Appunti di Analisi matematica

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Appunti di Analisi matematica

Formulario di Analisi I

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria dei sistemi

Dal corso del Prof. M. Verri

Università Politecnico di Milano

Appunto

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Argomenti del corso (dal sito ufficiale): Nozioni di logica matematica. Concetti e proprietà di proposizione, predicato, connettivi e relative tavole di verità, quantificatori; il significato delle principali tecniche per dimostrare proprietà o teoremi (dimostrazioni dirette, per assurdo, per induzione; controesempi). Il Principio di induzione. Nozioni di insiemistica. Concetti e proprietà di appartenenza, inclusione, unione, intersezione, differenza, complementazione, prodotto cartesiano. Insiemi numerici. Le proprietà strutturali di campo ordinato dell'insieme dei numeri razionali. Definizione di numero reale e struttura di campo ordinato dell'insieme dei numeri reali; la proprietà di completezza dell'insieme dei numeri reali e i concetti di estremo superiore, di estremo inferiore, di massimo e di minimo. Definizione di insieme dei numeri complessi e sua struttura di campo, l'inclusione dei reali nei complessi, forma cartesiana e forma polare, coniugazione, formule di De Moivre del prodotto e del quoziente, radice n-esima complessa, teorema fondamentale dell'Algebra (enunciato), trasformazioni nel piano di Gauss (traslazioni, rotazioni, omotetie, ...). Funzioni. I concetti di funzione, dominio, codominio, immagine e grafico; i concetti di uguaglianza e restrizione di una funzione; l'operazione di composizione e le sue proprietà; la proprietà di iniettività e il suo legame con la funzione inversa; la corrispondenza biunivoca tra insiemi. Insiemi equipotenti, potenza di un insieme; insieme finito e insieme infinito; insieme numerabile; numerabilità dei razionali; insiemi continui. Funzioni reali di una variabile reale. I grafici delle funzioni fondamentali (potenze, radicali, esponenziali, logaritmi, trigonometriche, trigonometriche inverse, modulo, ...); trasformazioni di grafici (traslazioni orizzontali e verticali; dilatazioni e riflessioni orizzontali e verticali; ...); simmetrie (pari, dispari, periodicità). L'algebra delle funzioni, la nozione di monotonia e gli estremi di una funzione. Elementi di topologia. Il concetto di intorno di un numero reale; intorni unilateri (destro e sinistro) e intorni di ±∞. Le definizioni e le proprietà di: punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, e di parte interna, frontiera, chiusura, derivato di un insieme di numeri reali. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Il Teorema di Bolzano-Weierstrass. Limiti. Concetto, definizione metrica e interpretazione geometrica di limite (finito e infinito; al finito, unilatero, all'infinito; per eccesso e per difetto); definizione topologica di limite. Unicità del limite; permanenza del segno; confronto di limiti; esistenza del limite per funzioni monotòne (teorema di monotonia). Calcolo dei limiti: regole algebriche (somma, prodotto, quoziente), cambiamento di variabile (teorema del limite della funzione composta); forme di indecisione; limiti fondamentali e limiti notevoli da essi dedotti. Le definizioni di: funzione continua (da destra, da sinistra), punto di discontinuità (salto; eliminabile), asintoti (orizzontale e verticale). Continuità di: somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue. Successioni reali. Successioni monotòne; successioni limitate; limite di una successione (successioni convergenti, divergenti, indeterminate); teorema di monotonia per le successioni; il numero "e". Limiti sequenziali, classe limite, massimo e minimo limite di una funzione. Sottosuccessioni e teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni. Successioni fondamentali e completezza; criterio di convergenza di Cauchy. Successioni definite per ricorrenza. Infinitesimi ed infiniti. Confronto, ordine, simboli di "uguaglianza asintotica" e di "rapporto infinitesimo" e loro proprietà. Sviluppi asintotici nell'intorno di un punto: definizione, sviluppi notevoli. Applicazioni: calcolo di limiti, asintoto obliquo, studio asintotico del grafico di una funzione. Funzioni continue. I teoremi fondamentali sulle funzioni continue in un intervallo: teorema di Weierstrass; teorema degli zeri: teorema dei valori intermedi; teorema della funzione inversa. Continuità uniforme: definizione e criteri; applicazione: errori di misura di grandezze legate da una legge deterministica. Funzioni derivabili. I concetti di funzione derivabile e di derivata (destra, sinistra), equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto, legame tra derivabilità e continuità, la funzione derivata e le sue discontinuità (flessi verticali, cuspidi, semicuspidi, punti angolosi), le derivate successive e gli spazi funzionali delle funzioni derivabili n volte o indefinitamente derivabili. Le derivate notevoli e le regole di derivazione; i teoremi del valore medio di Lagrange e di Cauchy; il concetto e il significato geometrico di differenziale; flessione, raggio di curvatura e cerchio osculatore in un punto di un grafico. Applicazioni delle derivate. Regola di De L'Hôpital; test di monotonia per funzioni derivabili; funzioni convesse/concave e test delle corde; test di convessità/concavità per funzioni derivabili o derivabili due volte; estremi locali e relativi test di riconoscimento per funzioni derivabili; test della derivata seconda per gli estremi interni; flessi e relativo test di riconoscimento per funzioni derivabili due volte; test della derivata terza per i flessi. Approssimazione di funzioni con polinomi: sviluppi di Taylor (resti di Peano e di Lagrange); sviluppi notevoli. Antiderivazione. Teorema della derivata nulla; primitive e loro non unicità. L'integrale indefinito, l'operatore lineare di integrazione (o antiderivazione), integrali notevoli, regole di integrazione per parti o per sostituzione. Integrale definito. Concetto di integrale definito e sua interpretazione geometrica; integrabilità delle funzioni continue o generalmente continue; proprietà dell'integrale (linearità, additività, monotonia); media integrale e teorema della media integrale per funzioni continue; la funzione integrale e il teorema fondamentale del Calcolo; esistenza delle primitive di una funzione continua e regola di calcolo dell'integrale tramite variazione di una di esse. Le primitive non elementari. Integrale improprio. Il concetto di integrale improprio (nei due casi di intervallo non limitato o di integranda non limitata) e i test di convergenza (del confronto; del confronto asintotico; della convergenza assoluta). Serie numeriche. Concetto di serie numerica, carattere di una serie, convergenza semplice ed assoluta, criteri di convergenza (generali, per serie a termini positivi, per serie a segni alterni), approssimazione della somma di una serie ed errore di troncamento; operazioni sulle serie: somma, prodotto, riordinamento. Serie geometrica e serie esponenziale. Serie a termini complessi, formula di Eulero. Forma esponenziale dei numeri complessi. Serie di potenze e serie di Taylor. Raggio di convergenza e relative formule di calcolo; la funzione "somma" e le sue proprietà (continuità; derivabilità); teorema di Abel; principio di identità. Derivazione e integrazione per serie. Funzione generatrice di una serie di Taylor; funzione sviluppabile in un punto; funzione analitica in un intervallo. Serie di Mac Laurin notevoli.

