Appunti sui numeri complessi con definizioni, osservazioni, teoremi ed esercizi del professore

Numeri complessi

Def. idea: numero unità immaginaria i i² = -1.

Def. numero complesso è la somma di un numero reale e di un multiplo a coefficienti reali dell'unità immaginaria i.

Forma algebrica di un numero complesso

z = x+yi, x,y ∈ R.

x = Re z parte reale di z ∈ C.

y = Im z parte immaginaria di z ∈ C.

Es. z = 4+5i: Re z = 4 Im z = 5.

Numeri complessi

Idea: numero unità immaginaria i i².

Numero complesso è la somma di un numero reale e di un multiplo a coefficienti reali dell'unità immaginaria i.

Forma algebrica di un numero complesso

z = x + iy, x,y ∈ ℝ.

x = Re z parte reale di z.

y = Im z parte immaginaria di z ∈ ℝ.

Es. z = 4 + 5i: Re z = 4, Im z = 5.

Somma di numeri complessi

z₁ = x₁ + y₁i    z₂ = 3 + 4i.

z₁ + z₂ = 4 + 2i.

z₁ = x₁ + y₁i   z₂ = x₂ + y₂i.

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i.

La parte reale della somma è la somma delle parti reali.

La parte immaginaria della somma è la somma delle parti immaginarie.

Oss. valgono le proprietà commutativa e associativa della somma.

z₁ + z₂ = z₂ + z₁.

z₁ + (z₂ + z₃) = (z₁ + z₂) + z₃.

Elemento neutro della somma

0 + z = z + 0 = z + 0 = 0 + z = z    ∀z ∈ C.

Elemento opposto

∀z = x + yi ∈ C.

z + (-z) = x - x + (y - y)i = 0.

Prodotto di numeri complessi

(2 + i) × (3 + 4i) = 6 + 8i + 3i + 4i² = z₁z₁.

z₁ = x₁ + y₁i   z₂ = x₂ + y₂i.

z₁z₂ = (x₁ + y₁i) × (x₂ + y₂i) = (x₁x₂ - y₁y₂) + (x₁y₂ + x₂y₁)i.

Casi interessanti

z = x + 0i   z₂ = x₁ + 0 × i.

z₁z₂ = x₁.

z₂ = -y₁.

z₂ = y₁.

Immaginario puro quando Re = 0.

z₁ z₂ = -y₁y₁.

g_i = -4    → 2² = -4.

(-3ⁱ + Q₂)  →  -2: 2.1a = R → 2i 0 → 0 < 0.

Soluzioni in C di z: z = 0   z = ± N³.

Radice quadrata aritmetica di 2i 0.

z² = 3 0.

z = N³.

Oss. per il prodotto di numeri complessi valgono le proprietà commutativa e associativa.

z₁z₂ = z₂z₁.

z₁(z₂z₃) = (z₁z₂)z₃.

Elemento neutro

1-i0 1z=z1 z ∀z∈ℂ.

Elemento reciproco

∀z∈ℂ z≠0 ∃w ∈ ℂ: z*w=1 ↔ cc zw=1.

z=x+yi.

Es. z=3+2i ∃c.c. : w → c.c.w=3-2i ↔ cc zw=1.

(3+2i)(3+2i)=1.

Immagino si cerco soluzioni a,b,b.

9+3b + (2a+3b)i=1 → uguagliare le parti reali e le parti immaginarie.

{3b-2a=0 Re.

5a+4-=-1 Im.

{3b=2a →3b2 2a=3 b=-1.

{a=3 b=-1.

z=3+2i ∃z = z_use=3-2i in generale: z-1.

z-use = z=2k(3+4i) √8x2+y2.

Trucco per trovare il radice.

z=xi= x-yi.

z= x-i1.

x-yi=zf=x+yi z∈ℂ x+yi=0.

Chiamiamo, coniugato di z: z = x-yi: z∈ℂ.

Proprietà distributive somme prodotto.

∨z1,z ε ℂ Z((z1+2)=).

Attenzione!!! ℝ non è un campo ordinato FATTI non si innou una realezione di ordine in μ campoógico i. numeri negativi.

