Appunti Analisi matematica 2

Appunti analisi matematica 2 Andrea Bavaro 2021 2022

Lezione 1 07/03/2022 - Serie funzioni

Ripasso numeriche • conserie : mio }{ } {IR :{ Es dispari }da dipartiamo nn dare 1.3.5inumeri numerirauna successione • / .. .. .. .2mm : -11{ }Es 11 11 -1 -1, , ., . .mc. e)ln = m[5mle dellaSàpmicostruiamo successioni QuQatar un-1 • += =. _. k =DÌÌ limdefinisco 1kilSncon converge c-• →= [MitoMio diverse[ -1-00=> ¥oscilla =-100[Es ln -11an mi +00: Mio-100" [ fraf-Es )an 1 oscillaun de 1: =mioÈ èICIR intervallounfmix • Mio IRfm Ifunzioni →diprendiamo successioneuna ;• ; ii CodominioDDOMINI"fnrxEs ×] = <°Foix fan1 )✗) = ✗==Fila ") ×✗ ==Ora funzioni • posso questesommarefa fase 1+ += ×= fafaSa 'fy 1= ++ + ++ ×= nI fans5m . Kid { }EI FmlnfissaSe allora di • realiè successioneuna possoenumeri× È )( fissatofmri lastudiare serie numerica a ×Mio TÉTaarna finefunzionilaDeif che diserie ) puntualmenteconverge in unMuro* Èfmrx[ ÈCI tfxlaintervallo se e-)numericaserie converge ].Mio"FmaIREs MFm ) ×: :>- È " l'Mi la1hchiedo × )quali convergeper ae casa✗ c- serie MioSnFisso IR < M1 ✗✗ e ±+ ✗+ ✗ +=. . _}Sn M' "✗ ✗ ++ -1+ ✗× ×= . . . [ ]1✗ =/" " ""SnSn Sn 1-1✗ × ×>- =- = = 1- ×{ +00 se xzelim ÈSn 1×1<1se=Moto ¥ 1se f-✗ È" "funzioniGmclesione la di C- )× 1,1puntualmente inconverge: serie ↳-100 M[ chiama geometricaseriesi✗Mio "È !!Aram m )× ( ftp..fi"( !)Es ) =serie !esponenzialemi ann.s.io..mio -11M :& /"Én×¥finAxe l'?Per IR ' incinti. ='IRquali converge • mae✗ »e= -100M s .- Èl' Ola IR ==puntualmente Mserie convergeconverge in -100mioi* [ ]( )ES Dimostrare del: criterio radiceripassare criteriorapporto rapportoe-100 ?IQuali fra fmriFm dadi ereditateproprietà vengono • = Mio?f9m lose le ' • anchecontinuesono e,derivabiliintegrabili N-100I I fmrifhoSenso fini IN+ )) errore: ~»= mio neo ta[( Mi) FnEs derivabili Entutte derivabililechiedendotà sto e puntualmenteconvergese sans: mia!fin I Fèche' derivabilealloraa veroe •:, -2%4%k ?fn-2in • ."Es [geometricaserie ×: " derivabili • × sono[ % Ixm )Fa • -1,1✗ Eper)== , 1Posso fin Ì È11¥ i-111calcolare )-1✗ xp •= =-=- g.È ↳ S'lim"Vediamo mh)= o×ora = °mio m +00> I. i ][ mxm "" ""Ricorda InterimSmaSnk ""d- In(1 1)1px +1D.)-1 ××) × +>= -> . -. - =- == 'Ok M<-1 )✗ ix. ×-e)S' [ ]L'lim "1 ↳ 1×1<1"" Mx pernrx) II" io= ,eM ( ,→ +00 µ "È 1" [ fnrx/ok finta dldxConclusione ) a= = (: 1.mio FmEs IRFm " IR/( )3) Sin →× :x = "Isin //in 21)3 ×iÈ fmrx (IR ilpuntualmente )assolutacriterioconverge) di convergenzain permio 'ÈÈ"Hot "Fabio3mFm ho37 3/ che )Ix )) esempiocos hoper +00: = =In0Mioan I Ìmdeici punti dovesono non converge .D8Lezione /2 / 03 2022- inEs Prendiamo funzionidi :[ integrabili] IRuna successione 0,1 →. ,studiamo•• puntualeconvergenza T.fmdellaIntegrabili•• tà sommaPossiamo ④ [ ]{ DI}una MEN che n cioèin sonosuccessione ✗costruire copre m,tutti [0,1 ]razionalii in{Li! %{| } ) ( )i; :i • per esempio, _ ..fmfx 1{Definisco se) ✗ • = xn= (Altrimenti0 [0,1 ]in{Foix 1 ha )se) Xixo -1= • altrimentioÌ Ifa fa •• )> %° - --0 , y☐ ,?fm integrabili 0,1[1 ]sono superchéSi discontinuesono puntoun soloin, .Èfmrx ?Cos' è2 )0 ¥Noto [ ]0,1che c-converge ;¢ ([ fnrx tutteQ le fm0 a)✗ • ¢se ) valgono se ✗= /[Q )fmfx 'E 1 c' finchese ✗ • volet determinatouna sola) e in ×un=È" 1 anni{fnrx ]ese) ×=M O altrimentilaè funzione Dirichlet chedi integrabileènon,In di funzionitrovatoabbiamoconclusione serieintegrabili cuilauna • successione: ,funzione integrabilepuntualmenteconverge una nona .

