Chimica Analitica II e Chemiometria
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Normalmente alla stima dei parametri è associato un t-test, con il quale si verifica che il valore stimato non sia
significativamente diverso da un valore di riferimento “β”.
b
1
t s
b
1
Il test è a due code, con “n-2” gradi di libertà e le seguenti ipotesi:
H : b =β
0 1
H : b β
1 1≠
Per quanto riguarda b si ricava che:
0
2
s x
res i
2
s
b 0 2
n x x
i
2
s x
res i
s
b 0 2
n x x
i
L’errore associato all’intercetta permette di valutare la sua significatività mediante il seguente test.
Test di significatività dell’intercetta
Si esegue un t-test dove si divide l’intercetta per l’errore ad essa associato.
H : b =0
0 0
≠0
H : b
1 0 b
0
t s
b 0
t <t b =0
calc tab(α,n-2) 0
In tal caso l’intercetta non sarà significativamente diversa da zero per cui:
y b x
1
Esempio-calcolo intervallo di confidenza:
Regressione lineare:
Calcolo valori utili alla determinazione degli intervalli di confidenza:
Intervallo di confidenza intercetta:
Con il 95% di confidenza si può dire che l’intercetta cade nell’intervallo [-0.0141;-0.0045].
Intervallo di confidenza pendenza:
Con il 95% di confidenza si può dire che la pendenza vera cade nell0intervallo [0.002352;0.002498].
42
Poiché b e b sono correlata, dal singolo intervallo di
1 0
confidenza non si può dire se le ipotesi nulle β =0 e β =1 sono
0 1
soddisfatte simultaneamente. Se si vuole verificare questa
ipotesi occorre utilizzare una regione di confidenza camune per
pendenza e intercetta, essa avrà la forma di un’ellisse con
centro in b e b .
0 1 43
Errore sistematico costante e sistematico proporzionale
In una situazione ideale la pendenza dovrebbe essere 1 e l’intercetta 0.
Questo di solito non accade e pendenza ed intercetta differiscono da 1 e 0.
Una pendenza diversa da 1 indica la presenza di un errore sistematico proporzionale, ovvero l’errore varia in
proporzione alla concentrazione.
Una intercetta diversa da 0 indica la presenza di un errore sistematico costante, si una la stessa variazione sulla
risposta per ogni singola misurazione.
a) Caso ideale
b) Errore sistematico costante
c) Errore sistematico proporzionale
d) Errore sistematico costante e proporzionale
La sensibilità di un metodo indica quanto esso sia sensibile alle variazioni di concentrazione di un analita. La sensibilità
più essere individuata in base alla pendenza della retta, più essa è bassa minore sarà la sensibilità della tecnica.
Intervallo di confidenza della retta
Si suppone di osservare la retta per un generico punto:
x x
0
Di conseguenza l’equazione risulta essere:
ŷ b b x
0 0 1 0
Ma dato che:
b y b x
0 1
Si può sostituire nel modello calcolato, ottenendo la seguente relazione:
ŷ y b x x
0 1 0
In questo modo si può calcolare la deviazione standard di y :
0
2
x x
1
0
s s
ˆ
y e 2
n
0 x x
i
“n”: numero totale di punti usati per la regressione.
Per un intervallo di confidenza del 95% si ottiene il seguente intervallo di confidenza:
2
x x
1
ˆ 0
y t s
0 (0.025; n 2) e 2
n x x
i
Questa espressione non dovrebbe essere usata per ogni punto sulla retta, al fine del calcolo dei limiti di confidenza.
t
2 F
Per fare ciò basta sostituire l’espressione al posto di .
(0.025; n 2)
0.05; n 2
Nel caso in cui vengano effettuate “q” misurazione replicate di “y ” per un dato livello “x ” allora l’equazione
i 0
dell’intervallo di confidenza si trasforma in:
2
x x
1 1
ˆ 0
y t s
0 (0.025; n 2) e 2
q n x x
i
44
Riportando graficamente l’intervallo di confidenza calcolato si osserva che è più stretto verso il centro della retta
mentre tende ad allargarsi verso gli estremi.
Nel momento in cui si analizzano campioni incogniti, tanto più essi cadono in prossimità del centro della retta, minore
sarà l’errore che si andrà a commettere, questo perché verso il centro l’intervallo di confidenza tende a diminuire.
x x
Il termine a numeratore va a zero per e aumenta tanto più “x ” si allontana dal centroide.
0
0
Ciò significa che le previsioni migliori sono fatte nel centro della retta di regressione.
E’ essenziale evitare estrapolazione al di fuori della retta, occorre sempre diluire il campione in modo tale da farlo
rientrare nel range.
Nella previsione inversa dall’equazione della retta si risale ad x, ovvero alla concentrazione incognita.
Errore sulla stima della concentrazione:
2
y y
s 1 1
0
e
s
ˆ
x 2
2
b m n
s b x x
1 1
“m”: numero di analisi replicate.
CONFRONTO DELLE PENDENZE DI DUE RETTE
METODO DELLE AGGIUNTE
Questa tecnica prevede la determinazione della concentrazione incognita quando non è a disposizione la matrice
bianca. Si eseguono aggiunte di analita sempre crescenti in modo tale da poter costruire una retta, fatto ciò si esegue
una estrapolazione sull’asse delle x.
Quando si adotta questo metodo è essenziale costruire una retta di calibrazione per ogni campione questo perché le
matrici possono differire tra loro. Data la grande laboriosità spesso si cerca di confrontare la retta delle aggiunte con
quella delle soluzioni standard, in modo tale da riuscire a lavorare solo su quest’ultima.
Il confronto della pendenza di due rette b e b si realizza mediante un t-test.
11 12
Se le varianze residue non sono significativamente diverse (il confronto si fa con un test F) si può calcolare la varianza
pooled e successivamente il t-test il quale andrà poi confrontato con il calore tabulato per n +n -4 gradi di libertà.
1 2
H : b =b
0 1 2
Omoschedasticità:
Eteroschedasticità: 45
“n ” e “n ” sono il numero totale di punti per ciascuna regressione.
1 2
Il valore di “t” calcolato deve essere confrontato con il seguente:
2 2
t s t s
1 b 2 b
t ' 11 12
2 2
s s
b b
11 12
“t ” e “t ” sono estratti dalla tabelle del t di student per n -2 e n -2 gradi di libertà.
1 2 1 2
Le calibrazioni a confronto possono avere diversi livelli.
Esempio:
Il test F per il confronto delle varianze indica che non sono significativamente diverse.
Si calcola la varianza pooled e il valore di t:
Siccome t =2.26 le varianze sono significativamente diverse.
calc(0.05,9)
Passaggio per un punto
In alcune situazioni la retta deve passare pe un punto (x ,y ).
0 0
y b b x
0 0 1 0
Di conseguenza la retta:
ŷ b b x
0 1
Può essere scritta come:
ŷ y b x x
0 1 0
La minimizzazione dei residui rispetto a b porta a:
1
2e
La varianza residua s è ottenuta da:
In questo caso si divide per “n-1” poiché si stima un solo parametro.
Se x =0 e y =0 significa che la retta passa per l’origine e le equazioni si semplificano in:
0 0
ŷ b x
1
46
E quindi l’errore sulla pendenza diviene:
La deviazione standard di un punto stimato sulla retta ad un valore x :
0
s x
e 0
s
ˆ
y
0 2
x
i
La deviazione standard di una nuova risposta media predetta ad un valore x :
0
s
e
s ˆ
y
0 2
x
1 0
2
m x
i
Questo modello va calcolato solo se c’è una buona ragione a priori.
CORRELAZIONE
Indica quanto due qualsiasi variabili sono associate tra loro, ad esempio di quanto una varia al variare dell’altra.
A differenza della regressione una variabile non è espressa in funzione dell’altra, per cui non si sono variabili
indipendenti e dipendenti.
Ad esempio nel caso della determinazione di alcuni elementi nel cervello umano:
Rappresentando questi dati graficamente:
a) Alte concentrazione di Cu sono correlate ad elevate concentrazioni di Zn. Di conseguenza la conoscenza del
Rame o dello Zinco fornisce a priori informazioni sull’altro. Le variabili sono correlate positivamente (i dati
fittano una retta).
b) Una minore associazione è presenza fra Zn e Mg. La conoscenza di questi elementi non dà a priori
informazioni sull’altro.
La forza della relazione lineare tra due variabili è data dalla covarianza e dal coefficiente di correlazione.
Coefficiente di correlazione
Si considerino due set di misure:
y ,y , …, y
11 12 1n
y ,y , …, y
21 22 2n
y y
Con media e
1 2
La covarianza delle variabili y e y è data da:
1 2 47
1
cov y , y y y y y
1 2 1
i 1 2 i 2
n 1 i
Essa è una misura del grado di variazione di due variabili, può assumere valori che vanno da -∞ a +∞. Avrà valori
negativi se sono associate negativamente, cioè se alti valori di y corrispondono a bassi valori di y o viceversa.
1 2
Di conseguenza quando una delle deviazioni è negativa e l’altra positiva, si ha che la somma dei loro prodotti è
negativa.
La Covarianza può essere:
• Positiva: quando “x” e “y” variano tendenzialmente nella stessa direzione, cioè al crescere della x tende a
crescere la y o al diminuire della x diminuisce anche la y.
• Negativa: quando le due variabili variano tendenzialmente in direzione opposta, cioè al crescere di una
variabile l’altra tende a diminuire (e viceversa).
• Nulla: quando non vi è alcuna tendenza nelle 2 variabili a variare in direzioni opposte o nella stessa. Quando
Cov(y ,y )=0 si diche che anche x e y sono non correlate o linearmente indipendenti.
1 2
Lo svantaggio di questa tecnica è che dipende dall’unità di misura adottata.
Coefficiente di correlazione
Un parametro indipendente dall’unità di misura è rappresentato dalla covarianza divisa per la deviazione standard di
entrambi i set di misure, definito coefficiente di correlazione di Pearson, “r”:
Varai da -1 a 1, nel caso in cui corrisponde a tali valori si ha una perfetta correlazione.
Positivo: i valori delle varabili crescono insieme
Negativo: i valori di una variabile crescono al decrescere dei valori dell’altra
Nullo: le variabili non sono correlate (questo non indica un’assenza di correlazione, ma un’assenza di relazione
lineare).
Per poter parlare di una minima correlazione sono necessari valori di |r| di almeno 0.6.
Elevati valori di “r” non indicano sempre una buona linearità.
Solitamente in questi casi, numeratore e denominatore hanno valori simili. E’ sempre bene plottare anche una curva
passante per i punti per avere un confronto. In questo caso anche se si ha una buona corrispondenza i dati seguono un
andamento logaritmico. E’ quindi necessario avvalersi degli opportuni test per verificare la linearità.
