Analisi II - Teoria

Analisi II appunti delle lezioni

A. A. 2020/2021 professore Luigi Ferrario Facoltà di Fisica, Università di Milano Bicocca appunti di Rebecca Giulia Novara

Indice

• Spazi metrici euclidei e funzioni continue…………..………………………………………….……………3
• Derivate di funzioni in più variabili………………..…………………………………………………..………….16
• Calcolo integrale in più variabili………………………….……………….………………………………………29
• Successioni e serie di funzioni…………………………………..………………………………………….………….39
• Serie di Fourier……………………………………….………………..…………………………………………………..………….48
• Curve e superfici…………………………………………………………….……………….………………………………………56
• Forme differenziali…………………………………………….…………..………………………………………….…………66
• Equazioni differenziali………………………………………..…………………………………………………..………….75
• Misura di Lebesgue……………………………..………………………….……………….………………………………………86
• Integrale di Lebesgue…………………………………………..…………………………………………………..………….93
• Spazi funzionali ed equazioni differenziali..…….……………….……………………………………101
• Dimostrazioni…………………………………………………………..…………………………………………………..……….111

Analisi 1 ottobre

Richiami 2021 algebrae 4MR IR diRenne spazireali rupie vettoriali seDimensionia se gmatricicolonneripassa operazionirighe Elseho 19Idottoscare IYERe I 2 yY aggVIGHIIlsell IsetER IselIRMA seaproprietà se.y y.sebzlay bae se zseDa yIlsell se seIl all12 DIDISE1113 SCHWARTZ11111 CAUCHYIl IIIIELll DISIt TRIANGOLAREHyllFazione1I la IlE E 211E gli yy zaIovine edef 170 CERscolaroè unodistanza lIldise IseEh2 111 yy Rdidistanza seeyproprietà ddi 2,1170 ED0e Ese.gldiregladly se dle Ildire d 2 E DIS TRIANGOLAREEYmatrici matrici mat autovaloriautovettorideterminante tearripassa spettraleprodforme quadratiche variabili didi 2npolimonioquadraticafama gradoomogeneoseies se serse sei2,2 sera 6sese sese senses nonsessese sesse 24se sesse son nonaµ asei asera Eiii insei sere 222422 sertesesesezzematrici Simteorema matriciale della quadraticaforma formaFACILI QuadraticaformafaFÈ anzia zanzaranE Fn dd daformative sei sert a Gedef se.tkB èrti IadiMsoin seocentroe e maggiorBr diresetti se.hrzo gli esclusiestremi sonointorno sfericocircolare bollaequivalentima Rè KER CIRIn circolareè adintorno intervallouosservazione un in apertodimostroFà dadimostrato definizionebJ 7 by e se 9,1viceversa o prendobrsequindi Mzo aIIRin diNB intervalloprodottoI C circolareintornodel 5SCIA te7ME Brisedesèdi seputtino 0interosto SS Sdil'insieme Sdiinterni dianoadeipunti internosidef SCR IR ISalèPuntano complementareinternosee SIRIS ERE adef di internoné esternonepunto unpuntofrontieraInternet nonesternoLa dièfrontiera ituttil'insieme difrontierapunti.

5 2021 teorema BrIRCE 170 di centro cc palla e raggionraggiotiriallora cuorè nesese painter sedifrontiera Cherse 112ii teleall112 7cheor eInfatti Eprendo D operchéil CilE Zr CicrE Y2Llacon triangolaredisuguagiIl EIIHAECHE CHE11 HI MIl MCIHAc Ny et 111a IRdi 5 OH 2021.

Topologia

Def AA CIR Aèè interoseaperta suopuntoognigliinternisferici sonoapertodimosape le chvisto S èCIR dei5 esteril'insieme èD aperto ptD apertoun undinos si 55di BelaDBebel eeunione panelee sonoapertepalel'estero è delinterno complementareA DANAAAèCIR 0di EDEbronaperto contienenessun punto frontieraITA 0SARAapertoA DA A è1 dia set non frontiera Ealestero devese complementareappartenereÉINTERNOAlloraA è apertoAx AxYfamigliadi D èaperto un apertoLise staAa LAintero èintonoa se aDB A BA a è intersezione apertiaperti die diD finitomeroaperto undinos 7 CBI ca BraBraMA MBea a A BBrMECB e eTamin MemeMar seDD OH7 2021def B IRC è 1Csottoinsieme see chiusoun apertoeSeSCAR è25 Bè la diallora chiusosottoinsieme frontierasuaun undimasRI 5 3di 3a 20 cioèEptpt diinterni apertiesterni unioneunione 25 25èil dise chiusoDapertocomplementare AeC'CIR CSe èchiuso addimasLa ilIRCdi difrontiera frontierahaC chiuso ad complaperto C1CIRRmc indii in ednonsonopt sonodifrontieraquindi di èL'intersezione chiusi0 di chiusafamigliauna qualsiasidiL'unione di èchiusito chiusafinitaunafamigliaaimesCaA IRè II Caad èchiuso apertoCINICAµÈ È CjCj è èed Ichiuso apertoIA g5Rn asSu5di Echiusuraè 5checontienechiusodimasil èsuo complementare aperto.

