Alcuni tipi di forze

F B

A è fissato un corpo di massa m. Per effetto dell'applicazione della forza in B, la fune si tende e

trasmette la forza all'altro suo estremo,in modo che il corpo è soggetto ad una forza ha che ha

F A

.

esattamente lo stesso modulo di F B

Vediamo alcuni esempi di fune che si avvolge su una carrucola ed è collegata ad un corpo: se

applichiamo ad un estremo della fune una forza, essa la trasmette inalterata (in modulo!) al corpo

cui è collegata. Chiaramente la forza applicata al corpo può avere direzione e verso differenti

rispetto a quella di partenza. Osserviamo che tutto questo è vero se la carrucola è ideale, ovvero

se ha massa trascurabile ed è priva di attrito.

Ci proponiamo ora di capire che cosa vuol dire applicare le leggi di Newton: in altri termini,

facendo alcuni esempi vedremo come studiando le forze applicate ad un corpo riusciamo a

determinarne il moto. Per fare questo dobbiamo seguire una serie di passi:

1) definiamo un sistema di riferimento e, al suo interno, un sistema di coordinate per

descrivere il moto;

2) individuiamo le forze che agiscono sul corpo;

3) quindi scriviamo la seconda legge di Newton;

4) consideriamo le componenti della seconda legge di Newton secondo gli assi considerati,

ovvero la proiettiamo lungo gli assi;

5) risolviamo l'equazione o il sistema di equazioni che otteniamo, per determinare

l’accelerazione

6) Una volta nota l’accelerazione, possiamo scrivere la legge oraria utilizzando quanto visto

in cinematica.

Esempio

Supponiamo di avere un corpo di massa m, in prossimità della

superficie terrestre, che viene lasciato cadere, partendo da

fermo, essendo soggetto solo alla forza peso. Trascuriamo ogni

altra forma di interazione, ad esempio l'attrito con l'aria.

Scegliamo il nostro sistema di riferimento che ovviamente sarà

solidale alla superficie terrestre; il corpo si muoverà lungo la

verticale perché sarà soggetto alla forza che lo tira verso il centro

della Terra, quindi possiamo scegliere un asse z diretto verso

l'alto e avente origine O sul terreno.

L'unica forza agente è la forza peso, pertanto sostituendo nella seconda legge di

Newton si ha:

dal che deduciamo che

Il corpo si muove con accelerazione costante e con componente z negativa (in quanto

diretta verso il basso) ossia descrive un moto uniformemente accelerato lungo l’asse z.

Possiamo quindi scrivere la legge del moto:

dove z è la coordinata del punto di partenza. Il modulo della velocità aumenta

0

linearmente con il tempo, ma siccome l’asse z è stato scelto con il verso in alto, la

componente z della velocità è sempre negativa e si scrive:

.

Esempio

Un altro esempio è dato dallo studio del moto di un corpo sparato verso l'alto dalla

superficie terrestre, con una velocità iniziale di modulo v .

0

Questo esempio ricorda il moto del pallone di cui abbiamo parlato poco fa: quel moto

che, secondo Aristotele, non può essere spiegato senza una forza che agisce sul corpo

mentre esso sale. Vediamo di darne la spiegazione alla luce della fisica newtoniana.

Quando il corpo è in moto, agisce su di esso la sola forza peso, quindi anche in questo

caso il moto avviene con accelerazione costante, diretta verso il basso e di modulo pari

a g. Otteniamo facilmente la legge oraria e la legge di variazione della velocità usando

lo stesso sistema di riferimento del caso precedente:

Che cosa cambia rispetto all’esempio precedente? Le condizioni iniziali!

Mentre prima il corpo partiva da fermo, quindi con velocità nulla, da una altezza z , ora

0

parte dall’origine con una velocità di componente z pari a +v : l'effetto

v 0 0

dell'accelerazione è di far diminuire la velocità, fino a renderla nulla. Dopo aver

raggiunto l'altezza massima, il moto avviene come nel caso precedente, ovvero c'è un

moto di caduta libera. Il corpo sale verso l'alto in virtù della condizione iniziale sulla

velocità che gli è stata impressa. Questo esempio chiarisce in modo lampante che non

è necessaria alcuna forza per far salire il corpo verso l'alto, dopo che è stato lanciato:

sono le condizioni iniziali a determinare il moto successivo del corpo, insieme alle forze

che agiscono su di esso.

Esempio

Vediamo un altro esempio: si tratta del moto di un

punto materiale di massa m lungo un piano inclinato di

un angolo α; il piano è senza attrito. Rispetto agli

esempi di prima, qui oltre alla forza peso agisce sul

punto materiale la forza vincolare, ortogonale alla

superficie del piano inclinato. Partiamo dalla seconda

legge di Newton e andiamo a scrivere le forze agenti:

sono la forza peso e la forza normale

W N:

Osserviamo che le due forze non agiscono nella stessa direzione; quindi, dopo aver

scelto un sistema di riferimento solidale al piano inclinato, dobbiamo scegliere un

sistema di assi cartesiani. Ad esempio scegliamo l'asse x parallelo al piano e orientato

verso il basso, e l'asse y ortogonale ad esso e orientato verso l'alto. Proiettiamo la

seconda legge di Newton, ovvero prendiamo le componenti cartesiane del primo e del

secondo membro e otteniamo:

Per procedere dobbiamo considerare le componenti

lungo gli assi x e y delle forze: scegliendo i versori

come in figura, vediamo che la forza normale è

parallela al verso positivo dell'asse y, mentre il

vettore forza peso ha una componente parallela

all'asse x e una parallela all'asse y:

Tenendo conto delle relazioni trigonometriche otteniamo

Andiamo a sostituire le componenti delle forze nelle equazioni che abbiamo scritto

prima, e otteniamo

ricordando che il modulo della forza peso è W=mg.