Metodo della doppia regressione
La relazione tra due variabili può essere descritta da due regressioni:
48
y b b y
Regressione di y su y :
1 2 1 0 1 2
'
y b b y
Regressione di y su y :
2 1 2 0 1 1
y , y
Entrambe passano per . Se c’è una perfetta correlazione fra le due variabili (r=1 o r=-1) le due regressioni
1 2
coincidono. In caso di assenza di correlazione (r=0) le rette sono perpendicolari.
Test di Significatività
Osservato il diagramma di dispersione dei valori di due variabili e calcolato il coefficiente di dispersione si deve
decidere se la correlazione osservata possa essere flutto del caso (spuria).
H : ρ=0 ovvero le variabili non sono correlate.
0
r n 2
t 2
1 r
e lo si confronta per n-2 gradi di libertà.
L’assunzione alla base del test di significatività è che entrambe le variabili sono casuali e distribuite normalmente.
Correlazione e Regressione
Se si divide la pendenza della retta per il coefficiente di correlazione si ottiene:
n 1
Dividendo numerato e denominatore per si ottiene la seguente espressione:
La pendenza della retta può essere riscritta moltiplicando “r” per il rapporto delle deviazioni standard:
Quindi se b o r sono uguali a 0, l’altro è zero. Se non c’è correlazione tra x e y non può esistere una regressione
1
lineare significativa. 2
Si consideri anche il quadrato del coefficiente di correlazione “r ”.
2
Nell’analisi di regressione “r ” è definito come coefficiente di determinazione ed esprime la proprizone di varianza
totale spiegata dalla regressione.
Serve per misurare quanto della variabile “y” è predetto dalla variabile “x”.
Il valore è tanto più vicini a 1 quanto più la retta passa attraverso i punti, ha uno scopo descrittivo e non inferenziale.
“r”: coefficiente di correlazione
2
“r ”: coefficiente di determinazione 49
Capitolo 6: Analisi della varianza-ANOVA
Quando le medie da confrontare sono più di due, non è corretto confrontare tutte le coppie di medie con diversi t-test,
ma si procede all’analisi della varianza (ANOVA).
Le condizioni per poter applicare l’ANOVA ad una serie di gruppi di dati sono:
1. Distribuzione normale dei dati di ciascun gruppo
2. Omoschedasticità dei gruppi, ovvero le varianze dei vari gruppi non devono essere significativamente diverse
fra loro.
La prima condizione si verifica con tanti test di Shapiro-Wilk, mentre la seconda deve essere verificata con appositi
test come Cochran, Varianza minima, Bartlett o Hartley.
ANOVA A UNA VIA
Ogni dato è classificato solo sulla base del trattamento o gruppo a cui appartiene.
H : μ =μ =…=μ i gruppi appartengono alla stessa popolazione
0 1 2 k
H : μ non sono tutte uguali oppure solo una è diversa i gruppi NON appartengono alla stessa popolazione
1 i 2
L’ipotesi H è che tutti i gruppi sono estratti da una popolazione con media “μ” e varianza “σ ”.
0
Sulla base di queste ipotesi può scomporre la devianza totale in un contributo che coinvolge la devianza TRA i gruppi e
uno che riguarda la devianza ENTRO i gruppi (varianza Residua).
Attenzione: non è corretto confrontare le medie due a due mediante t-test, poiché utilizzando la stessa media più volte
per i confronti, i test eseguiti non sarebbero indipendenti. Di conseguenza più confronti sono eseguiti, maggiore è la
probabilità che almeno una coppia di medie risulti significativamente differente. Per ovviare si deve procedere con
una correzione nota come correzione di Bonferroni, secondo cui per effettuare k-volte il test t di Student mantenendo
costante la probabilità totale α, la probabilità di ogni confronto α’ deve essere:
1
k
' 1 (1 )
Se si voglio conforntare 5 medie devono essere eseguiti 10 test (k=10), se si vuole operare con una probabilità del 95%
α’=0.005
Anziché chiedersi da subito quali medie sono differenti ci si può chiedere prima se esistono differenze significativa e
solo in caso affermativo, verificare quali sono quelle che differiscono in modo significativo.
Nel caso sia interessati solamente a verificare se le medie differiscono tra loro in modo significativo si procede
all’analisi della varianza.
2
La varianza σ che caratterizza entrambi i gruppi, può essere stimata in due modi:
• Varianza ENTRO i Gruppi n
k
i 2
SS x x
res ij j
j 1 i 1
“k”: numero di gruppi; “n ”: numero di dati per ciascun gruppo.
i SS
2 res
S
res N k
• Varianza FRA
k
2
SS n x x
FRA j j
j 1 SS
2 FRA
S
FRA k 1
Se l’ipotesi nulla è corretta le due stime della varianza non devono differire in modo significativo. Se la varianza FRA i
gruppi è significativamente maggiore rispetto a quella ENTRO significa che almeno una coppia di medie è
significativamente diversa.
Si vuole verificare se il fattore che distingue i gruppi è più forte dalla variabilità interna, per far ciò si esegue un
test-F: 2
S
FRA
F 2
S ENTRO
≥F
F Respingo H
cal tab 0
50
La somma di SS e SS dà origine alla SS :
ENTRO FRA TOT n
k
i 2
SS SS SS x x
TOT FRA ENTRO ij
j 1 i 1
La singola osservazione viene riportata con due indici “j” e “i” relativi al gruppo e alla posizione in esso.
Essa può essere descritta come:
x
ij i ij
“μ”: media vera
“α ”: effetto del gruppo=μ -μ (media gruppi-media generale)
i i
“ε ”: errore sperimentale
ij
Quindi ogni singolo dato campionario in uno specifico gruppo può essere determinato dalla media generale, effetto
del gruppo e da altri effetti non noti (e ):
ij
x x x x e
ij j ij
Uno dei prerequisiti da verificare prima di applicare il test dell’ANOVA è l’omoschedasticità perché nel calcolo della
2ENTRO
S le varianze vengono raggruppare e per far ciò è necessario che non siano significativamente differenti.
Condizioni di Omoschedasticità non soddisfatta:
In alcuni casi si può decidere di rigettare i dati che hanno varianza differente, in altri casi i dati non possono essere
rigettati e quindi occorre ricondursi in condizioni di omoschedasticità: questo può essere fatto mediante una
trasformazione delle variabili o mediante l’utilizzo dei pesi.
Esempio:
Grande media:
Medie e varianze dei gruppi:
Si calcolano le varianze dividendo per i rispettivi gradi di libertà.
Se è vera l’ipotesi nulla i dati dai vari gruppi sono estratti casualmente dalla stessa popolazione.
2FRA 2ENTRO 2
Poiché S e S sono due stime indipendenti della stessa varianza vera σ dovrebbero avere lo stesso valore.
È necessario eseguire un confronto fra varianze, mediante un Test F di Fisher.
2
S
FRA
F 2
S ENTRO
2FRA 2ENTRO
Se S è significativamente maggiore di S , il rapporto sarà significativamente maggiore di 1, di coseguenza
esisterà una differenza significativa fra le medie. Per cui in tal caso F >F , test a una coda.
calc (α,ν1,ν2) 51
Nell’esempio si ha che:
F =8.23
calc
F =5.78
(0.01,2,21)
F >F le varianze sono significativamente diverse.
calc tab
L’ANOVA dice che ci sono differenze significative tra le medie, man non indica quali sono le medie che differiscono
tra loro.
TEST SULLE MEDIE
Test di Bonferroni
Una volta stabilità la significativa differenza fra i gruppi si procede con l’analisi delle medie, per vedere quali
differiscono significativamente.
Il test di Bonferroni viene fatto appositamente sulle medie in fase successiva al test della varianza, per capire quale di
esse differisce in modo significativo. Si parla di testi di confronti multipli perché si applicano molteplici test a coppie di
gruppi.
x x
i j
t B 1 1
s
res n n
i j
La “B” a pedice sta ad indicare che si sta eseguendo il test di Bonferroni, “n ” e “n ” sono rispettivamente le numerosità
i j
dei gruppi, esse possono quindi anche differire.
k k 1
n
Numero di confronti: 2
df N k
t >t allora la media “i” differisce significativamente dalla media “j”.
B B tab
Test di Sheffè
Il test di Sheffè è un test “post hoc” (come Bonferroni), cioè un test per individuare le medie fra loro diverse dopo una
positività dell’ANOVA, senza che fossero stati prima stabiliti i confronti da affettuare.
Dato un numero k di medie (gruppi), si potranno effettuare “C” confronti:
Si calcolano le medie dei dati di ognuno dei “k” gruppi, che chiameremo T .
i
Calcoliamo poi le differenze tra tutte (C) le possibili coppie di T .
i
Si ricava dalla tabella il valore critico F per ν e per ν gradi di libertà e per il livello di significatività richiesto (α).
1 2
Sia il valore trovato di F, F .
(α,ν1,ν2)
52
La media dell’i-esimo gruppo può essere ritenuta diversa da quella del j-esimo se si verifica che:
Come il test di Bonferroni il test di Sheffè deve essere effettuato solo in caso di positività (p<α) dell’anova.
Esempio:
Supponiamo di disporre dei risultai ottenuti da 4 analisi su uno stesso campione (o standard) ma effettuate da
operatori differenti:
I dati possono essere rappresentati graficamente mediante dataplot o boxplot:
Si voglia verificare, con α=0.05, l’ipotesi che i 4 operatori lavorano in modo non significativamente diverso:
H : μ = μ = μ = μ
0 1 2 3 4
Si deve procedere a verificare la normalità delle 4 distribuzioni, ma supponiamo che il metodo sia consolidato e che
tale condizione sia verificata.
Si deve ora procedere a verificare la condizione di omoschedasticità, poiché i 4 gruppi hanno ampiezze differenti si
possono usare solo i test di Hartley e di Bartlett.
Hartley:
Bartlett:
Anche il test Bartlett concorda con sulla omoschedasticità, ora si può procedere con l’ANOVA 53
Calcoliamo ora le varianze:
Ora si può determinare la significatività di eventuali differenze:
Supponiamo di non aver avuto idea di dove fossero le eventuali differenze, e quindi effettuiamo il test di Sheffè.
Le medie contrassegnate sono quelle che sono diverse.
54
ANOVA A DUE VIE
L’ANOVA a una via assume che tutta la variabilità presente nei vari gruppi a confronto sia determinata dai diversi livelli
o dalle diverse modalità dell’unico fattore sotto osservazione.
