Limiti - Appunti Analisi 1

Limite finito al finito

Limite finito al finito ∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 : ∀x∈(x₀-δ,x₀+δ)∩D\{x₀}Jf(x)=ℓ <=> si ha che ℓ-ε < f(x) < ℓ+ε

Unicità del limite

Unicità del limite R : D∋R→R x₀∈acc(D)∩R, ℓ∈R

Se Jf(x)=ℓ allora ∃!ℓ := limf(x)x→x₀ o equiv.

Se Jf(x)=ℓ₁ e Jf(x)=ℓ₂ => ℓ₁=ℓ₂ con ℓ₁,ℓ₂∈R

Dimostrazione

Sia per assurdo ℓ₁≠ℓ₂:

Essendo limiti, x def si ha che :

∀V₁∈U(ℓ₁) ∃U₁∈U(x₀) : ∀x∈U₁∩D\{x₀}f(x)∈V₁ ∧ ∀V₂∈U(ℓ₂) ∃U₂∈U(x₀) : ∀x∈U₂∩D\{x₀}f(x)∈V₂

=> per la proprietà di separazione esistono allora ∃ un V₁ e un V₂ tali che :

V₁∩V₂=Φ

Ora f(x)∈V₁ ∧ f(x)∈V₂ ∀V₁,₂∈U(ℓ₁)∀x∈[U=U₁∩U₂]∩D\{x₀}, assurdo.

Limite finito al finito

∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0: ∀x∈(x₀-δ,x₀+δ)∩D\{x₀} si ha che l-ε<f(x)<l+ε

Unicità del limite

∀x: D=&Rarr;&Rarr;, x₀∈acc(D)∩&Rarr;, l∈&Rarr;

Se ∃&lim;f(x)∀x→x₀ allora ∃!l::&lim;f(x)∀x→x₀ o equiv.

Se ∃&lim;f(x)=l₁ e ∃&lim;f(x)=l₂⇒l₁=l₂ con l₁, l₂∈&Rarr;

Dimostrazione

Sia per assurdo l₁≠l₂:

Essendo limiti, x def si ha che:

∀V₁∈U(l₁) ∃U₁∈U(x₀): ∀x∈U₁∩D\{x₀}f(x)∈V₁ ∧ ∀V₂∈U(l₂) ∃U₂∈U(x₀): ∀x∈U₂∩D\{x₀}f(x)∈V₂

⇒ per la proprietà di separazione esistono allora un V₁ e un V₂ tali che:

V₁∩V₂=∃ f(x)∈V₁ ∧ f(x)∈V₂ ∀V₁,₂∈U(l₁), ∀x∈[U=U₁∩U₂∩D\{x₀}] assurdo.

Limite sx ed equivalente dx

Limite sx (equiv. dx) f: D ⊆ ℝ → ℝ ; x₀ è pto di acc. sinistro per D, allora si dice che:

lim_x→x₀^- f(x) = l se f|_{(-∞, x₀)} x → x₀ l ⇔ ∀V ∈ U(l) ∃δ>0 tale che ∀x ∈ (x₀ - δ, x₀) ∩ D, f(x) ∈ V

Teorema:

lim_x→x₀ f(x) = l ⇔ { lim_x→x₀⁺ f(x) = l lim_x→x₀^- f(x) = l }

Limite teorema: cod e dimostrazione

Ipotesi: f: D ⊆ ℝ → ℝ x₀ ∈ acc(D) ∩ ℝ lim_x→x₀ f(x) = l

Per def. di limite si ha che:

lim_x→x₀^- f(x) = l ⇔ ∀V ∈ U(l) ∃U ∈ U(x₀) : f(x) ∈ V ∀x ∈ U ∩ D \ {x₀}

<= ∀ ε>0 ∃ δ::δ(ε)>0 ; ∀ x ∈ (x₀-δ, x₀+δ) ∩ D \ {x₀} |f(x)-ℓ| < ε

|f(x)-ℓ| ≥ |f(x)|-|ℓ| (disuguaglianza triangolare) => |f(x)|-|ℓ| < ε | |ε| ∀ ℰ,ℒ & valori scelti => |f(x)| < ε+|ℓ| => ∃ C = ε+|ℓ| > 0 , |f(x)| < C