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Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. G. Coclite

Università Politecnico di Bari

Appunto

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Sono presenti i seguenti teoremi, con enunciato e dimostrazione: - Teorema di unicità del limite - Teorema del doppio confronto o dei carabinieri o di convergenza obbligata - Teorema di bolzano o degli zeri - Teorema dei valori intermedi - Teorema di continuità delle fuznioni derivabili - Teorema di fermat - Teorema di rolle - Teorema di lagrange o di interpolazione lineare - Teorema di cauchy - Teorema della media integrale - Primitiva - Teorema fondamentale del calcolo integrale - Formula fondamentale del calcolo integrale - Teorema di de l’hopital

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Riassunto teoria Analisi 2

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria ii

Dal corso del Prof. N. Arcozzi

Università Università degli Studi di Bologna

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Appunti per l'orale dell'esame di Analisi 2 elaborati dal publisher sulla base di appunti personali e frequenza delle lezioni del professore Arcozzi, dell'università degli Studi di Bologna - Unibo. Scarica il file con le esercitazioni in formato PDF!

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Esame Analisi matematica I

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. S. Cingolani

Università Università degli Studi di Bari

Appunto

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Appunti brevi e concisi sullo studio di funzioni per tutte le facoltà scientifiche. Gli argomenti presenti sono: dominio funzioni, forme indeterminate, limiti notevoli, derivata (prima), regole di derivazione, punti di non derivabilità, massimi e minimi, derivata seconda, concavità e punti di flesso, disegnare grafici conoscendo grafici noti.

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Ellisse - scrivere l'equazione in forma canonica

Esame Complementi di matematica

Facoltà Scienze della formazione

Università Università degli studi Suor Orsola Benincasa di Napoli

Esercitazione

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Esame di complementi di matematica, modulo di geometria analitica del piano. Argomento trattato: le coniche. Equazione canonica dell'ellisse. ellisse riferita al suo centro e agli assi. Ellisse con fuochi su x e su y. Definizioni di base ed applicazioni numeriche.

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Ellisse - scrivere l'equazione dati il semiasse minore e l'eccentricità

Esame Complementi di matematica

Facoltà Scienze della formazione

Università Università degli studi Suor Orsola Benincasa di Napoli

Esercitazione

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Ellisse - scrivere l'equazione data la somma delle distanze dei due fuochi

Esame Complementi di matematica

Facoltà Scienze della formazione

Università Università degli studi Suor Orsola Benincasa di Napoli

Esercitazione

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Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Esercitazione

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Appunto di analisi matematica sugli integrali definiti. Definizioni ed applicazioni numeriche semplici per fissare le idee. Calcolo dell'integrale definito con il metodo di sostituzione. Calcolo delle aree di regioni del piano delimitate dal grafico di una funzione e dall'asse x.

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