In una sperimentazione potrebbe essere necessario valutare l’effetto di due fattori. I dati saranno quindi soggetti ad
una doppia classificazione:
Il numero di livelli a cui studio i due fattori deve essere indipendente.
La doppia classificazione può avere una duplice finalità:
• Analizzare separatamente i contributi dei due fattori
• Eliminare l’effetto del secondo fattore sulla varianza d’errore, quando l’interesse fosse solo per il primo ed il
secondo fosse considerato come un elemento di perturbazione. In questo caso il metodo permette di ridurre
la varianza di errore e quindi aumentare la probabilità di differenze significative tra le medie del fattore
ritenuto più importante.
Generalmente le diverse modalità del primo fattore sono chiamate trattamenti mentre quelle del secondo fattore
sono dette blocchi. Solitamente i trattamenti sono riportati in colonna ed i blocchi in riga.
Ovviamente e i trattamenti sono “n” i blocchi devono avere almeno “n” individui, ma non è necessario che abbiano la
stessa numerosità.
Considerando il caso in cui non si abbiano replicati, cioè ogni cella contiene 1 solo dato.
La grande media sarà: x
l k
hj
x lk
h 1 j 1 x , x , x ,..., x
In presenza di “L” livelli del fattore A, la media di ciascun livello ( )è data da:
1 2 3 l
x
k
hj
x
h k
j 1
Analogamente se ci sono “k” livelli del fattore B, la media di ciascun livello è:
x
l
hj
x j l
h 1
Ogni singolo dato sperimentale risente della grande media, del fattore A, del fattore B, e degli altri effetti legati alla
varianza residua.
x
hj h j hj
“μ”: media vera
“α ”: effetto dell h-esimo livello del blocco=μ -μ (media dell’h° blocco-media generale)
h h
“β ”: effetto dell j-esimo livello del trattamento=μ -μ (media dell’j° gruppo-media generale)
j j
“ε ”: errore residuo nella cella “hj” (include eventuali altri fattori non considerati e l’interazione tra i due fattori che,
ij
senza repliche, non può essere stimata).
Ogni singolo dato campionario di uno specifico gruppo può essere determinato da:
• Media generale (grande media)
• Effetto fattore A
• Effetto fattore B
• Altri fattori, inclusa l’interazione tra A e B
x x x x x x
hj h j hj 55
L’ANOVA a due vie con una sola osservazione per casella permette di verificare simultaneamente ed in modo
indipendente la significatività delle differenze tra le medie dei trattamenti e dei blocchi.
In questo caso si hanno due ipotesi, una per ogni fattore:
Tabella ANOVA a due vie:
Devianza Totale (SS ): è ottenuta analogamente a quanto descritto per l’ANOVA a 1 via, e può essere scomposta nei
tot
contributi dei due fattori e dei residui:
La devianza totale può essere calcolata attraverso la deviazione di ogni valore dalla grande media.
Fattore A (SS - MS ): la varianza è data dalla somma dei quadrati delle differenze di ogni media dalla grande media,
A A
moltiplicato per la numerosità dell’altro fattore.
Fattore B (SS - MS ):
B B
Residui (SS - MS ): la devianza è ottenuta per differenza tra quella totale e quella dei fattori A e B.
R R
Ottenute le varianze si procede all’esecuzione del test F confrontando la varianza tra trattamenti e tra blocchi con la
varianza residua.
Significatività differenze tra le medie dei trattamenti: il test F viene fatto mettendo a rapporto la varianza del fattore
che si sta valutando e quella dei residui.
Significatività differenze tra le medie dei blocchi:
≥F
Se F respingo H
calc tab 0
56
Esempio-1:
Valutare se esiste una differenza significativa nei valori di un inquinante nell’aria in 5 zone della città in 4 fasce orarie.
Si formulano due ipotesi nulle:
• Trattamenti (zone città),
• Blocchi (Fasce orarie),
Si calcolano le medie per trattamenti, blocchi e quella totale:
Si calcolano le Devianze:
La devianze dei residui è calcolata per differenza.
Si calcolano le varianze:
Significatività della differenza tra zone della città:
Significatività differenza tra fasce orarie: 57
Quanto del valore di ogni osservazione è imputabile agli effetti della media generale, del fattore A, del fattore B e
quando ai fattori raggruppati nel residuo?
Per ogni valore osservato si calcola il valore esteso ovvero quello che avrebbe se agissero solo i due fattori e la media
generale:
ˆ
x x x x x x x x x
hj h j h j
Ovvero alla somma della media della riga e della colonna si sottrae la grande media.
Si costruisce la tabella dei valori estesi:
Se si utilizzasse questa distribuzione per calcolare le 4 devianze, otterremmo valori identici a quelli dell’esempio
precedente per la devianza totale, per quella dei trattamenti e per quella dei blocchi, ma la devianza d’errore o
residuo risulterebbe nulla.
La devianza d’errore calcolata precedentemente è:
Data dalla somma dei quadrati degli scarti tra questi valori stimati e quelli reali o osservati.
La sommatoria è estesa a tutti e 20 i dati.
Perché i gradi di libertà sono 12 e si lavora con 20 dati?
Le frequenze attese sono calcolate sulla base delle medie e le medie calcolate nel problema sono 10 inclusa la grande
media, quindi rimangono 12 gdl.
Esempio-2:
Abbiamo 5 analisti che lavorano analizzando campioni a diversi livelli di concentrazione. Valutare se esiste una
differenza significativa tra le medie.
Per ogni operatore si deve verificare la normalità, e deve essere verificata la condizione di omoschedasticità.
Si procede al calcolo dell’anova.
Il problema può essere trattato statisticamente solo se tutti gli operatori esaminano tutti i livelli.
58
ANOVA E TEST-t DI STUDENT
ANOVA a 1 via
L’analisi della varianza può essere applicata anche a 2 soli trattamenti. Per questo caso, è già stata presentata la
metodologia del test t di Student. In realtà test t e Test F sono due modi per fare la stessa analisi, solo apparentemente
differenti. Il test t può essere visto come un caso speciale di analisi della varianza, applicata a solo due gruppi; o
meglio ancora, l’analisi della varianza è l’estensione a più gruppi e a più fattori del test t di student.
Esempio:
Due gruppi di 10 piante sono allevati in vasche con conc. Diverse di cromo per verificarne l’effetto sulla crescita. Dopo
un mese si analizzano le dimensioni delle piante sopravvissute. ≠μ
H : μ =μ H : μ
0 A B 1 A B
E’ preliminare il confronto tra le 2 varianza, per verificare la condizione di omoschedasticità:
2A 2B 2A 2B
≠
H : σ = σ H : σ σ
0 1
A questo scopo si calcolano le due devianze e i loro gradi di libertà, per stimare le varianze rispettive:
Nella tabella dei valori critici, con 7 gld per la varianza maggiore e 6 per la varianza minore, il valore critico alla
probabilità α=0.025 è pari a 5.70. Si accetta H presenza di omoschedasticità
0
• Test t di Student per due campioni indipendenti:
Si calcolano le due medie e la varianza pooled:
Da esse ci calcola il valore di t con 13 gradi di libertà:
• Analisi della varianza a un criterio di classificazione:
si devono calcolare la devianza totale, quella tra trattamenti e quella entro i trattamenti con i rispettivi gradi
di libertà. 59
Si verifica che le due risposte coincidono:
ANOVA a 2 vie
Quando si confrontano le medie i due soli trattamenti applicati agli stessi oggetti, quindi con valori riportati in una
tabella con 2 trattamenti e n blocchi, l’analisi della varianza a due criteri di classificazione, fornisce i medesimi risultati
del test t di Student per 2 campioni dipendenti, in riferimento al fattore principale.
Esempio:
Durante una giornata lavorativa (giorno I), in una stazione di rilevamento sono state misurate quantità di
inquinamento dell’aria in 4 ore differenti; durante in successivo giorno festivo (giorno II) sono state ripetute le miure
alle stesse ore.
La tabella riporta i valori rilevati nei due giorni alla stessa ora:
Esiste una differenza significativa nel tasso medio d’inquinamento tra i due giorni?
• Test t di Student per 2 campioni dipendenti
H : δ=0
0
H : δ≠0
1
Si stima la devianza:
E in base ad essa si calcola la varianza delle differenze:
E la loro deviazione standard:
Si calcola quindi il valore di “t”:
Per cui si rifiuta l’ipotesi H , i due giorni hanno una differenza significativa.
0
• Analisi della varianza a due criteri di classificazione:
le ipotesi considerano sia il confronto tra le medie dei giorni che quello delle 4 rilevazioni orarie.
Ipotesi Giorni:
60 Ipotesi fasce orarie:
Significatività fra giorni:
Si rifiuta l’ipotesi nulla
Significatività tra ore:
In aggiunta al t-test l’ANOVA indica anche se ho una significatività tra le ore.
In confronto effettuato serve soprattutto per dimostrare che con 2 campioni dipendenti test t e test F
forniscono la stessa inferenza con risultati identici, ovviamente per la stessa domanda che riguarda la
differenza tra giorni. Coincidono anche i gdl che per il test F sono 1 e 3 mentre per il t test sono 3.
A conferma della relazione:
L’ANOVA a due vie è più potente rispetto al t-test, che è più veloce. Se fossero state importanti le ore di
campionamento era essenziale applicare l’ANOVA. 61
ANOVA A DUE VIE CON INTERAZIONI
Abbiamo finora esaminato i casi in cui diversi operatori analizzavano più campioni e con l’ANOVA a due vie stabilendo
se ci fosse differenza significativa fra i risultati a diverse concentrazioni e fra i risultati dei diversi operatori.
C’è però la possibilità che la differenza fra gli operatori si verifichi solo per alcune concentrazioni, mentre non si
verifichi ad altre. Inoltre si può anche verificare il caso in cui ci siano differenze fra gli operatori di un segno a
concentrazioni basse e di segno opposto a concentrazioni alte. Questi casi sfuggono facilmente all’ANOVA a due vie.
Per individuare queste situazioni è necessario effettuare l’ANOVA con interazioni. Per interazione si intende il
meccanismo per cui l’effetto di un parametro (effetto dell’operatore) dipende dal livello di un altro parametro (livello di
concentrazione). Per effettuare questo tipo di ANOVA è necessario acquisire prove ripetute, cioè per ogni combinazione
di operatore-concentrazione bisogna avere più di un dato, altrimenti non restano gradi di libertà per la varianza
residua. È importante anche che le repliche siano uguali in tutte le celle.
Obbiettivo: verificare se, come e quanto ogni livello o modalità di un fattore interagisce con quelli degli altri fattori,
esaminati in tutte le combinazioni.