Convergenza totale

Convergenza totale Fsia Fm I funzioni 7DI Unadi SeIn successione suae> una ione numerica-: >>.{ } tcan :lfmixl Int IN1 ± ansup✗ TIhan ([ )22 +00un converge0 ÈFMladiciamo cheallora funzionidi totalmente Ijconvergeserie inoRelazione fra puntuale totale • convergenza e :[ [ fmse totalmente I puntualmenteallora ancheconverge in converge inIl dettonon èviceversa .:[ ][Si Ifnfmcsnv totvede puntcom .. .. tiSia I 1oleorase :vale✗ c- Ì"I /I [[Ifnix Ifmrx± E) -100un)4convergenza assoluta [Quindi fmixEho laalloraItotaleconvergenza inse )seriec- converge✗,quindiassolutamente puntualmentee .Il [ chetroviamoè puntualmentefncontroesempio Unanonviceversa vero converga: totalmentema non+ ad "È" 1-If. " < + a+oo MM" |mia Licbmzdicriterio" ViEffdefiniamo fmfx IRallora ) c-=[che FMK IMIRSappiamo la<) puntualmentecioè serie+00 maconverge× ,,ènon totaleconvergenzac' :suplfnixl① E rnsuplfm KitIn 1 nnquesto caso = =m-100È In② § totalmentelaquindi+00 serieun con== converseeEs serie geometrica: ÌÌ %che f-sappiamo Studiamo" la1,1)puntualmente× convergenzain ora= .,ototale . tc{ }trovareDobbiamo ununa svaessione ;/① Fmi tnt/ INE ansup »✗ EI È②/ MI 11 1oncioè sup +00✗ = > ===✗ HM) 0Equindi la 1-e totalmentenongeometrica 1)serie converge 1in , .Provo l'ÓEpiccolo [intervalloUn intervallo10,1 consideriamo)più • à 5 ]e: - ,[ ]Àla §totaleRistudiare convergenza in -a ,"MI/ 6① sup ✗ an= =]E[-6✗ E , %"② 6[ IN 1<Perché= ,I [ -8Ò ]laConclusione totalmente è< geometrica in1: convergeserie ,É "Esercizio ×ditotalestudiare convergenza: 5!o EFMdadiTorniamo fndell'alla proprietàquestione eredità a}{ FmFmSituazione funzionidi Idata successione IRsia :: →Èfix /fmix Zfmla Idella)l sia converseseriesomma in= f)Ipuntualmente ain .FseI Fm km ZFMI lacontinuità è continua in Convergeserieef [ Fmtotalmente allora è Ijcontinua in="I [Es la]ètotalmente or quindi somma continuaconvergea. èe× -in ,I [ )-2×7[ ]èàin - , ×È %)/sin Rche puntualmente • convergesappiamo in2Mo laNon che totalmentevediamoècos' convergesommasappiamo ma :,lsmfff-t.fmi sup on=IR✗ c- FaIn② Ian lamieraI 2 )== = funzionelaquindi èsomma una continua.FseI DERIVABKITÀ Ifnle fm derivabili 'funzioni I e convergeinsonototalmente I allorain :f- [fm derivabile Iè • infin' ( }-2 derivazionef • per= seriefin "[ II )sintomiNoto di ! Yla )nell' costo ()serieesempio • non=zm/IR )totalmenteconverge convergesu non. % [111 fmle Fn[ CItutte' b)INTEGRABILI integrabili su eTA a.sono convergetotalmente allora :,If fm integrabile [è ] • ,bin a=b [| ( )Ifinta fnix dx integrazione • ) )per serie= QaNoto chenell' Dirichletdella Montedifunzioneesempio totale' convergenza :| Ifinta 1| miesup mi +00>= =reni? Lynn :{ ' se ✗ in=o altrimenti -100 "§ "Esercizio di èlastudiare convergenzai • convergenza >puntuale 14103Tutoratototaleconvergenzain ?derivabileserie integraleproprietà continuasomma :• , ,