Piano complesso di Gauss

Ogni número, complesso Sissatu un..giuschanente ad u ulia puro (x1yi)∈ℝ2/Ox1 yi)☐ corrisonde un uomo R ℂ: X+yiici↔x+io [x,y,]∈ℝχ,ι,ș(x,yi)∈ℝℝ54 7,3iℝ.

La somma di un numero complesso è data della somma delle parti reali e delle parti complesse.

Def: modulo di un numero complesso z = x+yi → |z| = √(x²+y²) ≥ 0 (è un numero reale non negativo).

Attenzione!!!

z = x+yi.

z² = (x+yi)² = x² - y²+i2xy.

|z|² = x² + y² = (x+yi) (x-yi) = z z̅.

Proprietà di coniugato e modulo

• 1. z = x+yi = x - yi |z| = √(x² + y²).
• 2. z = x - yi → ℜ(z̅) = ℜ(z) = x; ℑ(z) = -ℑ(z) = y.
• 3. z₁ + z₂, z̅₁ + z̅₂ = z̅₁ + z̅₂.
• 4. z₁z₂, z₁z₂ = z₁z₂.
• 5. z̅̅ = z.
• 6. |z̅| = |z|.
• 7. |ℜz| ≤ |z|, |ℑz| ≤ |z|.
• 8. Triangolare |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|.

Coniugato nel piano: riflessione rispetto all'asse reale.

Esempio: risolvere in ℂ l'equazione

z² + ℑz + z̅ = 0.

Uso forma algebrica z = x + yi.

Imz = √5.

z̅ = x - yi.

z = x - yi.

z̅ = x - yi = x - √5i.

x^2 - y^2 + 2xyi + yi + 2(x - √5yi) = 0.

x^2 - y^2 + 2x + (x + yi)*(x - y) = 0.

(x - y)^2 + 2x = 0 2xy - y = 0.

• Y(x-1) = 0.
• Y=0.

• 2. y=0(x - 1) = 0.

x = 1.

y^2 - 1 = 1.

Imz = 0.

x + 2x = x - 1 = 0 ⟶ 1 ⟸ 0.

z̅ = 0.

z2 = z2z + 1 = √5u.

z = 2iei = 1.

x = 1.

y^2 + 1 = √5U.

z̅ = 5 ⟹ √5.

Forma trigonometrica

z ∈ ℂ z ≠ 0.

x + yi.

Argomento di z.

Arg = -π−0 si chiama argomento principale (l'argomento in questo intervolo).

Legame format algebrica trigonometrica.

|z| = |z| = 1_{circonferenza unitaria} .

Piano d' Arg X Ψ.

z = x + yi^{(x, y)}.

y = Sin(θ).

x = cos(θ).

z = x + iy φ = i |z| (cosθ + isinθ) . i.

z = x + iy . i |z| (cosθ + (isinθ)i) . i.

z = N 3t 1 -|z| = N 3t i = 2.

z = 2 (N 3t 1 1 ) - i = 2 ( ) π = π + 2kπσ 2 6.

cosθ senθ.

cosθ = x = x = y.

φ φ φ.

z = φ (cosθ + i senθ).

φ |z| = i Arg z.

i ed cosθ + i senθ.

ede (formula).

z = e iθ |z| θ = Arg z.

e iθ cosθ e iθ e iθ e iθ.

cosθ = 2 + 2 senθ = ee + -ie iθ = e = - e222e - iθ e - θ) + i sen ( θ ) = cos²θ i sen θ).

Prodotto di numeri complessi in forma trigonometrica

Formula di de moivre.

z₁ = cosθ₁ + i senθ₁ |z₁ | = |z₂ | =.

z₂ = cosθ₂ i senθ₂.

z₁z₂ = cosθ₁cosθ₂ senθ₁senθ₂i (cosθ1 senθ₂ + cosθ ₂senθ₁ ) = cos(θ₁ θ₁)i sen (θ ₁.

z₁,z₂|z₂ | = 1.

Moltiplicare per un numero complesso al modulo unitario vuol dire fare una rotazione in senso antiorario dell suo argomento (o meno) di una rotazione ai 2πi i, 1i = cos π + i sen π2.

Moltiplicazione per i = rotazione antiorario.

Osso generale

z₁ = φ₁ (cosθ₁ + i senθ₁).

z₂ = φ₂ (cosθ₂ + i senθ₂).

z₁z₂ = (φ₁ φ₂(cos (θ₁ θ₂) + i sen (θ₁ θ) i).

