Appunti Analisi matematica 1

Analisi matematiche 1

Insieme

Si definisce insieme {A, B, C... X, Y...} una qualsiasi raccolta di elementi {a, b, c,...}

Come si definisce 1 insieme?

• Elencare gli elementi

Esempio: A={1, 2, 4, 5} = {5, 4, 2, 1}

• Descrivere la proprietà degli elementi

P(X) = Predicati / proposizioni

A = {X: P(x)} x è con insieme di x

Esempio: A={m è IN: m pari} = {2, 4, 6 ... 2K...}

Simboli logici

• ∀ = Quantificatore universale ("per ogni")
• ∃ = Esistenziale ("esiste", "esiste almeno")
• ∃! ("esiste uno e solo")
• P ⇒ Q: Implicazione logica ("P implica", "se P allora Q")
• ⇔: ("se e solo se") Q condizione necessaria per P, P condizione necessaria per Q

Relazioni tra insiemi

2 insiemi si dicono uguali se hanno gli stessi elementi

1 insieme si dice vuoto ovvero privo di elementi

A = B relazione di uguaglianza - A e B hanno gli stessi elementi

A ≠ B non uguagliato

A ⊆ B relazione di inclusione: x è A ⇒ x è B

Sottoinsiemi

(A = B) ⇔ (A ⊆ B e B ⊆ A)

A ⊂ B ("inclusione propria") A sottoinsieme di B

A ⊆ B A si dice sottoinsieme di B se x è A ⇒ x è B

• A ⊆ B
• A ≠ B

(∅ ⊆ A ⊆ B). Importa

Insieme

Si definisce insieme (A, B, C, X, Y...) una raccolta di elementi (a, b, c,...)

Come si definisce un insieme?

• Elencare gli elementi

Esempio: A = {1, 2, 4, 5} = {5, 4, 2, 1}

• Descrivere la proprietà degli elementi

P(X) = Predicati/Proposizioni

A = {X : P(X)}

X è con insieme di X

Esempio: A = {m ∈ IN: m pari} = {2, 4, 6... 2k...}

Simboli logici

∀ = Quantificatore universale ("per ogni")

∃ = Esistenziale ("esiste", "esiste almeno")

∃! ("esiste uno unico")

P ⇒ Q: Implicazione logica ("Marco, se fa, allora Q")

⇔: ("se e solo se") Q condizione necessaria per P, P condizione necessaria per Q

Relazioni tra insiemi

2 insiemi si dicono uguali se hanno gli stessi elementi

∅ insieme si dice vuoto ovvero privo di elementi

A = B relazione di uguaglianza: A e B hanno gli stessi elementi

A ≠ B non uguagliato

A ⊂ B relazione di inclusione: x ∈ A ⇒ x ∈ B

Osservazione

(A = B) ⇔ (A ⊂ B e B ⊂ A)

A ⊂ B ("inclusione propria") A sottoinsieme di B

• A ⊂ B A si dice sottoinsieme di B se ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B
• A ≠ B
• (φ ⊆ A ⊂ B)

Operazioni tra insiemi

• Unione: A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Intersezione: A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
• Differenza: B \ A = {x : x ∈ B ∧ x ∉ A}

Diagrammi di Venn: definisce le operazioni.

Disunione: A e B sono disgiunti se l'intersezione è il vuoto A ∩ B = ∅

Legge di De Morgan

Se vado a considerare il complementare dell'unione

• C( A ∪ B ) = ( C(A) ) ∩ ( C(B) )
• C( A ∩ B ) = ( C(A) ) ∪ ( C(B) )

Verifica

• C( A ∪ B )
• ( C(A) ) ∩ ( C(B) )

Prodotto cartesiano

A, B insiemi

A x B prodotto cartesiano degli insiemi { (a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B }

Ax1 x Ax2 x ... x Axm = { (a1, a2, ... am) : ai ∈ Ai }

Osservazione

• A x A = A²
• A x B ≠ B x A (conta l'ordine nella scrittura di 1 coppia)

Insiemi numerici

I_N= {0; 1; 2; 3; ...m...} = Numeri naturali

Z = {0; ± 1; ± 2; ... ± m} = Numeri reali

Q = {^p/_q; p,q ∈ Z e q ≠ 0} = Numeri razionali

Frazione dove p e q primi tra loro

Esempio: ⁶/₃ = ¹⁸/₉ = ²/₁

Per insieme numerico qualsiasi associa

Operazione: ∀ x,y ∈ X → z ∈ X

I_N ⊆ Z ⊆ Q

Addizione → (x,y) ∈ Q ↦ z = x + y ∈ Q

Moltiplicazione → (x,y) ∈ Q ↦ z = x ⋅ y ∈ Q

^P₁/_q1 ⋅ ^P₂/_q2 ∈ Q

^P₁/_q2 = ^{P₁q₂ + P₂q₁}/_q1q2 ∈ Q

^P₁