Posizione, spostamento, traiettoria

Nel caso della figura, sia la componente x del vettore sia la sua componente y hanno segno positivo.

r

Se la particella si trovasse nel secondo quadrante, y sarebbe positivo mentre x sarebbe negativo, e

così via.

Alternativamente, anche se non useremo tale notazione nel seguito, il vettore può anche essere

r

individuato dalla sua lunghezza (modulo) e da un angolo formato con l’asse delle x, come indicato in

figura.

La particella si muove nel tempo e descrive una traiettoria, indicata con la linea tratteggiata in figura.

Pertanto il vettore varia nel tempo. Osservando le immagini a tempi diversi si nota come il vettore

r

varia in modulo e direzione.

Vettore spostamento

Il vettore spostamento è definito in un intervallo di tempo come la differenza fra la posizione

∆t

iniziale e la posizione finale:

dove ed sono le posizioni iniziali e finali rispettivamente. E’ importante sottolineare che ∆

r r r,

0

essendo differenza fra due vettori, sarà anch’esso un vettore.

Le componenti del vettore sono (x - x ) e (y – y ).

∆ r 0 0

Come abbiamo già detto nel caso a una dimensione, lo spazio percorso coincide con lo

non

spostamento. Infatti, lo spazio percorso nell’intervallo di tempo è la lunghezza dell’arco, indicato in

∆t

rosso. Lo spazio percorso in genere si indica con la lettera s e non è un vettore.

Legge oraria

Come nel caso unidimensionale, il moto della particella è noto quando è nota la funzione che descrive

il vettore in funzione del tempo. Formalmente si scrive

r =

r r(t)

Questo vuol dire che devono essere note le coordinate x e y della particella in funzione del tempo

x = x(t); y=y(t)

Si noti che le coordinate, o componenti del vettore, non sono grandezze vettoriali, ma scalari.

. Esempio.

Una particella si muove su un piano. Le sue coordinate in funzione del tempo sono

4

= + 0

.

5

x t

π

= 2 − sin( )

y t

Si noti che i coefficienti numerici devono avere opportune unità di misura in modo che sia

x che y siano espresse in metri, e il tempo t in secondi. La posizione al tempo t=0 della

particella è caratterizzata dalle

coordinate x=0.5m e y=2m. Si

ottiene sostituendo a t il suo valore

e si rappresenta come un vettore.

Fra l’istante t=0 e l’istante t=π/2

secondi la particella si sposta

lungo una traiettoria,

rappresentata in viola. La

traiettoria è ottenuta sostituendo

tutti i valori di t nell’intervallo e

rappresentando i punti trovati sul

grafico. In termini corretti si

dovrebbe dire rappresentando la

funzione nell’intervallo dato.

La posizione al tempo t=π/2 s è

individuata dalle coordinate x=2.5m e

y=1m, ottenute sostituendo a t il suo

valore numerico. Si ha dunque un

nuovo vettore posizione. In figura la

traiettoria è sempre riportata in viola.

Lo spostamento è il vettore rosso che

unisce la posizione iniziale con quella

finale.

Essendo un vettore è necessario

calcolarne le due componenti.

La componente lungo l’asse x è la

proiezione del vettore parallela

all’asse x. Tale componente è indicata

in verde nella figura. Il suo valore è

= 1.5 m.

∆x

Analogamente si ricava la

componente verticale (parallela

all’asse y). Si ottiene

= -1m.

∆y

E’ importante il segno negativo della

coordinata y dello spostamento.

Scomposizione del moto in due moti unidimensionali

Un moto a due dimensioni può essere scomposto in due moti ad una dimensione. Come si vede nel

video (video3_cinematica2d.avi ), il moto della particella (rossa) può essere visto come il moto di due

particelle (azzurra e blu) che si muovono sui due assi e il cui moto determina le coordinate del moto

della particella blu.

Se sono soddisfatte alcune semplici condizioni, i due moti sono indipendenti. Non discuteremo oltre

queste condizioni. E’ invece importante capire il significato della scomposizione del moto in due moti

unidimensionali, assumendo che le condizioni che lo rendono possibile siano verificate.

Dovendo studiare il moto della particella, si procede in questo modo.