Ad esempio quando si somministra un farmaco a persone di età e di sesso diverso, può essere di grande importanza
sapere se esso ha effetti differenti di potenziamento o inibizione, nei giovani rispetto agli adulti o agli anziani, nei
maschi rispetto alle femmine.
Quando non esiste interazione, la graduatoria dal farmaco migliore a quello peggiore sono uguali in tutte le classi
d’età e per entrambi i sessi. Mentre quando esiste interazione la graduatoria degli effetti del farmaco varia con l’età
e/o con il sesso. Il farmaco che in un test potrebbe risultare sulle medie il migliore e presenta interazione con età e/o
sesso, non lo è per tutte le età e per entrambi i sessi.
Nella ricerca ambientale, quando si confrontano i livelli d’inquinamento in varie zone di una città tenendo in
considerazione anche l’ora, è probabile che le aree a inquinamento maggiore non siano sempre le stesse, ma che
presentino variazioni in rapporto alla fase del giorno. Il traffico e l’attività delle fabbriche, che non hanno la stessa
intensità a tutte le ore del giorno e sono distribuiti sul territorio in modo non omogeneo, possono determinare
graduatorie d’inquinamento che si modificano nel corso della giornata. Di conseguenza, anche le politiche
d’intervento potranno essere diverse, l’interazione tra zone è significativa.
Quando si analizzano due fattori (α e β) si parla di interazioni di primo ordine o di interazioni a due fattori (αβ).
Con 3 fattori con repliche, si hanno:
• Effetti principali dei tre fattori (α, β, γ);
• Tre interazioni del primo ordine (αβ, αγ, βγ) causate dall’effetto dei fattori due a due;
• Una interazione di secondo ordine (αβγ), determinata dall’effetto congiunto dei tre fattori.
Si possono avere interazioni positive, quando la presenza di un fattore potenzia l’effetto dell’altro, e anche interazioni
negativa (quando uno o più fattori si inibiscono a vicenda).
Si ha interazione nulla se il risultato congiunto è determinato esclusivamente dalla somma dei singoli effetti principali.
Nel caso di due fattori con repliche, il modello additivo dell’ANOVA diventa:
x a b ab e
hji h j hji
hj
“ab ”: descrive l’interazione, il numero di gradi di libertà dell’interazione è dato dal prodotto dei gdl dei fattori
hj coinvolti nell’interazione.
df df df k 1 l 1
AB A B
Si può notare come questi gdl corrispondano a quelli residui visti nel caso della ANOVA a DUE VIE senza
interazioni. Si noti come, in assenza di replicati, non esistono gradi di libertà per la devianza residua:
df df ( k 1) (
l 1) ( k 1)(
l 1) 0
R T
È quindi necessario che per stimare le interazioni vengano eseguite delle repliche.
L’interazione può essere determinata nel seguente modo:
ˆ
x
“ ”: media attesa, calcolata sommando alla media generale l’effetto-riga e l’effetto-colonna alla quale appartiene:
hj
“ “: è l’errore, calcolato sommando tutte le differenze tra una singola osservazione e la sua media di casella:
hij
62
Di conseguenza, nel modello ANOVA a due fattori con repliche, la devianza totale può essere suddivisa in 4 devianze:
1. Devianza del fattore α;
2. Devianze del fattore β;
3. Devianza dovuta all’effetto dell’interazione αβ;
4. Devianza d’errore o residuo.
Devianza di Interazione: è data dalla somma dei quadrati degli scarti tra la media osservata e media stimata in ogni
casella.
Devianza entro o errore: calcolata dalla somma dei quadrati degli scarti di ogni replica dalla sua media di casella.
I gdl godono della stessa proprietà additiva delle devianze:
“k”: numero di livelli o modalità del trattamento; “l”: numero di livelli o modalità di blocco; “r”: numero di repliche
entro ogni casella.
Devianza totale:
Il numero di gdl della devianza totale è pari al numero totale di dati meno uno (lkr-1).
Devianza tra le medie delle caselle:
Il numero di gdl della devianza tra le medie di ogni casella è uguale al numero di caselle meno uno (lk-1).
Corrisponde alla somma della devianza tra i trattamenti, i blocchi e le interazioni.
Devianza tra i trattamenti
I suoi gradi di libertà sono pari al numero di modalità del trattamento meno uno. 63
Devianza tra i blocchi
I suoi gradi di libertà sono uguali al numero di modalità dei blocchi meno uno.
Devianza di interazione tra i fattori
La devianza d’interazione e i suoi gdl sono misurati per sottrazione dalle devianze delle medie di casella la devianza dei
trattamenti e dei blocchi.
I suoi gradi di libertà possono essere calcolati con la stessa proprietà additiva oppure moltiplicando i gradi di libertà dei
trattamenti per quelli dei blocchi: (k-1)(l-1).
Devianza d’errore o residuo:
La somma dei quadrati degli scarti di ogni valore rispetto alla media della sua casella. Con “r” dati entro ogni casella, i
suoi gdl sono pari a: (r-1)lk
Dividendo la devianza tra i trattamenti, quella tra i blocchi, quella d’interazione e quella d’errore per i rispettivi gdl si
ottengono le corrispondenti varianze.
Successivamente si esegue un test F, per i trattamenti, i blocchi e le interazioni dividendo la corrispettiva varianza
per quella dell’errore.
Esempio-1:
Si vuole verificare se somministrano 4 farmaci per cercare il migliore esiste un’interazione significativa con le classi
d’età.
È un’analisi a due fattori con repliche, con analisi dell’interazione tra fascia d’età e farmaco, si devono stimare i totali e
le medie necessari ai calcoli successivi.
64 • Devianza totale, con 23 gdl:
• Devianza tra le medie delle caselle, con 11 gdl:
• Devianza tra trattamenti (o del fattore A), con 3 gdl:
• Devianza tra blocchi (o del fattore B), con 2 gdl:
• Devianza d’interazione AB, viene stimata per differenza:
• Analogamente anche i gdl:
• Devianza d’errore o residuo, nei calcoli viene quasi sempre stimata per differenza:
• E nello stesso modo sono calcolati i gdl:
Essi possono essere calcolati anche in modo diretto, infatti ognuna delle 13 caselle con 2 dati contribuisce alla
devianza d’errore complessiva con 1gdl, fornendo un totale di 12 gdl.
Differenze tra trattamenti o effetto del fattore A, si calcola un test F con 3 e 12 gdl:
Il cui valore critico alla probabilità α=0.05 è uguale a 3.49.
Differenza tra i blocchi o l’effetto del fattore B, si calcola un test F con gdl 2 e 12:
Il cui valore critico alla probabilità α=0.05 è uguale a 3.89.
Per interazione AB, si calcola un test F con gdl 6 e 12:
che fornisce un rapporto inferiore a 1 e quindi non è significativo.
Con i risultati dell’esempio, si possono trarre le conclusioni per i tre test F:
• Per i quattro farmaci le medie sono significativamente differenti;
• Per le tre grandi classi d’età le medie sono significativamente differenti;
• Non esiste interazione tra farmaci e età.
Per un’azienda farmaceutica è un ottimo risultato, in pratica significa che il farmaco migliore è tale per tutte le età.
Quindi è sufficiente metterne sul mercato uno solo. 65
Esempio-2:
Si vogliono verificare gli effetti di 3 mangimi industriali, contenenti ormoni sintetici, sulla crescita di animali. Un
aspetto fondamentale della ricerca è dimostrare se nei due sessi hanno un effetto diverso, come logico attendersi.
A questo scopo, i 3 tipi di mangime (a , a , a ) sono stati somministrati a cavie:
1 2 3
-tre gruppi di femmine (b ), formati ognuno da 5 individui scelti per estrazione casuale da un grande gruppo di
1
femmine
-tre gruppi di maschi (b ), formati ognuno a 5 individui scelti per estrazione casuale da un grande gruppo di soli
2
maschi.
Dopo un mese di età, è stato misurato l’accrescimento di ogni cavia.
Nel passaggio successivo, da essa è utile ricavare una nuova tabella con le medie da analizzare, quella di casella, quelle
di riga (sesso) e quelle di colonna (mangime).
Ora occorre formulare le ipotesi:
• Ipotesi sui mangimi:
• Ipotesi sui sessi:
• Ipotesi sulla significatività dell’interazione fra il fattore A e il fattore B:
L’ipotesi nulla afferma che non esiste interazione, mentre quella alternativa afferma che l’interazione è
significativa, pure senza spiegare la direzione.
Calcolo devianze e relativi test F:
• Fattore A:
Il valore critico alla probabilità α=0.05 è uguale a 3.40.
• Fattore B:
Il valore critico alla probabilità α=0.05 è uguale a 4.26.
66 • Interazione AB:
Il valore critico alla probabilità α=0.05 è uguale a 3.40.
Dal confronto dei tra valori di F con i rispettivi valori critici, si possono trarre conclusioni relativa alle tra ipotesi nulle:
• I tre mangimi danno medie di accrescimento significativamente differenti;
• I due sessi hanno accrescimenti significativamente differenti;
• L’interazione tra i due fattori è significativa.
Effettuando il test, è importante capire esattamente il significato del risultato per fornire l’interpretazione disciplinare.
È importante anche la semplice lettura della tabella che riporta le medie di casella, quelle di riga e quelle di colonna.
Quando il test F per l’interazione AB:
➢ Risulta non-significativo, le medie di casella sono determinate solamente dalla somma degli effetti dei
trattamenti e dei blocchi;
➢ Risulta significativo, le medie di casella sono diverse dalla somma degli effetti dei trattamenti e dei blocchi.
Nell’esempio-2, dove l’interazione AB è risultata significativa, è possibile osservare che:
Sesso femminile (b ) la crescita maggiore è determinata dal trattamento con l’ormone a (media 24.6);
1 2
Sesso Maschile (b ) il valore maggiore è determinato dal trattamento con l’ormone a (media 31.4).
2 1
Se non fosse esistita interazione sesso-trattamento, ognuna delle medie dei 6 gruppi sperimentali avrebbe risentito
solamente dell’effetto del fattore A e del fattore B in modo additivo, secondo la relazione:
Pertanto quando non esiste interazione AB, le medie sei 6 gruppi sperimentali sono molto vicine a quelle calcolate.
Il mangime che fornisce la media minore (a con 17,2) in complesso, la presenta sia nel sesso b (14.2.34) che b
3 1 2
(20.167). Simmetricamente, il trattamento che causa la media maggiore (a con 26.6) in complesso, la determina sia in
2
b (23.634) che in b (29.567). Lo stesso avviene per tutte le modalità del fattore A.