La prima equazione lungo l'asse x ci dice che il moto avviene con accelerazione

costante:

Per risolvere la seconda equazione, osserviamo che non c'è moto lungo l'asse y, perché

la particella si muove parallelamente all'asse x; quindi y=costante e la componente

dell’accelerazione a è nulla e possiamo ricavare il modulo della reazione normale

y

Il moto avviene lungo l'asse x con accelerazione costante, per cui la legge oraria è

quella del moto uniformemente accelerato:

Esempio

In questo esempio vediamo che cosa accade se il piano

inclinato è scabro anziché liscio. Alla reazione normale

e alla forza peso si aggiunge la forza di attrito.

N W

Lasciamo il corpo libero di muoversi e sappiamo che la

forza di attrito, che si oppone al moto incipiente del

corpo, può equilibrare la componente della forza peso

che trascina il corpo in basso. Ho detto “può

equilibrare” perché sappiamo che essa può assumere

un valore massimo e, se per l'equilibrio è richiesta una

forza di attrito maggiore, l'equilibrio non sarà possibile.

Scriviamo la seconda legge di Newton e consideriamo le forze agenti: sono la forza

peso la reazione normale e la forza di attrito

W, N Fa.

Scegliamo gli assi cartesiani come prima e, andando a proiettare la seconda legge di

Newton, otteniamo

L’equazione lungo l’asse y non cambia rispetto al caso del piano inclinato liscio, mentre

varia l’equazione lungo l’asse x per la presenza della forza di attrito. Come prima, non

c'è moto lungo l'asse y, per cui

Vediamo ora sotto quali condizioni la forza di attrito può equilibrare la componente

della forza peso lungo il piano.

1) caso di equilibrio

Consideriamo la condizione di equilibrio, che equivale ad imporre che non ci sia

accelerazione lungo l'asse x: questo avviene se la forza d'attrito bilancia esattamente la

componente della forza peso diretta lungo l'asse x, ovvero

Imponendo questa condizione, osserviamo che al crescere dell'angolo aumenta il

α

valore della forza d'attrito richiesto. Sappiamo però che la forza di attrito non può

assumere valore arbitrariamente grandi, ma esiste un valore massimo che essa può

assumere, ed è pari a al prodotto del coefficiente di attrito statico per la reazione

normale N

Abbiamo equilibrio se la forza di attrito richiesta non è maggiore di questo valore

massimo, ovvero se

Quindi l'angolo massimo è determinato da

Per angoli maggiori il corpo non può stare in equilibrio, ma inizia a scendere lungo il

piano inclinato, anche in presenza di forza di attrito.

2) Caso di moto

Se l'attrito non è in grado di tenere in equilibrio il corpo, esso inizia a muoversi lungo il

piano inclinato sotto l'effetto della forza peso e della forza di attrito dinamico.

Quest'ultima ha modulo

ovvero

Bisogna tenere conto di questa equazione per calcolare l'accelerazione lungo l'asse x:

si ottiene

Questa accelerazione è minore di quella in assenza di attrito. Il corpo si muove sempre

di moto uniformemente accelerato, per cui formalmente la legge oraria è analoga alla

precedente

ma sappiamo che arriverà alla base del piano inclinato con una velocità minore

rispetto al caso in cui il piano è liscio, per effetto della forza di attrito presente.

Esempio

Un sistema è costituito da due masse, m e m ,

1 2

collegate da una fune ideale che si avvolge su una

carrucola; vogliamo calcolare come si muovono le

masse in assenza di attrito. Per fare questo,

dobbiamo scrivere la seconda legge di Newton per

entrambe le masse.

Consideriamo le forze in gioco: sul corpo di massa

m agiscono la reazione normale la forza peso ,

N, W

1 1

(verso destra) esercitata dalla fune. Scriviamo quindi

e la tensione T 1

Sul corpo di massa m agiscono la forza peso e la tensione esercitata dalla fune,

W T

2 2 2

quindi scriviamo

Analizziamo separatamente le equazioni per i due corpi. Partiamo dal corpo m e

1

andiamo a scomporre le forze lungo gli assi xy orientati come in figura. In particolare

lungo l'asse x agisce solo la tensione T 1

mentre la forza peso e la reazione normale si bilanciano lungo l'asse y, ovvero

W N

1

da cui agiscono forze solo lungo l'asse y; in particolare la forza peso è concorde

Sul corpo m 2

con l'asse y, mentre la tensione ha verso opposto: scrivere

quindi possiamo

Restano due equazioni da risolvere: osserviamo che le due equazioni contengono le 4

incognite a , a , T , T . Di conseguenza il sistema così non è determinato. Dobbiamo

1 2 1 2

aggiungere delle condizioni per risolverlo in maniera univoca. La prima osservazione

che facciamo, a tal proposito, è che la fune è ideale: quindi il modulo della tensione ai

suoi capi deve essere lo stesso, ovvero