Prodotto in forma trigonometrica:

prodotto dei moduli = moltiplicazione.

somma argomenti (angoli) = rotazione.

Es.1 φ₁ = ρ₁eiθ₁, φ₂ = ρ₂eiθ₂ φ₁⋅φ₂ = (ρ₁⋅ρ₂) ei(θ₁+θ₂).

Oss.:

1φⁿ = (ρⁿ(cos(nθ)+i⋅sen(nθ)) = ρeiθ.

Esempio: scrivere in forma trigonometrica e algebrica i(tl¹)

• I⋅tl = N i tl = N₂i⋅tl = N√ i tl = N N√ = N ( √₂ i / √₂ i = cosθ senθ.

φ = N² ₃ = 3 √₂ i + i⋅sen 2π = 1 3 √₃.

C = N² (cos ₄ α + ₂ bπ) i = Ω² (θ₁ - a) + D8 - S8.

U= (√₂)/(√) ²)^ine (x) U. N ^{(√₂)/(N√) 〉2 (√₂ √₁)}.

Φ⁰N⁰, N⁽⁺¹⁾ N.

Esempio 2

Risolvi in z: |Z| = O con forma algebrica difficile, passo con forma trigonometrica.

φ = ρ(cosθ + i⋅senθ) = p eiθ.

ζ = | cosα + 1.

Φ_|1 = i (cos ( ω )+ mn) > ph₁ =~φ_| (cos_θ₀√ll _N(Q)s = 3/√q =θ₀ = ₃ = φ_i–(cos₀+Ω, 3^πQθ= |1,) =(θ,θ₀)φθ_Ni e . x(k) KQ⁰N = (I Q|ρ = 0,1.

ζ₀,ζ, ψ, N∠Ω,θ₃ = z₀ (θ+_N).

• Z (cosθsub>0 ¹ = 1z2θsub>3.

=cos cos θθ = _{( 2} = π=±θ,0Q1=π/3 =1obtNΩ^3/3πθ, ¬)( θ₁θ=2=πφQ²?

Oss. zⁿ ≠ 1 ≠ 0 ha n soluzioni in C.

Problema delle radici n-esime

Dato w C trovare tutte le soluzioni in C dell’equazione zⁿ = W.

• Caso facile w = 0 z = 0 unica situazione.
• Caso interessante w ≠ 0.

w = r (cos θ + i sen β) r ∈ _id.

wⁿ = rⁿ (cos (nβ) + i sen (nβ)) = r (cos θ + i sen θ).

θ = φ + 2kπ K ∈ Z.

φ₁ = θ ^interessanti.

Teorema.

N = r(cos θ + i sen θ).

Ogni numero complesso e assolutamente r ∈ N.

Esempio 1: trovare le radici quadrate di W = i

n = 2 ∣w∣ = 1 α = π/2.

Risolvere z² - i.

Trovare z₀ = pe^iφ₀ z₁ = pe^iφ₁.

φ₁ = φ₀ + 2kπ/n k ∈ Z.

θ₀ = Π/4 Θ = nπ.

Esempio 2: z³ = i

φ₂ = φ₀ + 2kπ/n k = 0,1,2 theta;Θ₀ = -π/6 π/3.

Θ₂ = π/6 + 4π/3 = 25.3 z³ = 1 trovare le radici sette.

w = |z| = 0-0.

z₀ = 1.

log |z| = 0.

a_w = a_z e z = reⁱ⁰.

w|e^i2kπ.

arg = 0 + 2kπ{0, 1} {2kπ}.

z¹ = 10, 1.

a = 6π e^i2kπ.

k ∊ Z.

θk = kπ = 0,1,2,3,4,5.

θ₀ = 0 θ₁ = π/6.

θ₂ = π/3.

θ₃ = π/2.

θ₄ = π.

θ₅ = 5π/3.

Le soluzioni in |C| di z⁶ = 1 sono 6 e formano un esagono regolare inscritto nella circonferenza unitaria e con un vertice in 1.

Radici n-esime dell'unità

zⁿ = 1 n∊N\{0}.

z^e = 1.

wⁿ = eⁱ⁰.

z_k =θ_k = eⁱ⁰{0, 1}.

k = 0,1,2,...,n-1.

zⁿ = 1.

z₀ = 1 z₁ = 45.

z₂ = ππ z_n = e^i2kπ.