Dimostrazione del segno

Ipotesi f∈D⊆R→R x₀ ∈ Occ(D) ∩ Ṕ lim_x→x₀ f(x) = ℓ ℓ>0 (f(x₀))

Tesi => f(x₀) > 0 (f(x₀)<0) definito per x→x₀ ⇔ ∀ V ∈ U(ℓ) ∃ U ∈ U(x₀) : f(x) > 0 (f(x) < 0) ∀ x ∈ U ∩ D \ {x₀}

∃ lim_x→x₀ f(x) = ℓ ⇐ => ∀ V ∈ U(ℓ) ∃ U ∈ U(x₀); f(x) ∈ V ∀ x ∈ U ∩ D \ {x₀}

∃ ℰ ε ∀ ε>0 ∃ δ::δ(ε)>0 |f(x)-ℓ| < ε ∀ x ∈ (x₀-δ, x₀+δ) ∩ D \ {x₀}

ε>0 ⇒ ε= ^ℓ/₂ preso arbitrariamente ℒ>0 => |f(x)-ℓ| < ^ℓ/₂ ⇔ { -^ℓ/₂ < f(x) - ℓ < ^ℓ/₂ -> f(x) > ℓ - ^ℓ/₂ = ^ℓ/₂ > 0

· e ξ₀ = e − ε − ^l⁄₂ ξ₀⇒ pεxξ₀ − ^ε⁄₂ < f(x) − l < ^ε⁄₂ f(x) < l − ^ε⁄₂ < ^ε⁄₂ < 0

Limiti funzioni monotone

Limiti funzioni monotone

Ipotesi f: [0, 6] → ℝ x₀ ∈ acc ([a, 6]) ∩ ℝ x₀ ∈ [a, 6] f è monotona

Tesi

• Crescente, x₀ ∈ &lbrace;a, 6&rbrace;⇒ lim_{x→ x0} f(x) = sup f_{[a, x0&rbrace;} x₀ ∈ &lbrace;0, 6&rbrace; ⇒ lim_{x→ x0} f(x) = inf f_{[x0, 6&rbrace;}
• Decrescente viceversa

Dim: caso x₀ ∈ (0, 6] f è crescente

• Caso 1, f è limitata sup. ⇒ ∃ l: l = sup f_{[a, x0)} ⇒ proprietà ∀ x ∈ (a, x₀), f(x) ≤ l ∀ ε > 0 ∃ x_ε ∈ (a, x₀) : f(x_ε) > l − ε

⇒ ∀ x ∈ [x_ε, x) si ha che: l − ε < f(x_ε) ≤ f(x) ≤ l < l &plus; ε per monotonia crescente

⇒ ∃ V_ε ∈ U(P) &wedge; ∃ U ∈ U(x₀) : f(x) ∈ V_ε x ∈ U ∩ D &lbrace;x₀&rbrace;

Dimostrazione

∀ε>0 ∃ε>0 ∀xεU\{x₀⇒ ∀ε>0 ∃εεU(x₀) : &ell;-ε< f(x)<&ell;+ε

Se &ell;>0 => sia ε=½&ell;>0 ⇒ &LeftBrace; f(x)<&ell;+½ε f(x)>&ell;-½ε &RightBrace; se &ell;<0 => sia ε=-½&ell;>0 &RightBrace; f(x)>&frac32;&ell;&RightBrace;

Teorema: passaggio di limite sulle disuguaglianze

Passaggio di limite sulle disuguaglianze f,g : A&subseteq;ℜ→ℜ ; x₀ε Acc(A)∩ℜ

∃ \lim_x→x0 f(x) = l₁εℜ ; ∃ \lim_x→x0 f(x) = l₂εℜ

f(x)≤g(x)⇒ l₁≤l₂⇒ I le funzioni considerate nello stesso intervallo, per x→x₀, hanno limiti che rispettano la relazione d'ordine tra le funzioni stesse.