1 2
Un modo semplice per evidenziare l’esistenza dell’interazione e i suoi effetti è la rappresentazione grafica dei valori
medi osservati e del suo confronto con quelli stimati per ogni casella.
È illustrato perché con i valori osservati si ha una interazione significativa. 67
ANOVA A TRE O PIU’ CRITERI
I concetti dell’ANOVA a due vie possono essere estesi anche a 3 o più criteri di classificazione.
Con “k” fattori è possibile verificare “k” ipotesi nulle con altrettante ipotesi alternative.
È necessario calcolare “K” varianze per eseguire “k” F-test mediante il rapporto con la varianza residua.
Ad esempio se si vuole analizzare l’effetto di 4 fattori, ogni singola osservazione diviene:
“μ”: media generale
“α ”, “β ”, “γ ”, “δ ”: effetti indipendenti dei 4 fattori
i j k p
“R ”: rappresenta tutti gli altri fattori non considerati, sommati alla variazione casuale e agli errori di misura e
ijkp
campionamento, oltre a tutte le possibili interazioni tra i 4 fattori.
Per tutti i fattori:
H : tutte le μ delle varie modalità dello stesso fattore sono uguali;
0
H : non tutte le μ delle varie modalità dello stesso fattore sono uguali.
1
Con “n” osservazioni in ogni modalità, “s” modalità per ogni fattore e “N” osservazioni in totale (quindi N=ns).
La devianza per ogni fattore sarà:
ANOVA NESTED
Supponiamo di voler analizzare l’effetto dell’utilizzo di diversi strumenti e diversi analisti sulla varianza dei dati
ottenuti. Si potrebbe pensare ad una soluzione che comprenda per ciascun analista, alcune determinazioni su vari
strumenti. Ad esempio una possibile combinazione potrebbe essere:
Facendo misure replicate ed utilizzando l’ANOVA a due vie con interazioni si potrebbero stimare gli effetti dovuti
all’analista, allora strumento e l’interazione analista-strumento.
Pensando di fare la stessa cosa utilizzando come fattori laboratori e analisti, si vede subito che non sarebbe pratico
spostare gli analisti da un laboratorio all’altro. Serve quindi un’altra progettazione:
È una proposta gerarchica. Il primo effetto da considerare è il laboratorio, poi all’interno di ciascuno di essi gli analisti.
Una conseguenza è che non si può determinare l’interazione tra analisti e laboratori. Infatti gli analisti nel laboratorio
A non sono gli stessi del laboratorio B. Si parla di ANOVA gerarchico o ANOVA nested.
Esempio:
In 8 laboratori, due analisti determinano, su un periodo di 3 giorni, il contenuto di acetati in un materiale eseguendo
due replicati. Si ottiene un disegno NESTED.
Si considerano come:
Fattore A i laboratori
Fattore B gli analisti
Fattore C i giorni
Fattore D i replicati nei vari giorni
68
Si ottiene la seguente tabella:
x
“ “: valore ottenuto nel laboratorio i-esimo dal j-esimo analista il k-esimo giorno per il replicato numero l.
ijkl
x
“ “: valor medio del laboratorio i-esimo del j-esimo analista il k-esimo giorno
ijk
x
“ “: valor medio del laboratorio i-esimo del j-esimo analista
ij
x
“ “: media del i-esimo laboratorio
i
x
“ “: grande media
In questo caso il test F è ottenuto dividendo la varianza di un fattore per quello immediatamente sottostante.
Nel caso venissero ottenuti i valori della tabella precedente, i valori critici corrisponderanno a:
Si conclude che l’effetto dei laboratori e dei giorni è significativo.
Volendo sapere il grado con cui ogni fattore influisce sulla precisione si analizzano le varianze:
Da cui:
E risolvendo si ottengono gli scarti quadratici medi:
Il contributo dei laboratori è il più significativo sulla precisione, mentre minore è l’effetto degli analisti. 69
Esempio:
3 laboratori, 2 operatori e 2 replicati per ogni operatore.
Il disegno sperimentale gerarchico o nested (annidato) è utile soprattutto nella ricerca ambientale.
Quando si confrontano i livelli d’inquinamento atmosferico in un’area ampia come una regione, dopo aver scentro
entro essa alcune province (gruppi o fattori di primo livello), entro esse si scelgono alcuni comuni, (sottogruppi entro
gruppi o fattori di secondo livello), entro ogni comune almeno due quartieri o zone (sotto-sottogruppi entro
sottogruppi o terzo livello), almeno due vie per ogni quartiere o zona (quarto livello), almeno due stazioni di rilevazione
per ogni via (quinto livello) e almeno due repliche per ogni stazione (repliche entro il quinto livello).
Quando si confrontano le quantità di principio attico presente in farmaci prodotti da aziende diverse, dopo aver scelto
le aziende (primo livello), con campionamento casuale si prendono due o più campioni del prodotto (fiale o pillole) per
ogni azienda (secondo livello) e si effettuano almeno due analisi chimiche per ogni unità di prodotto, allo scopo di
misurare la quantità di principio attivo in essa presente (repliche entro sottogruppi o entro in II livello), considerando
la loro variabilità e l’errore di ogni misura.
In questa programmazione degli esperimenti sono impliciti due concetti importanti:
Il livello maggiore influisce su quello minore
Il secondo ha significato se analizzato entro il primo, perché appartiene ad esso.
70
Capitolo 7: Chimica Analitica-Introduzione
CLASSIFICAZIONE METODI ANALITICI
Metodi Classici
Permettono determinazioni sia qualitative che quantitative.
• Separazione analiti presenti nel campione (precipitazione, estrazione, distillazione)
• Analisi qualitativa (caratterizzazione degli analiti sulla base delle loro proprietà chimico-fisiche: colore, punto
di fusione, solubilità in diversi solventi, indice di rifrazione…)
• Analisi quantitativa: metodi gravimetrici (determinazione massa dell’analita o di un composto da esso
derivato), metodi volumetrici (titolazioni)
Analisi qualitativa: consiste nell’individuare, all’interno di un campione, uno o più componenti di cui non si conosce la
natura (identificazione analiti);
Analisi quantitativa: consiste nel determinare la quantità di uno o più componenti in un campione.
Metodi Strumentali
• Separazione degli analiti mediante tecniche cromatografiche ad elevata efficienza (GC e HPLC)
• Misure di proprietà fisiche dell’analita (conducibilità, potenziale elettrodico, rapporto massa/carica…)
SCELTA DEL METODO ANALITICO
Al fine di individuare il corretto metodo analitico occorre porsi le seguenti domande:
➢ Quali sono le proprietà fisiche e chimiche degli analiti? (volatilità, ionizzabilità, solubilità…)
➢ Quali sono le proprietà fisiche e chimiche della matrice? (la complessità della matrice può portare ad
interferenze)
➢ Che accuratezza e precisione viene rischiesta?
➢ Quale è l’intervallo di concentrazione previsto dell’analita? (calibrazione)
➢ Quali componenti presenti nel campione possono causare interferenze?
➢ Quanti campioni devono essere analizzati? (serve per massimizzare l’efficienza dell’analisi)
Ulteriori caratteristiche da tenere in considerazione nella scelta del metodo:
• Velocità di esecuzione
• Facilità e praticità
• Abilità richiesta dall’operatore
• Costo e disponibilità della strumentazione
• Costo per campione
SVILUPPO DI UN METODO ANALITICO
Come prima cosa si esegue una ricerca bibliografica per poter definire la tecnica analitica migliore e le possibili
problematiche.
I metodi da applicare saranno diversi a seconda della natura delle sostanze da determinare, della quantità in cui tali
sostanze sono presenti nella matrice e dalla natura stessa della matrice da analizzare. In alcuni casi si tratterà di un
adattamento di un metodo esistente ad una nuova applicazione.
Esempio:
Richiesta di un metodo per la determinazione di toluene in acqua:
Adattamento di un metodo esistente per la determinazione di benzene in acqua. Gli analiti hanno
caratteristiche simili.
Sviluppare un nuovo metodo e validarlo (calcolare una serie di parametri che attestino che il metodo è adatto
allo scopo per cui è stato progettato)
Nonostante le diversità tra i vari metodi di analisi è possibile individuare alcuni importanti passaggi comuni a quasi
tutti i procedimenti analitici: 71
Capitolo 8: Metodi Elettrochimici
Si basano sulla misura di proprietà elettriche di una soluzione contente l’analita, il quale fa parte di una cella
elettrochimica. Si basa sulla capacità degli atomi di acquistare o cedere elettroni in particolari condizioni.
Viene stabilito un contatto elettriche tra il campione (generalmente in soluzione) e un apposito circuito elettrico di
misura. Misura alcune proprietà elettriche del circuito (tensione, corrente, resistenza, carica elettrica) per ottenere
informazioni qualitative e quantitative sul campione esaminato.
REAZIONI DI OSSIDORIDUZIONE
Le reazioni di ossidoriduzione implicano un trasferimento di elettroni tra specie chimiche: la specie che cede elettroni
si ossida mentre quella che li riceve si riduce.
Può essere scritta come somma di due semireazioni, ciascuna relativa ad una coppia coniugata di ossidoriduzione
(O /R O /R ).
1 1 2 2
POTENZIOMETRIA
I metodi potenziometrici sono metodi analitici basati sulla misura del potenziale, in celle elettrochimiche, in assenza di
passaggio di corrente.
Una reazione di ossidoriduzione può essere realizzata per via chimica o elettrochimica:
Via Chimica: la reazione avviene per contatto diretta tra i reagenti. Trasferimento diretto degli elettroni dalla
specie che si ossida a quella che si riduce. Un esempio di reazione redox per via chimica è l’immersione di una
+
lastra di Cu metallico in una soluzione contenente Ag .
+
Il rame passa in soluzione e gli ioni Ag si depositano sulla lamina di rame con Ag metallico-
Via Elettrochimica: le due semireazioni sono separate, all’interno della cella elettrochimica non c’è contatto
diretto tra i reagenti.
Le due soluzioni elettrolitiche sono a contatto tra loro mediane un ponte salino o setto porose e gli elettrodi.
72
Cella elettrochimica: sistema costituito da due conduttori (elettrodi), ognuno dei quali è immerso in una opportuna
soluzione elettrolitica.
Affinché in una cela circoli corrente è necessario che:
• Gli elettrodi siano collegati mediante un circuito esterno
• Le soluzioni elettrolitiche siano in contatto per consentire il passaggio di ioni
Una cella elettrochimica può essere considerata come derivante dall’unione di due semicelle, ognuna costituita da un
elettrodo immerso in una opportuna soluzione elettrolitica. Il contatto fra le due soluzioni elettrolitiche può essere
realizzato mediante un ponte salino, costituito da un tubo riempito con una soluzione satura di elettrolita (es. KCl),
chiuso all’estremità da setti porosi. Il ponte salino ha la funzione di separare i due comparti della cella, evitando la
reazione diretta fra le specie presenti e gli elettrodi, mantenendo nel contempo il contatto elettrico.
