

2

i = [0, ]

=

= γ ~a Quadriaccelerazione

γ ,

a dτ dt dt

dove è l’accelerazione come viene intesa nella meccanica classica. Un’osservazione

~a

importante è che la quadrivelocità e la quadriaccelerazione sono due quadriv-

ettori sempre ortogonali tra loro, nel senso che il loro quadriprodotto scalare

151

11.13. DINAMICA CLASSICA RELATIVISTICA

è sempre nullo: 2

i i )

1 1

dv d(v v dc

i

i i i

· = = = = =0

a v a v v

i i 2 2

dτ dτ dτ

QUADRIQUANTITÁ DI MOTO

Nella meccanica classica la quantità di moto di un corpo corrisponde al

prodotto tra la massa del corpo e la sua velocità, in maniera analoga si

definisce la come il prodotto tra la massa a riposo

m

quadriquantità di moto 0

del corpo e la sua quadrivelocità: h i

~

i i

= = [m ] =

p m v γc, γm ~v p , P Quadriquantità di moto

0 0 0 0

La quadriquantità di moto è dunque un quadrivettore costituita dalla com-

~

ponente temporale = e dalla componente = . Il significato

p m γc P γm ~v

0 0 0

~

della componente è abbastanza chiaro, essa rappresenta la quantità di

P

moto classica variata del fattore come ci si aspetta nell’ambito relativis-

γ

tico. Più impegnativo è comprendere il significato di , per farlo scriviamo

p 0

per intero la sua espressione: 1

2

v

m c 2

0 = 1 −

= m c

p q 0

0 2

c

2

v

1 − 2

c

a questo punto si può ricorrere all’approssimazione:

α

(1 + ∼ 1 + se 1

x) αx x <<

da cui::

2 1

v 2

2

= 1 − = E = + m v

p m c cp m c 0

0 0 0 0

2

2c 2

Dove E è l’energia totale del corpo, il termine rappresenta dunque una

cp 0

forma di energia, infatti al secondo membro si riconosce immediatamente

l’espressione dell’energia cinetica di un corpo di massa che si muove con

m 0

velocità La grande novità risiede nell’altro termine al secondo membro da

v.

cui deriva la celebre legge: 2

E = m c Energia di riposo

0 0

Essa rappresenta l’energia o di un corpo e ci dice

di riposo energia di quiete

che oltre ad un energia cinetica, il corpo è dotato anche di un’energia per


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DESCRIZIONE APPUNTO

Queste note sono state scritte da me in seguito alla rielaborazione di appunti personali presi durante le lezioni, non devono pertanto essere considerate come dispende ufficiali.
Vengon trattati in maniera chiara e precisa i principali argomenti relativi al corso di fisica 2, tra cui:
1) Operatori differenziali.
2) Elettrostatica.
3) Conduttori.
4) Elettrostatica nella materia: dielettrici.
5) Corrente elettrica e circuiti elettrici.
6) Magnetostatica.
7) Magnetostatica nella materia.
8) Induzione elettromagnetica.
9) campo elettromagnetico.
10) Oscillazioni in circuiti elettrici.
11) Teoria della relatività ristretta.


DETTAGLI
Esame: Fisica 2
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica
SSD:
A.A.: 2017-2018

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Alegomind di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Tor Vergata - Uniroma2 o del prof Bassan Massimo.

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