Le soluzioni in C di zⁿ - 1 sono n e formano un n-gono regolare inscritto nella circonferenza unitaria e con un vertice in 1.

Per comodità ci chiamiamo w_k k=0,1,2,...,n le soluzioni di zⁿ = 1.

Altra espressione per risolvere w = r^e.

zⁿ = 1 radice principale di w.

Trovare tutte le radici n-esime di w.

z_w = 0.

w_k k=0,1,2,...,n-1 dove ω sono le radici n-esime dell'unità.

z_k = k e^ik = k = 0,1,...,n-1.

{0, 1} {argπ(i + 2kπ)cos (i + 2kπ{i π + sen (i ar π . 2kπ)}.

Esempio: z² + 2z + 1 = 0 in |C|

t = 2t + 1 = 0.

(t+1) → (z² + 1)0 = 1.

z² = 1 so z² = 1 = 1.

z₀ = 1 e z₁ = -1.

Teorema fondamentale dell'algebra

12.10.22.

Polinomio p(º) grado m∈N\{0} a coefficienti complessi.

p(z) = a₀ ± a₁z + a₂z² ± a＾n²dₙzₙ dₙ₋₁zⁿ⁻¹ dₙ₋₂...aₙ ∊ C, aₙ ≠ 0.

∑_k=o- z₀ ∊ C | è una radice di P se P(z₀) = 0.

Polinomio di grado hn(P) con q(z) polinomio di.

Teorema ogni polinomio di grado n>=1 con coefficienti complessi ammette esattamente n radici in complesso, contate con la loro molteplicità.

p(z)=0 hn soluzioni in C.

In particolare p(z) si può fattorizzare come p(z)=a(z-z₁)...(z-zn) dove z₁, ..., zn sono le radici di p.

• Trovare le radici 3x³-4x=0.

z=0 3x²-4=0 3x²=4 x²=4/3=0.

w=64 IwI=64 arg w=(e^in-1= e^in +1=0).

w=q²e^i vp⁵=64 w=Re^i3 2kπ =k=0,1,3.

e=π/6 π/3 θ3=π.

Esempi

Es. 3 3+(4-i)z=0.

7/2 (-4+1)=4 -12=34.

z=-12/17 z₁α=z-1 con molteplicità 2.

• Z+(z+1).

Es. 4 2z³+z²=0.

• Z(z+z²+1)=0.

(z²+1)=(z²+1)=0.

z²=0 z²+i=0.

• Oss se p(z) ha coefficienti reali (a₀,a₁,...,aδεR) allora se z₀ είναι ρίζα di p lo è anche zk.

Es 5 (z(z+(z+i)²z₁,₂=- 4t±√(4+1)+ 4t±√64-64+36-38.

• 4t+1=1- c.

2) 4t+1= -4/2.

Es. 6 (1+ i)z³ = i.

Attenzione!!! Non vale teorema fondamentale dell'algebra quando c'è Imz, Rez ... perché non c'è polinomio (non è equazione algebrica).

z = φ (cosθ + i senθ).

iz = φ (i cosθ + i senθ) = φ (cos( θ + π/2) + i sen(θ - π/2)).

iz = φ e^{i(θ + π/2)} = i e^{i π/2} φ e^{i(θ + π/2)} = i e^{i π/2}.

φ e^{i (3π/2) = eiθ}.

φ² φ = 0 ⇒ φ = 0.

φ² φ⁰ = 1 = e^i2kπ.

φ¹ φ⁸ = e^i2kπ k = 0,1,2.

θ_k = π kπ.

s = 0,1,2.

Studia soluzioni.

2k = 1/3.

θ = π, (π+ k) = π + π + k0 i = ø.

Es. 8 (2+ i)z - (1 + i)z -1 = 0.

Z_m+1 = è il sbagliato (1 - 1) (N+1)(n}=e^{iπ N/2 m5 m m}.

È il numeratore.

k = è il numeratore 20 = x+φ, θ = (k π)/4.

Ohi sono le N,Z₁ = e^{iπ z = φ e iπ/4}.

Z_1+1/2 = e^{i π} 4/2.

Z_{o φ} = φ e^{i π/4}.

x φ e x φ.