Limiti OH7 2021

Def SCRB dilazioneE Brè ciinseIo intornoun se infinitiputo sonoper ogni5dipunti 5S è ditutti di diKodiIl ipuntil'insieme accumulazioneosservazione5 ISCIR IN di 5 è diset D accumulazioneperfrontieradimostrazioneè 1570trio diBrtevero che se accumulazioneTeoremaRase è didi accumulazionepuntoqualsiasiEstate PrERI teI tuttianLim distintiÈarbitrariose Pg madelLimite Eridi Rn limitean alEser se sena successione convergeFO KOEI HKA ha IlKo si Ilche E E2k sentiseleIKER Lin se setutte sesecomponentienmo liseri seeconvergono lasciabrutta perderedimostrazionedel Bf IR SiDIB E diC dicecheaccumulazionesia 20 perte teeIS Illa Ilflat 1 flatSia te Bs Eo teo sese eaa Eagle EBELLIIftse limitescalareo diverteg gÈ limitivalido Algebra composizione permanenzasegnoA lLER IstessoIR offeBaleLimin settoocome se segoggleEye ifeIN PIÙ VARIABILI.

Funzioni in più variabili

FUNZIONIdel CIRf B ERERX L'E fine scadeseMmCI X ERMfin set 1 e vettorialema funzionedominio q umaa umaneu uE è di False FmIlevettoreunz seay funzioniB IR IREincapectoriale pomatevettoreposizionesi visualizzacome Effes.l.m allealtitudineIlse.gl coordinate se yy p40 a iittteiii dallasolodipendequeiNB AZ magadgamma2esempio Iiiam iperbolidilivellocurve.

Compattezza 8OH2021

Teorema Bolzanodi Weierstrass SCB IRhalimitato di inaccumulazionee almenounpuntoinfinitodel IChi èI in sotto chesuccessionemase ammetteper successionecompatto successioni ogniIntimite Iinconvergeteorema IBlimitata di sottosuccessioneammette maOgni successione convergentelimitato inNB pallacontenuto unaa Boradi teneTeorema E RUn K limitatoèèdi ad muso esuccessionisottoinsieme percompattodef REN IVEEIRdi RoLa ENè 0ser sedit.c tksuccessione CauchyCauchyFrosi tace Il EMIsenproprietà seiInR sehIoè 7di ledi serEdser unasucc suesonoCauchy componentilacome perdimostrazione convergenzaIBTeorema di diconvergenza ti Ble limitetutte indi in asuccessioni un qualcheCauchy convergonoNB vale anche inversal'implicazione IlBE II HAHr seh serseE D ZE.

Continuità in variabili più

Guzperdef sceltCR L RmRm iI ècontinuaa sema sefunzioneIsso tete flat Beynono HsetBscse e IlIltaIsso Ise sedisteso flatta ta si ha efiscooppure EIIseo elimainIèsifà dicecontinua chefse 1proposizione MRm lof le fateliICR Ifè ad alsue msonocontinua fmcomponentiaproposizione DAMIlf CIR diEI Allora inIche seLeiaccumulazionesiaanche continuaperzE line I Ilsese sx1esempio okf Xchi èflat 1da continuaa definitatutti i isolati continuapunti3proposizione IBM Bin èCIR diXf è dilacontinua dicontrose unapertoogniapertoimmagineV1 CVEI fteINB se secontroirmm2esempio piFIBflat xE xfè èdiscontinua chiusoenonnonperché aperto_maVI 011314 8f IRI4031BeIR f B EB QL 0f B B n2 DDprendo R.IRBI Ri B BDI8 Z POV By oPrendo 4proposizionef Rm IBMlaCIR Idise chiusoè continua è didicontro unchiusoa ogniimmaginedirive 2es5proposizioneLa di è continuacontinuefunzioni unacomposizione finzioneteoremadei ilneriRf RCIR IRI IIct f èintervallo dicontinua intervalloe un setteayen 84 1di WeierstrassTeorema TisaneCINX Il If f minimocontinua massimo e uammettecompartoI teXI EE minL'Iseo FGseo se imseek Mflail fameseREXdelX Bn Rm Issof Il2 sf teè glie EsosecanefanteIlflatIl EflyIne CantdiTeorema RMCA If ff è incontinuaea continuacon compatto uniformementevederedimostrazione pag3esempio PiiIlseyl 03aidefinita etàseggIn.lt Ose oo ad Oy0304403se fIla ed1 Oartyy seyformaRivide Quadratica0ti gtogg II II soluzioni complesseg.at ea 1zline Yj jIEcnn.com Limsul noncosei definitoPfiffer plugpaltro esempio ftp.suyline 01Ef I Y.pcoscon omy PIÙ VARIABILIINFUNZIONIDI.

Derivate OH11 2021

DefIace parli e direzionaliI IRI R BC dif7EA E fa deldirezione pt dominiosee ele di inf diwine no eungoIno terDef Etta confingoIg maga aaaaIlIltesti 1valcuni chiedono versareOss iiinotte terflattr dièRea Opoena maguzionete Igea Itallora flattr indiventa zzse un graficodef IRbaselala della canonicaln divettoriprendiamo Il I filledMe Iseoparli Dejgf Ettestfledghe timeCattelltiAltri simboli Dx LLfAxesempiof II 2sea sebercosyLecosy cosycosysesingzylsicosyl.se diggy Eet Edyen af egfalse sey seyIggyseg seeresess segretosegdel ahXf CIR ètiE inlederivabile tuttein derivatese sono se parzialipossiedeèbile XXSi iin dituttidice insederivabile pentidelGrete f ledi delin il haè derivateunpuntoreo chevettoredominio componentiperfdi in seoparziali PfDIsimboli IL gradyosservazione XSe f R ilX'Cè è Vettorialederivabile seCAMPOin unGradienteIRfattiNori a di coordinatemt sistemamaseprendo possoprendereMai vettori seraper trete Mi correttori maperesempio lay èfishy te 10,01inderivabileine Iggy in 10,0of ose0 seta e Oseper0f o Otoy y yper e lodoIlLÈIL 0È e ggèf continuanonproblemaII 1ILta teudeaatBKEEI.IE èjI continuanonmaBdI limtalIl ato