Lezione 09/03/2022 3 - Serie potenze

Serie potenze DI )({ dellacoefficienti}un reali serie • numerisuccessione:in[ "/ )un × xo- .Mio fissatoIR della' il✗ centroc-o e serie • SerieEs geometrica •-100[ m Anetcon✗mio ✗ =DaSerie esponenziale •È in 4m !0miun!n • 0Xd =l'Nota del traslazioneeffetto ècentro inuna ×: ; ^^ 'finefin (2 ✗ xD-✗= V. ., •I ( ) diL' di potenzedi particolareI è insiemeunserieunainsieme convergenza • .Ho possibilità3 :}E- {1 xoI " "/Nota anti xD ArltxD xdho ai +✗+ -1: = - -- . .. ( )laIm x-x.in/scelgo ' serie ase n + qoconverge× >qo ✗= oes =- = .?⃝ Esiste tcR2 / R<aldetto di0 ✗un > se ✗ conversenumero convergenza •raggio -:, Se RIl >xd conversenon • -convergenonR -mmm , gÌoirio IRxar /converge[ (" a)✗Es × a- ( 1)R1×121se • converge =1×1 1se converge> non☐ ttxLa IR3 converge c-serie .¥[ ttxE M:S c-converge: . )( INNotai di =Dè1 zeroconvergenzaraggio ( Htoo)di infinito3 raggio 'convergenza eIl della2 comportamento diXOIR stabilito voltaserie ✗ voltain inva=Nel oscillarela divergere2 K R serie puòcaso oal >✗-Per di hotrovare il criteriraggio • 2convergenza :la di1 potenzedella radiceCriterio serieper-100 " | MI[ dilimSia AlloraSupponiamoladata mix " • che esistaserie xD :•- .0 M +00→l R1 Se -100=D =,Se l2 R Oso+ == ,3 Illse Rio )e -100 =, , "Attenzione Imldevovale metterepositivisolo termininon mapersone a ,Criterio del2 la dirapporto potenzeper serieQnSupponiamo -11lche • limesista = RMMusol R1 Se -100=D =,Se l2 R 0so+ == ,"" 3 IllSe RIo )e -1dg =, ,Es Studiamo didi l'il raggio • insiemeconvergenza e convergenzaÈ -1in" 0=3" mix -1unin ✗». )zm° zmUsiamo della radicecriterio :m mlim " Itant 1himAm lim= ==Mi in MM+00 2> -400 2stop-1--1 R La 1 % 2>= = . ==,Il ladice /criterio -31 2<serie ✗ • converge in: la serie IX.In • non converge 3172Il dice Quindisuccedecriterio nellanon hecosa =3 sostituiscoin e- 51 e e✗ seriea- ,.lastudioe numericaserie (✗=p lim oda- +misto ItraÈ LÀ-1in" InIl II. "inniminuti diverse» )-1 =. =° ¥zm 05a- LÀ ÈÈÈ t.IM "" oscillaINhinten n=>=° °"1¢in LaConclusione I! :( )1,5converge inserie( )( )DIMOSTRAZIONE 3 .Idea fissiamo antanite TR della lecriterioix. radice✗ per numericheusiamo susereexd 0" "mancino l AmmAM "(" lim / xD ✗nn) . x == on× •- - , MotorsM M+00> story- - " /ld)Ii ✗H1Pa -;)pagl t.ltxD al 1K✗= e <- > ✗= =- •/[ Ianla "