Appunti di Analisi matematica 1

Campo ordinato e proprietà

Definizione del campo ordinato

L'insieme RR → numeri reali, a, b, c ∈ R. Si dice campo ordinato in quanto posso ordinare gli elementi a ≤ b. R (+, .) → ha queste operazioni.

Assiomi

• Proprietà associativa:
  a + (b + c) = (a + b) + c per il +
  (a . b) . c = a . (b . c) per il .
• Commutativa:
  a + b = b + a
  a . b = b . a
• Distributiva:
  c . (a + b) = (c . a) + (c . b)
• Elemento neutro rispetto alla somma: 0 è 0; infatti a + 0 = a
• Elemento neutro rispetto al prodotto è 1; infatti a . 1 = a
• ∀ a ∈ R l'opposto di a → a : a + (-a) = 0
• ∀ a ∈ R l'inverso di a → a: a^-1 . a = a . a^-1 = 1 con a^-1 = ¹⁄_a X il prodotto
• x, y ∈ R con y ≠ 0 → x ÷ y ≡ x . y^-1

Potenza e radicali

N = {1, 2, 3, …}
N₀ = {0, 1, 2, …}

∀ x ∈ R    n ∈ N → xⁿ ≡ x . x . x . … x n volte     x^-n = ¹⁄_xⁿ     con x ≠ 0 x⁰ = 1

√_nx → x ≥ 0 (n ∈ P₀) → y ≥ 0:   yⁿ = x → y = √ⁿ⁄

Se n è pari √_nx esiste per x ∈ R⁺
Se n è dispari √_nx esiste per ∀ x ∈ R

x^m/n = x^m se m ∈ N √ⁿ⁄ x^m
Se n è pari x > 0
Se n è dispari ∀ x ∈ R

x^m/n = 1 / x^-m/n ∀ x > 0 se n dispari per x ≠ 0

Proprietà e teoremi delle potenze

• Insieme ℝ ℝ → numeri Reali a, b, c ∈ ℝ
• Si dice campo ordinato in quanto posso ordinare gli elementi a ≤ b
• ℝ (+, ·) ha queste operazioni
• Assiomi
• Proprietà associativa:
  a + (b + c) = (a + b) + c per il +
  (a · b) · c = a · (b · c) per il ·
• Commutativa:
  a + b = b + a
  a · b = b · a
• Distributiva:
  c · (a + b) = (c · a) + (c · b)
• Elemento neutro rispetto alla somma ed è 0; infatti a + 0 = a
• " " al prodotto ed è 1; infatti a · 1 = a
• ∀ a ∈ ℝ l'opposto di a ⇒ a : a + (-a) = 0
• ∀ a ∈ ℝ l'inverso di a ⇒ a⁻¹ : a · a⁻¹ = 1 con a^-1 ≠ 1/a per il prodotto
• X, Y ∈ ℝ con Y ≠ 0 ⇒ X/Y ≜ X · Y⁻¹

Potenza e Radicali

• N = {1, 2, 3, ...}
• N₀ = {0, 1, 2, ...}
• ∀ x ∈ ℝ n ∈ N ⇒ Xⁿ ≜ X · X · X ... X n volte
• X⁻ⁿ = 1/Xⁿ con X ≠ 0 X⁰ = 1
• ∀ X ≥ 0 (n pari) ⇒ ∃ Y ∈ ℝ⁺ : Yⁿ = X ⇒ⁿ√x = y
• ⁿ√x esiste per x ∈ ℝ⁺ se n pari
• ⁿ√x esiste per ∀ x ∈ ℝ se n dispari
• X^(m/n) ≜ ∛X^m se n pari, X > 0
• X^(m/n) ≜ ∛X^m se n dispari, ∀X ∈ ℝ
• 0^m/n = 0
• X^(-m/n) ≜ 1/X^(m/n)∀ X > 0 se n dispari per X ≠ 0

Potenze con esponenti reali

xⁿ ∀x∈ℝ − {0}
∀x∈ℝ⁺ x^α = e^{α ln x}α∈ℝ⁺ x ≥ 0
α∈ℝ^- x > 0

Conseguenze (Teoremi)

1. a ≤ b o a ≥ b
2. Se a = b e a = c ⇒ a = b
3. Simmetria: a ≤ b ⇒ b ≥ a
4. Se a ≤ b ⇒ ∀ c∈ℝ ⇒ a + c ≤ b + c
5. Se a ≥ b o a ≥ 0 ⇒ a ≥ 0

Valore assoluto (o modulo)

|x| = |x

Modulo argomento: |x| = {x, se x ≥ 0; -x, se x ≤ 0}

Proprietà

1. |x + y| ≤ |x| + |y| (Disuguaglianza Triangolare)
2. |x · y| = |x| · |y|