Catodo: elettrodo a cui avviene la riduzione
Anodo: elettrodo a cui avviene l’ossidazione
Una cella elettrochimica si dice galvanica se produce energia elettrica (le reazioni di ossidazione e riduzione agli
elettrodi avvengono spontaneamente), elettrolitica se richiede l’apporto di energia elettrica dall’esterno.
Il trasporto di carica avviene tramite gli elettroni nel circuito esterno e le specie cariche all’interno della soluzione
elettrolitica.
Gli elettroni si muovono da un elettrodo all’altro mentre nella soluzione si ha spostamento di anioni e cationi e sulla
superficie elettrodica avvengono reazioni di ossidoriduzione.
Ponte Salino: dispositivo idoneo a diminuire il potenziale di giunzione liquida. Il più semplice consiste in un tubo a U
riempito di un gel contenente sale concentrato costituito da ioni aventi mobilità quasi uguale (per esempio KCl) e
chiuso alle estremità da setti porosi.
Quando due soluzioni sono collegato mediante un ponte salino, la diffusione avviene prevalentemente dal ponte
salino verso l’esterno.
Dato che gli ioni da ponte hanno praticamente la stessa mobilità, il potenziale di giunzione liquida, a ciascuna
estremità del tubo a U, risulta minore di quello che si sarebbe verificate per contatto diretto tra le due soluzioni.
Il potenziale di giunzione può dar vita a ddp molto grandi, nel caso in cui gli ioni abbiano mobilità molto diversa.
Potenziali standard di riduzione: potenziale di una semicella prendendo come riferimento l’elettrodo standard a
idrogeno. 73
Reazione Catodiche:
Reazioni Anodiche:
Sulla base dei potenziali standard è possibile definire se una cella è anodica o catodica.
È quindi possibile usare un processo redox per produrre corrente elettrica: è necessario che gli agenti ossidanti e
riducenti siano tenuti separati per far in modo che il trasferimento degli elettroni avvengo a distanza attraverso un
circuito esterno.
Rappresentazione schematica delle celle elettrochimiche:
A destra la semicella a cui avviene la riduzione.
Tra i due elettrodi si genera una ddp, indice della tendenza degli elettroni a passare dall’elettrodo di Zn a quello di Cu.
La reazione procede fino all’equilibrio in cui ddp=0V.
Per convenzione una singola linea indica un limite di fase o interfaccia sul quale si sviluppa il potenziale. La doppia
linea rappresenta due confini di fase, uno per ciascuna delle estremità del ponte salino. Esiste un potenziale di
giunzione liquida in corrispondenza di ciascuna di queste interfacce. Deriva dalla diversa velocità con cui gli ioni nei
comparti della cella e del ponte salino migrano attraverso le interfacce.
POTENZIALE DI GIUNZIONE LIQUIDA
Immaginando di mescolare due soluzioni di HCl a diversa concentrazione senza provocarne il mescolamento e di poter
osservare la diffusione degli ioni idrogeno e cloruro dalla soluzione più concentrata a quella più diluita.
+ -
Immediatamente dopo il contatto, gli ioni H e Cl cominciano a diffondere dalla soluzione più concentrata a quella più
-5 2 -5 2
diluita. Dato che gli ioni idrogeno hanno una mobilità (u) maggiore (u =362.8∙10 cm /Vs e u =79.1∙10 cm /Vs), essi
H Cl
sopravanzano gli ioni cloruro nel moto diffusivo, generando una separazione di carica, positiva verso la soluzione più
diluita e negativa verso quella più concentrata.
Tale separazione di carica si oppone all’ulteriore diffusione degli ioni, potrebbe avere un’influenza nella
determinazione del potenziale di cella.
74
La differenza di potenziale associata alla separazione di carica viene chiamata potenziale di giunzione liquida. Può
assumere anche un valoro importante, ma anche trascurabile se l’elettrolita nel ponte salino ha un anione e un catione
che migrano circa alla stessa velocità.
POTENZIALI ELETTRODICI
La ddp che si sviluppa tra gli elettrodi di una cella è la misura della tendenza di una reazione a procedere da uno stato
di non equilibrio a uno di equilibrio.
Il potenziale di cella è legato all’energia di Gibbs:
G zEF
Se i reagenti e prodotti sono nei loro stati standard il potenziale di cella è costante.
Potenziale standard di cella:
0 0
G zE F RT ln K eq
Quando si considera una cella elettrochimica ed il suo potenziale, si deve intendere la reazione scritta
convenzionalmente seguendo la regola del segno + a destra, cioè il valore di E rappresenta la tendenza della
cella
reazione di cella ad avvenire spontaneamente nella direzione da sinistra a destra.
2+ +
Si ha l’ossidazione del Cu metallico a Cu e la riduzione dell’Ag a Ag metallico.
Se il valore misurato di E è positivo l’elettrodo dx è positivo rispetto a quella a sinistra e l’energia di Gibbs è
cella
negativa. La reazione avverrebbe spontaneamente se la cella fosse connessa a un dispositivo per produrre lavoro.
Se E è negativo l’elettrodo dx è negativo rispetto a quello sx e la variazione di energia di Gibbs è positiva, ovvero la
cella
reazione non è spontanea.
Se considerassimo la stessa cella scritta in direzione opposta:
Il potenziale di cella sarebbe pari a -0.412 e la reazione non sarebbe spontanea nella direzione osservata.
Si misura sempre una differenza di potenziale tra quelli delle semireazioni interessate.
La reazione globale di una cella elettrochimica può essere considerata come la somma delle reazioni relative alle due
semicelle che la costituiscono, ad ognuna delle quali è associato un potenziale elettrodico caratteristico.
E =E -E
cella catodo anodo
Quindi per calcolare il valore della differenza di potenziale generata da una pila, detta anche forza elettromotrice
(f.e.m.) è necessario conoscere il potenziale di ciascun elettrodo.
Gli strumenti permettono di misurare differenze di potenziale, non si può misurare il potenziale di un singolo elettrodo,
ma è necessario collegarne due, costituendo così una pila.
Potendo misurare solo differenza, la misura del potenziale sarà relativa, ponendo cioè a confronto l’elettrodo in esame
con uno di riferimento (elettrodo standard a idrogeno). 75
Elettrodo a Idrogeno (SHE)
Costituito da una lamina di platino immersa in una soluzione di HCl 1M (pH=0) nella
quale gorgoglia idrogeno gassoso alla pressione di 1atm. Basato sulla seguente
semireazione:
Può funzionare sia da anodo che da catodo, a seconda della semicella a cui è
collegato. Per convenzione E=0.000V a tutte le temperature.
Quindi ogni potenziale che si sviluppa da una cella formata da un elettrodo a
idrogeno e da qualche altro elettrodo è dovuta interamente all’altro elettrodo.
In questo modo è stato possibile costruire la tabella dei potenziali standard, ricavati
con concentrazioni malari unitarie e temperatura di 298K.
In fatti se l’elettrodo in esame avrà una minor tendenza ad acquistare elettroni di
quello standard, allora si comporterà ad anodo presentando una potenziale di
semicella negativo. Le semireazioni elettrodiche vengono sempre scritte nel senso della riduzione.
a Ox n e b Rid
I potenziali tabulati sono quindi detti potenziali di riduzione e maggiore sarà il loro valore maggiore sarà la tendenza a
ridursi. I valori riportati indicano la capacità di una coppia redox a comportarsi come ossidante o riducente rispetto
+ 0
alla coppia H O /H . Permettono il calcolo immediato della f.e.m standard (E ) di una cella formata da due
3 2
semielementi qualsiasi.
Potenziometria
I metodi potenziometrici sono metodi di analisi basati sulla misura ella differenza di potenziale in una cela
elettrochimica. La misurazione della differenza di potenziale deve essere effettuata senza far passare corrente
attraverso di essa, in caso contrario durante la misurazione si avrebbero reazioni elettrodiche che porterebbero alla
variazione delle attività degli analiti, e quindi alla variazione del potenziale di cella stesso.
Le misurazioni condotte a corrente nulla sono delle “misurazioni potenziometriche” (es. pH).
Il potenziale elettrodico è una misura di quanto le concentrazioni delle specie i una semicella differiscano dai valori di
equilibrio.
Equazione di Nerst
Nella pratica le coppie redox non vengono sfruttare in condizioni standard, cioè a 298K e a conc. 1M, per cui l’effettivo
potenziale di riduzione di una coppia OX/RID è dato dall’Equazione di Nerst:
*
a
RT
o
rid
E E ln *
nF a
ox
“E”: potenziale elettrodo
“E°”: potenziale elettrodo standard
“T”: temperatura assoluta in K
“n”: numero di elettroni scambiati nella semireazione
“F”: costante di Faraday=96485 C/mol
*ox
“a ”: prodotto delle attività di tutte le specie che compaiono nella semireazione dalla parte della forma ossidata,
elevate al loro coefficiente stechiometrico
*rid
“a ”: prodotto delle attività di tutte le specie che compaiono nella semireazione dalla parte della forma ridotta,
elevate al loro coefficiente stechiometrico
Per soluzioni non troppo concentrate la relazione si può esprimere attraverso le concentrazioni molari. Raggruppando i
termini costanti, tenendo conto del fattore di conversione da logaritmo naturare a logaritmo decimale e riferendosi
alla temperatura standard di 298K, si ottiene il coefficiente 0.059:
*
0.059 [ rid ]
o
E E log *
n [ ox ]
*
“[rid] ”: concentrazione specie i-esima in forma ridotta, elevata al suo coefficiente stechiometrico.
*
“[ox] ”: concentrazione specie i-esima in forma ossidata, elevata al suo coefficiente stechiometrico.
76
Esempi:
1. Scrivere l’equazione di Nerst:
2. Sistemi che coinvolgono precipitati o complessi:
Come sono correlati tra loro i tre potenziali?