Oss: se la disequazione fra le funzioni è stretta, quella fra i limiti non lo è: f(x) < g(x) => l₁ ≤ l₂

Teorema: limiti di funzioni monotone

Teorema: limiti di funzioni monotone f : D &subseteq; R → R ; D = (a, b) con −∞ < a < b ≤ +∞

x₀ &in; (a, b] =>

f è crescente => lim f(x) = sup f(x) x→x₀⁻  (a, x₀)

f è decrescente => lim f(x) = inf f(x) x→x₀⁻  (a, x₀)

x₀ &in; [a, b) =>

f è crescente => lim f(x) = inf f(x) x→x₀⁺  (x₀, b)

f è decrescente => lim f(x) = sup f(x) x→x₀⁺  (x₀, b)

Dimostrazione

Dimostrazione: caso, crescente : (, ) → ℝ, mono. crescente, ₀ ∈ (, ]

I caso: è lim. superiormente ⇒ ∃ l ∈ ℝ : sup (,₀) = ∀ ∈ (, ₀), () ≤ ∀ > 0 ∃ᵇ ∈ (, ₀) : (ᵇ) > - con > 0 fissato.

∀ ∈ (ₑ, ) si ha che - ⇒ = lim () = sup (,₀)

II caso: non è limitato superiormente sup (,₀) = +∞

∀ > 0 ∃ᵇ ∈ (, ₀) : (ᵇ) > , > 0 fissato.

∀ ∈ (ₑ, ₀)⇒ (ₑ) ≤ () ≤ () per monotonia

La condizione di limite infinito al finito ⇒ lim () = +∞

Riassumendo

Riassumendo:

Limiti totale locale: lim f(x) ∈ ℝ ⇒ L è limite totale definito per x → x₀, con x₀ ∈ ℝ

∃C>0; ∃U∈U(x₀) : |f(x)| ≤ C ∀x ∈ U ∩ D \ {x₀}

Dimostrazione:

L : lim f(x)ε > 0 risolto ∃U∈U(x₀) : |f(x) - l|

Permanenza del segno: lim f(x) > 0 ⇒ f(x) > 0 definito ∀x ∈ U

Dimostrazione:

c ∈ ℝ \ {0} ∀U∈U(x₀) ∃U∈U(ε) : f(x) ∈ V ∀x ∈ U ∩ D \ {x₀}

∀x ∈ U∈U(x₀) l - ε ε 0 ε = -ε/2 per f(x) - Passaggio di lim nelle disuguaglianze

f, g: (0, b) → &Ropf; → &Ropf;, flim_x−>x0f(x) = l₁; flim_x−>x0g(x) = l₂; x₀ &in; (0, b)

Se f(x) ≤ g(x) ⇒ l₁ < l₂

- Lim. funzioni monotone: dimostr. caso I ⇒ f è lim. sup ⇒ proprietà del sup ∀ε f(x) ≤ f(x) ≤ L &in; L ∩ L_ε

Caso II ⇒ sup f = +∞ ⇒ ∀L > 0 ⇒ f(x) > f(x) > L (lim. infin. al finito)

Limiti di successioni

Limiti di successioni

{a_n} ⊂ successioni: funzione tale che f(n): &naturals; → &Ropf;

∃! pto di accum. del dominio; = tasi limiti di successioni sono della forma:

lim a_n ∈ &Ropf; ⇒ convergente ⇒ divergente ∅ ⇐ irregolare

Conseguenze

Se (a_n) converge è limitata, non vale viceversa.

