Velocità

Cinematica in una dimensione: Velocità

Definizione

In questo modulo si introduce la grandezza velocità nella cinematica ad 1-dimensione. Il moto della

particella continua dunque ad essere un moto lungo una traiettoria rettilinea.

La velocità v di una particella è definita come quella grandezza che descrive la variazione della

posizione nel tempo. Anche la velocità ha un verso (positivo o negativo a seconda del sistema di

riferimento scelto). Il verso è concorde (stessa direzione e verso) con il moto della particella. La )

velocità si annulla negli istanti in cui la particella inverte la direzione del moto (animazione2.avi

La velocità di una particella può a sua volta dipendere dal tempo. Ciò si indica scrivendo v = v(t),

che significa che la velocità è funzione del tempo.

Velocità media

Prima di definire in modo corretto la grandezza velocità, introduciamo una grandezza pratica: la

velocità media.

Essa viene definita in un intervallo di tempo come il

∆t ∆

rapporto fra lo spostamento x e

l’intervallo di tempo stesso: ∆ݔ

ݒ =

݉݁݀݅ܽ ∆ݐ

Notiamo che la velocità media non fornisce particolari informazioni sul moto dell’oggetto.

Una particella si muove verso nord spostandosi di 4 m in 8 secondi. Quanto

Esempio.

vale la sua velocità media?

La velocità media è data dal rapporto fra spazio percorso e tempo impiegato.

Sostituendo otteniamo 4݉

ݒ = = 0.5 ݉/ݏ

݉݁݀݅ܽ 8ݏ

ovvero una velocità media di 0.5 m/s verso nord.

Notiamo che:

i) abbiamo sostituito i valori numerici con le relative unità di misura;

ii) abbiamo specificato il verso della velocità.

iii) ma data la velocità media non è possibile ricavare la velocità vera v(t).

Velocità in funzione del tempo

Come detto, la velocità vera infatti è una funzione del tempo:

v= v(t)

Conoscendo tale funzione, per ricavare la velocità basta sostituire il valore numerico di t

Una particella si muove con velocità data dall’espressione v(t) = 3 t +2.

Esempio.

La sua velocità dopo 3 secondi si trova sostituendo t = 3 secondi.

Si ottiene v = 11 m/s. La sua velocità iniziale è v = 2m/s (si sostituisce t = 0).

La sua variazione di velocità nell’intervallo di tempo = 3 s è = 9 m/s.

∆t ∆v

Possiamo allora chiederci come ricavare la velocità v in funzione del tempo quando sia nota la

legge oraria della particella x in funzione del tempo. A questo scopo occorre utilizzare il concetto di

derivata, che introduciamo in maniera semplificata in questo contesto.

Partiamo da una osservazione. La velocità media è definita in un intervallo di tempo mentre la

∆t,

velocità è definita per un dato valore del tempo t, all’interno dell’intervallo di tempo Dunque le

∆t.

due non possono coincidere in generale, ma, come vedremo, tendono a coincidere se l’intervallo di

tempo diventa molto piccolo. Consideriamo una funzione che descriva la

velocità nell’ intervallo di tempo fra 1 e 3 s e

rappresentiamola graficamente. Nel caso

considerato la velocità al tempo t = 2 s è

v = 6 m/s.

Il valor medio nell’intervallo coincide con uno

dei valori della velocità ad un tempo all’interno

dell’intervallo dato. Ovviamente la velocità

media non coincide con la velocità vera al

tempo t = 2 secondi.

Se riduco l’ampiezza dell’intervallo di

tempo osservo come i due valori di

∆t,

velocità vera e velocità media siano più

simili.

Più riduco e più i valori della velocità

∆t

media si avvicina al valore della

velocità.

Possiamo allora concludere che la velocità vera è data dal valore della velocità media quando

l’intervallo di tempo su cui è calcolata tende a zero.

Questo tipo di operazione in analisi matematica si chiama derivata.

Dunque, la definizione di velocità è la seguente: la velocità è la derivata della posizione rispetto al

Formalmente si scrive

tempo.

Non approfondiamo l’argomento, ma se interessati potete vedere la sezione aggiuntiva della

cinematica uni-dimensionale.

Proprietà della velocità

Da quanto detto, deduciamo che, nota la funzione che descrive la posizione nel tempo, è possibile

ricavare la funzione che descrive la velocità in funzione del tempo. Anche senza calcolare la

derivata, visto che ci mancano gli strumenti matematici, conoscendo la funzione x(t) è possibile

ricavare alcune proprietà della velocità nei diversi intervalli di tempo.

Osserviamo come la velocità ad un certo valore di t sia caratterizzata da un segno ed un valore

numerico (anche detto valore assoluto o modulo):

i) il segno della velocità definisce verso dove si muove il corpo (ad esempio verso nord o verso

sud);