Prima semireazione: 1
E E 0.0592 log
[ Ag ] +
Essa è correlata alla concentrazione di Ag in soluzione, che a sua volta è legata alla Kps del sale da cui
proviene, quindi nel caso del AgCl:
Kps [ Ag ][
Cl ] [ Ag ] Kps [
Cl ]
Per cui l’equazione di Nerst diventa:
[
Cl ]
E E 0.0592log E 0.0592log Kps 0.0592log[ Cl ]
Kps -
Nel caso della seconda semireazione, per definizione il potenziale standard è quella per cui [Cl ]=1M. In
- °AgCl/Ag
pratica quando [Cl ]=1M E=E , sostituendo tali valori si ottiene che:
0 0
E E 0.0592log Kps 0.799 0.577 0.222
V
AgCl / Ag Ag / Ag
Per la terza reazione si parla del potenziale standard per la riduzione del complesso dello ione Ag con il
tiosolfato:
3 3
Ag S O Ag S O
2 3 2 3
2 2
[ Ag ]
2 2 2 2 2
[ Ag ][ S O ] [ S O ]
2 3 2 2 3
Di conseguenza sostituendo nella prima equazione e considerando le concentrazioni di complesso e tiosolfato
unitarie.
0 0
E E 0.0592 log
3 2
Ag / Ag
Ag S O / Ag
2 3
Potenziale Elettrodico Formale (E°’)
La presenza di un apice indica che si sta utilizzando un potenziale formale, esso corrisponde al potenziale di una
semicella rispetto al SHE, misurato in condizioni tali che il rapporto delle concentrazioni dei reagenti e prodotti della
semireazione sia pari a 1 e siano specificate le concentrazioni molari di ogni altro soluto.
Il potenziale formale, E°’, è un potenziale corretto in modo da poter usare le concentrazioni al posto delle attività, ma
può essere usato solo nelle condizioni di forza ionica compatibili con i coefficienti di attività in esso inglobati.
+
Es. il valore di E°’ della coppia Ag /Ag in HClO 1,0M è 0.792V e non 0.799V.
4
In tutti i casi in cui si hanno forze ioniche elevate non è corretto sostituire le attività con le concentrazioni.
Limitazioni all’uso dei potenziali standard
La maggior parte delle reazioni è condotta in soluzioni che hanno forza ioniche elevate. Possono risultate errori
significativi nel calcolo del potenziale di cella se le concentrazioni sono usate al posto delle attività. Poiché i coefficienti
di attività dipendono dalla forza ionica, T del sistema, ecc, in tutti quei casi in cui si lavora con soluzioni diluite e bassa
forza ionica i coefficienti di attività avranno un valore prossimo a 1, mentre è necessario l’utilizzo delle attività nel caso
di soluzioni concentrate.
Il potenziale formale rappresenta il potenziale di una determinata coppia redox quando le attività delle specie che
subiscono ox o rid sono pari a 1. Rispetto al potenziale standard la differenza consiste nel fatto che si riferisce ad un
particolare tipo di soluzione o elettrolita in cui si studia la reazione. 77
Esempio-1:
Esempio-2:
Esempio-3:
Esempio-4:
78
Esempio-5:
Si possono usare i potenziali standard per calcolare l’equazione di Nerst al fine di determinare il potenziale ottenibile
da una cella galvanica o il potenziale richiesto per fa funzionare una cella elettrochimica.
CALCOLO DELLE COSTANTI DI EQUILIBRIO REDOX-TITOLAZIONE REDOX
Il punto finale di una titolazione può essere rilevato sia visivamente che attraverso metodi strumentali (misura del
potenziale). Le titolazioni redox possono essere seguite per via potenziometrica.
Il potenziale di cella è:
All’equilibrio il potenziale è nullo:
All’equilibrio i potenziali elettrodici per le due semireazioni sono uguali:
Riordinando l’equazione:
Invertendo il rapporto del secondo termine dell’equazione e cambiando di segno:
Dove:
Tale relazione può essere ricavata dall’Energia di Gibbs:
E a 25°C dopo la conversione a log:
La K può quindi essere calcolata:
eq 79
Espressione generale per calcolare le costanti di equilibrio dai potenziali standard
Per ottenere una relazione generale per il calcolo delle costanti di equilibrio dai valori dei potenziali standard,
consideriamo una relazione in cui una specie A reagisce con una specie B per dare A e B . Le due reazioni
red ox ox red
elettrodiche saranno:
Otteniamo un’equazione bilanciata della reazione considerata moltiplicando la prima equazione per “b” e la seconda
per “a”:
Quindi, sottraiamo la prima equazione alla seconda per ottenere un’equazione bilanciata della redox:
Quando questo sistema è in equilibrio, i due potenziali elettrodici E e E sono identici, ovvero:
A B
E =E
A B
Se sostituiamo l’espressione di Nerst per ogni coppia in questa equazione, troviamo che all’equilibrio:
Che si riordina a:
Alla fine quindi:
Si noti che il prodotto “ab” è il numero totale di elettroni guadagnato nella riduzione (e perso nell’ossidazione) per
l’equazione redox bilanciata. Pertanto, se a=b non è necessario moltiplicare le semireazioni per a e per b.
Quindi nel caso in cui a=b=n la costante di equilibrio viene determinata da:
Esempio-1:
80
Esempio-2:
COSTRUZIONE DELLE CURVE DI TITOLAZIONE REDOX
Poiché la maggior parte degli indicatori risponde a variazioni del potenziale elettrodico, l’asse verticale nelle curve di
titolazione redox è un potenziale elettrodico.
Prendendo come esempio la seguente titolazione di Fe(II) con Ce(IV):
Reazione rapida e reversibile, il sistema è all’equilibrio in ogni momento della reazione, i potenziali per le semireazioni
sono uguali.
Se si aggiunge un indicatore redox, il rapporto tra la sua forma ossidata e ridotto si deve regolare in modo che il suo
potenziale elettrodico risulti uguale a quello del sistema, in modo tale da giungere ad una situazione di equilibrio.
Il potenziale elettrodico di un sistema può essere calcolate dai dati di potenziale standard. Si può parlare della cella:
In questo modo siccome il potenziale dell’elettrodo di riferimento è noto si può determinare quello del sistema
reattivo, in base a quello della cella.
I dati della curva di titolazione possono essere ottenuti usando l’equazione di Nerst sia per la semireazione del Ce(IV)
che del Fe(III).
Risulta che sarà più conveniente l’una o l’altra scelta a seconda dello stadio della reazione:
• Prima del punto di equivalenza: le concentrazioni analitiche del Fe(II), Fe(III) e Ce(III) sono immediatamente
disponibili dai dati volumetrici e dalla stechiometria della reazione, mentre la piccolissima quantità di Ce(IV)
può essere ottenuta solo mediante calcoli basati sulla costante di equilibrio della reazione.
• Oltre il punto di equivalenza: si possono stimare le concentrazioni di Ce(III), Ce(IV) e Fe(III) direttamente dai
dati volumetrici, mentre quella del Fe(II) è piccola e difficile da calcolare. In questa regione l’equazione di
Nerst per la coppia di cerio è quella più conveniente da usare.
• Punti di equivalenza: possiamo stimale le concentrazioni di Fe(III) e Ce(III) dalla stechiometria, ma le
concentrazioni di Fe(II) e Ce(IV) saranno necessariamente piuttosto piccole.
Al punto di equivalenza le concentrazioni di Fe(II) e Ce(IV) sono molto piccole e non determinabili dalla stechiometria
della reazione. I potenziali al punto di equivalenza sono però facilmente calcolabili, perché le specie interessate nella
reazione sono rapporti noti.
Al punto di equivalenza nella titolazione del Fe(II) con Ce(IV), il potenziale del sistema E è dato sia da:
eq
Che da: 81
Sommando entrambe le due espressioni, si ottiene un valore pari al doppio del potenziale del sistema:
Per definizione al punto di equivalenza si ha che:
Sostituendo queste uguaglianze nell’equazione, si ottiene un quoziente di reazione unitario che annulla il termine
logaritmico:
Per cui si ricava il potenziale della semicella in cui avviene la reazione al punto di equivalenza:
Curva di titolazione: 2+ 4+
Consideriamo la titolazione di 50ml di Fe 0.0500M con Ce 0.1000M in un mezzo che risulta sempre 1.0M in H SO .
2 4
• Potenziale iniziale: la soluzione non contiene Cerio
• 3+ 3+ 4+
Potenziale dopo l’aggiunta di 5ml di Ce (IV): Si formano Ce e Fe , la concentrazione di Ce è bassa. Per
calcolare di E conviene usare la concentrazione delle due specie di ferro:
sistema 3+ 3+ 4+
La concentrazione di Fe all’equilibrio corrisponde a quella di Fe stechiometrica meno quella del Ce che
non ha reagito.
La concentrazione di Fe(II) è data dalla somma della sua concentrazione analitica con quella di Ce(IV)non
4+
reagito. Poiché [Ce ] è bassa rispetto alle altre è trascurabile:
2+ 3+
Sostituendo [Fe ] e [Fe ] nell’equazione di Nerst si ha:
• Potenziale al punto di equivalenza:
• Potenziale dopo l’aggiunta di 25.10ml di Ce(IV):
Le concentrazioni di Ce(III), Ce(IV) e Fe(III) sono facilmente calcolabili. La concentrazione di Fe(II) è bassa.
Per il calcolo di E conviene usare le semi-reazioni delle due specie di Cerio.
sistema 2+
La concentrazione di Fe la si trascura rispetto a quella di Cerio. Inserendo tali valori nell’equazione di Nerst
si calcola il potenziale del sistema:
82
ANALISI POTENZIOMETRICA
I metodi di analisi potenziometrica si basano sulla misura del potenziale delle celle elettrochimiche in assenza di
corrente.
Schema di una cella per analisi potenziometriche:
E : semicella con potenziale elettrodico noto indipendente dalla
rif
concentrazione dell’analita o di altri ioni presenti in soluzione.
E : elettrodo immerso nella soluzione da analizzare, assume un
ind
potenziale che dipende dall’attività dell’analita da determinare.
Ponte Salino: previene il mescolamento dei componenti della soluzione
da analizzare con quelli dell’E . L’uso del ponte salino determina la
rif
presenta di un potenziale di giunzione alle estremità del ponte. I
potenziali sono di segno opposto e tendono ad annullarsi se gli ioni del
pone salino hanno la stessa mobilità.
Potenziale di cella:
E E E E
cella ind rif j
E corrisponde all’informazione che si vuole ottenere, da esso si deve
ind
risalire alla concentrazione dell’analita mediante calibrazione del
sistema con soluzioni a concentrazione nota.
I risultati delle determinazioni potenziometriche sono le attività.
a x
x x
Il cui coefficiente di attività dipende dalla forza ionica della soluzione.
ELETTRODO DI RIFERIMENTO
Deve avere un potenziale noto, costante e indipendente dalla composizione della soluzione da analizzare.