Permanenza del segno e verso

a_n > 0 per n &GreaterEqual; n₀, allora lim a_n &GreaterEqual; 0

a_n ≤ b_n per n &GreaterEqual; n₀: allora lim a_n ≤ lim b_n

Caratterizzazione

(a_n) converge/diverge a c &in; &bar;ℝ se e solo se ogni sua sottosuccessione fa lo stesso.

Caratterizzazione sequenziale del limite

Caratterizzazione sequenziale del limite

∅&neq; D ⊂ &Ropf;; x₀ &in; acc(D) ∩ &bar;ℝ → ∃ (x_n) (x_n &in; D\{x₀} per n &GreaterEqual; 1) ilim n&xrarr;∞ x_n = x₀

f : D ⊂ &Ropf; → &Ropf;, x₀ &in; acc(D) ∩ &bar;ℝ, le seguenti osservazioni sono equivalenti :

ilim x&xrarr;x₀ f(x) = l

∀ (x_n) con x_n &in; D\{x₀}, per n &GreaterEqual; 1 tale che ilim x_n = x₀, si ha che ilim n&xrarr;∞ f(x_n) = l

Teorema del limite dx e sx

Teorema del limite dx e sx f: A ⊆ ℝ → ℝ, x₀ ∈ acc(A) ∩ ℝ ̃l ∈ ℝ̃_∗

^{x → x₀+} lim f(x) = l

^{x → x₀-} lim f(x) = l

⇒ i limiti dx e sx sono diversi

⇒ ^{x → x₀} lim f(x)

Teorema di continuità locale

Teorema di continuità locale f: A ⊆ ℝ → ℝ x₀ ∈ acc(A) ∩ ℝ̃

Se ^{x → x₀} lim f(x) = l ∈ ℝ allora f è limitata definit. per x → x₀

∀ U ∈ U(x₀) ∃ C > 0 ∀ x ∈ U ∩ D |f(x)| ≤ C{x 0}

Dimostrazione

Dimostrazione:

Ipotesi f: A ⊆ ℝ → ℝ x₀ ∈ acc(A) ∩ ℝ̃ ^{x → x₀} lim f(x) = l ∈ ℝ

Tesi f è limitata definit. per x → x₀ ⇔ ∀ U ∈ U(x₀) ∃ C > 0 ∀ x ∈ U |f(x)| ≤ C

Siano: l = ^{x → x₀} lim f(x) ∈ ℝ, ∃ ε > 0 fisso, si ha che ∀ U ∈ U(x₀) : |f(x) - l| < ε ∀ x ∈ U ∩ D |x₀}

e |f(x) - l| ≤ |f(x) - l| < ε ⇔ |f(x)| - |l| < ε ⇒ |f(x)| < ε + |l| (disuguagl. triangolo)

Il teorema è verificato se scegliendo C=ε+|e| (si può fare perché l,ε,e sono fissi)

Teorema: permanenza del segno

Teorema: permanenza del segno f: A⊆ℝ→ℝ , x₀∈acc(D)∩ℝ̅ lim_x→x₀ f(x)=l>0 ⇒ ∃U∈(x₀) : f(x)>0 ∀x∈U∩D∖{x₀}

Se lim_x→x₀ f(x)=l0 : (l-ε, l+ε)∩(-∞,0) = ∅

Se ∀z (l-ε, l+ε) e f(x)∈V ∀x∈U∈(x₀)∩D∖{x₀} ⇒ f(x) > 0

Limite destro e sinistro

Limite destro e sinistro: f: A ⊆ ℝ → ℝ ; x₀ ∈ acc(A) ∩ ℝ, l ∈ ℝ̅

Se x₀ è pto di accumulazione destro allora ∃lim_x→x0⁺ f(x) = l se ∀V ∈ U(l) ∃δ ∈ S(V) > 0 :

∀x ∈ (x₀, x₀ + δ) ∩ A ∩ (x₀, +∞) f(x) ∈ V, cioè si ha f(x) ∈ V ∀x ∈ U₊ (intorno destro di x₀)

Se x₀ è pto di accumulazione sinistro allora ∃lim_x→x0^- f(x) = l se ∀V ∈ U(l) ∃δ ∈ S(V) > 0 :

∀x ∈ (x₀ - δ, x₀) ∩ A ∩ (-∞, x₀) f(x) ∈ V, ovvero se f(x) ∈ V ∀x ∈ U_- (intorno sinistro di x₀)

Definizione: limite di una funzione

Definizione: limite di una funzione Siano A⊆ℝ, f: A→ℝ; x₀∈acc(A)∩ℝ, ℓ∈ℝ.

Si dice limite di f per x→x₀ e uguale a ℓ se ∀ε ∀ε(U(ε), f(x)∈V ∀x∈ f: A⊆ℝ→ℝ, x₀∈acc(A)∩ℝ e ℓ∈ℝ:

lim_x→x0 f(x) = ℓ <=> ∀ε∈U(x₀) ∃V∈V(ε) tale che f(x)∈V ∀x∈U

Teorema: unicità del limite

Teorema: unicità del limite. Se f: A⊆ℝ→ℝ, x₀∈acc(A)∩ℝ, ℓ∈ℝ

Se ∃lim_x→x0 f(x) = ℓ questo è unico, ovvero:

Se ∃lim_x→x0 f(x) = ℓ₁ ∧ ∃lim_x→x0 f(x) = ℓ₂ => ℓ₁ = ℓ₂

Dimostrazione: sia per assurdo ℓ₁ ≠ ℓ₂

∀V₁∈U(ℓ₁): f(x)∈V₁ ∀x∈U₁ ∩ => ∀U∈U(x₀) ⟨ ∀V₂∈U(ℓ₂): f(x)∈V₂ ∀x∈U₂∩A⟩ x₀:⟩

e per la proprietà di separazione: ∃ε>0 tale che (ℓ₁-ε, ℓ₁+ε) ∩ (ℓ₂-ε, ℓ₂+ε) = ∅

z > ∀V₁∩V₂ = ∅ e f(x)∈V₁∧f(x)∈V₂ assurdo !

Teorema del confronto

Teorema del confronto f, g, h: D → &Ropf;    ; x₀ ∈ Acc(D) ∩ &Ropf;_̃ , Se :

ƒ g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) defin. per x → x₀ &Join; lim x>g(x), x>lim h(x)   ∧   lim h(x)=lim g(x) ∈ &Ropf; ⇒ &Join; lim f(x) = &ell;

Dim: Si deve dimostrare che vale la def. di limite per x → x₀ di ƒ l, ovvero :

∀ ε > 0 ∃ U_ε ∈ U(x₀) : &ell; - ε < f(x) < &ell; + ε  ∀ x ∈ (U ∩ D) \ {x₀}

Per ipotesi:

∃ U₁ ∈ U(x₀) : ∀ g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)  ∀ x ∈ U₁ ∩ D \ {x₀}

∃ U₂ ∈ U(x₀) : g(x) > &ell; - ε  ∀ x ∈ U₂ ∩ D \ {x₀}

∃ U₃ ∈ U(x₀) : h(x) < &ell; + ε  ∀ x ∈ U₃ ∩ D \ {x₀}

Sia U = U₁ ∩ U₂ ∩ U₃, si ha che :

&ell; - ε < g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) < &ell; + ε ⇒ f(x) ∈ (&ell; - ε, &ell; + ε)

Divergenza per confronto

Divergenza per confronto R, g: D → &Ropf;    ; x₀ ∈ Acc(D) ∩ &Ropf;_̃ , se :

 ∀ x g(x) ≤ g(x) defin. per x → x₀ ∃⇒ g(x) → −∞ ⇒ f(x) → −∞ ⇒ f(x) → +∞ ⇒ g(x) → +∞