Elettrodo a Calomelano (Hg Cl )
2 2 83
Elettrodo di 2° specie, presentante la catena galvanica: Hg|Hg Cl |KCl
2 2
(soluzione satura o 3M). L’equilibrio esistente in questo elettrodo è:
Il potenziale fisso e costante di questo elettrodo è dato a 25°C da:
Essendo uguali le attività dell’Hg Cl e Hg, entrambe pari a 1 perché solidi
2 2
puri, si ha: -
Il potenziale dipende quindi dalla concentrazione del Cl . Nel tipo a KCl
-
saturo, la concentrazione di Cl è di circa 4,2M e il suo potenziale a 25°C
vale 0.244V.
E’ però più frequente l’uso dell’elettrodo con soluzione di KCl 3M, perché
non cristallizza ostruendo il giunto liquido. Può essere impiegato fino a 70°C perché a temperatura maggiori l’Hg Cl
2 2
può dismutare. Teme soluzioni contenenti ioni solfuro, forti ossidanti e riducenti e agenti in grado di complessare Hg.
Le soluzioni sono sempre satura di Hg Cl , poiché c’è dipendenza dalla concentrazione di KCl, che deve essere sempre
2 2
specificata.
Il braccio destro contiene un contatto di Pt, una piccola quantità di pasta di mercurio/cloruro mercurio (I) a contatto
con una soluzione satura di KCl e pochi cristalli di KCl. Il tubo è riempito con una soluzione statura di KCl che agisce da
ponte salino attraverso un setto poroso.
Elettrodo ad Argento/Cloruro di Argento
Sistema largamente utilizzato.
La sua catena galvanica è: Ag|AgCl|KCl (soluz. 3M).
L’equilibrio esistente all’elettrodo è:
Il suo potenziale a 25°C, calcolato secondo gli stessi criteri usati
per l’elettrodo a calomelano, è dato da:
E°=0.222V. A 25°C il potenziale fisso e costante risulta pari a
0.197V per il tipo a KCl saturo e 0.208V per il tipo a KCl 3M.
Questi elettrodi si possono usare a temperature superiori a 60°C.
ELETTRODI INDICATORI
Devono rispondere in modo rapido e ripetibile alle variazioni di concentrazione di uno ione analita. Esistono elettrodi
ad elevata sensibilità.
Elettrodi indicatori metallici
Sono classificati in:
• Elettrodi di Prima specie (o reversibili al catione): sono costituiti da un metallo (forma ridotta) immerso in
una soluzione dei suoi ioni (forma ossidata). L’equilibrio in cui è interessato è:
n
Me ne Me
Mentre il potenziale teorico che assume, si può calcolare applicando l’equazione di Nerst (25°C)
n+ n+
All’attività della specie Me si può sostituire la concentrazione molare [Me ] se il coefficiente di attività non
è molto diverso da 1. Sono elettrodi che rispondono solo a determinate specie.
Esempio:
Per cui:
84 In soluzioni diluite l’attività può essere sostituita dalla concentrazione molare. Spesso il potenziale di E è
ind
espresso in termini della funzione “p” del catione (pX=-log a ):
Cu2+
Generalizzando: 85
Grafici E in funzione di pX divengono:
ind
Gli elettrodi di prima specie non sono molto utilizzati nelle analisi potenziometriche:
-Poco selettivi
-Problemi di solubilità (zinco e cadmio si sciolgono in soluzioni acide)
-Problemi di Ossidazione
-Problemi di Ripetibilità (Fe, Cr, Co e Ni)
Gli elettrodi effettivamente utilizzati sono:
+ 2+
-Ag/Ag e Hg/Hg in soluzioni neutre
2+ 2+ 2+ 2+
-Cu/Cu , Zn/Zn , Cd/Cd , Pb/Pb in soluzioni private di ossigeno.
• Elettrodi di Seconda specie (o reversibili all’anodo): sono costituiti da un metallo, a contatto con un sale
poco solubile, immerso in una soluzione contenente lo stesso anione del sale poco solubile. Un esempio di
questo tipo di elettrodi è classico Ag|AgCl|KCl. L’equilibrio cui è interessato è:
Il suo potenziale teorico a 25°C, si può calcolare:
Siccome sia l’Ag che AgCl sono solidi:
0 0
E E 0.059log a E 0.059 pCl
AgCl / Ag AgCl / Ag
Cl
In questo caso i metalli servono non solo come elettrodi indicatori per il loro rispettivo catione, ma possono
essere utilizzati per misurare l’attività di anioni che formano precipitati poco solubili o complessi stabili con i
cationi. Grafico del potenziale dell’elettrodo ad argento:
• Elettrodi di Terza specie: vengono utilizzati per sistemi redox, si utilizzano materiali come il platino, palladio o
oro, possono essere utilizzati per monitorare reazioni redox. Ad esempio il potenziale dell’elettrodo di Pr
immerso in una soluzione di Cerio (III) e Cerio (IV) è dato da:
86
Elettrodi a Membrana-Elettrodo a Vetro
L’esempio tipico di elettrodo a membrana è l’elettrodo a vetro che serve per la misurazione del pH.
+
L’elettrodo a vetro è un elettrodo a membrana sensibile agli ioni H .
Può essere di tipo semplice o combinato, la seconda conformazione è la più usata, in essa l’elettrodo di riferimento e
quello di misura sono combinati in un corpo tubolare unico.
Elettrodo a Vetro (E ): membrana di vetro sensibile al pH, saldata all’estremità di un tubo di vetro più resistente. Nel
ind
tubo è contenuto un volume di una soluzione di HCl diluito satura di cloruro di Argento.
Un filo di argento immerso nella soluzione forma un elettrodo di riferimento ad argento/cloruro di argento. Assieme
all’elettrodo a calomelano (E ) sono connessi ai morsetti dello strumento per la misura del potenziale.
rif
Sonda in Combinazione: composta sia da un a vetro indicatore sia da uno elettrodo di riferimento ad
elettrod-o
argento/argento cloruro. Un secondo elettrodo ad Ag/AgCl funge da riferimento interno per l’elettrodo a vetro.
Nel caso dell’elettrodo a vetro la concentrazione/attività dei protoni all’interno della membrana è costante. Poiché
+
all’interno del bulbo è contenuta una soluzione di ioni H aventi attività “a ”, immergendolo in sula soluzione ad
H int
attività “a ” diversa dalla prima, nasce tra le due facce della membrana di vetro una d.d.p che è funzione della
H est +
differenza di attività degli ioni H tra la soluzione interna e quella esterna, tale d.d.p è il valore che si legge con il
pHmetro.
Il vetro della membrana è costituito da Na O, CaO, SiO . Altre formulazioni sostituiscono Na e Ca son Ba e Li.
2 2
Il vetro è un reticolo tridimensionale di gruppi di cui ogni silicio è legato a 4 ossigeni, ogni ossigeno è condiviso da 2
atomi di silicio. Negli interstizi sono presenti cationi che bilanciano la carica negativa dei silicati.
+ +
Cationi a carica singola (Na ,Li )si muovono e sono responsabili della conduzione elettrica.
+ + +sol
La membrana scambia ioni dal reticolo, quali Na e Li con ioni H .
esterna +
Naturalmente l’entità degli scambi sulle due facce sono diverse se le attività degli ioni H interni ed esterni, sono
diverse. Il contato elettrico tra le due soluzioni separate da vetro è garantito quindi da spostamenti interni di Cationi.
87
Idratazione: è sempre necessaria per il corretto funzionamento del pHmetro, consiste in una reazione di scambio
ionico fra cationi a carica singola del reticolo vetroso e i protoni della soluzione.
Sono coinvolti solo cationi +1 perché 2+ e 3+ sono trattenuti troppo da silicato per poter scambiare.
Esempio di reazione di scambio:
-
Le cariche negative Gl sono gli ossigeni legati al silicio.
Potenziale della cella: il potenziale dipende da 4 contributi.
E : elettrodo ad Ag/AgCl di riferimento
AgCl/Ag
SCE: elettrodo a calomelano di riferimento
E : potenziale di giunzione he si forma ali estremi del ponte salino che separa l’elettrodo a calomelano della soluzione
j
di analita.
E : potenziale di interfase che varia con il pH della soluzione di analita, dipende da E e E , ovvero i potenziali alle due
b 1 2
superfici della membrana di vetro. Derivano dalla carica elettrica superficiale che si accumula in conseguenza delle
reazioni di scambio:
Si hanno due interfasi, attraverso cui avviene lo scambio:
1. Interfase tra la superficie esterna del vetro e la soluzione di analita
2. Interfase tra la superficie interna del vetro e la soluzione interna.
Quando le posizioni dei due equilibri differiscono la superficie su cui avviene la dissociazione maggiore si carica
negativamente rispetto all’altra superficie.
La differenza di potenziale tra le due superfici è detto potenziale di interfase:
“a ”: attività soluzione interna
1
“a ”: attività soluzione esterna
2
Occorre tener sempre conto della possibile presenza del potenziale di giunzione, normalmente si cerca di
minimizzarne gli effetti utilizzando ioni con la stessa mobilità.
Siccome “a ” è costante, il potenziale di interfase può essere scritto come:
2
Dove: +
Il potenziale di interfase si riduce ad una misura dell’attività dello ione H nella soluzione esterna.
Potenziale di Asimmetria: se soluzioni identiche e stessi elettrodi di riferimenti sono posti ai lati della membrana di
vetro E dovrebbe essere nullo, ma esiste comunque un piccolo potenziale di asimmetria. Per eliminare il bias (errore
b
sistematico) dovuto al potenziale di asimmetria gli elettrodi devono essere calibrati con soluzioni standard. Le soluzioni
standard utilizzate per la calibratura sono sia a pH acidi che basici, in modo tale da avere un ampio range.
Potenziale dell’elettrodo a vetro:
Il potenziale di E è dovuto a:
ind
• Elettrodo ad Ag/AgCl interno
• Potenziale di interfase (attività ioni della soluzione esterna)
• Potenziale di asimmetria, che cambia nel tempo
88
Sostituendo l’espressione già trovata per E si ottiene:
b
L’elettrodo indicatore è quello a vetro ed è quindi sensibile alle variazioni di pH. +
Errore Alcalino: in soluzioni basiche gli elettrodi a vetro sono sensibili sia agli ioni H , ma anche a quelli dei metalli
+
alcalini, come Na . La presenza di ioni come il sodio può dare competizioni con lo scambio ionico della membrana,
+
inducendo una misura errata della reale concentrazione di ioni H .
L’errore misurato è negativo (pH misurato-pH reale), di conseguenza i valori di pH sono inferiori a quelli veri.
+
Esiste uno scambio ionico fra gli ioni H sulla superficie del vetro ed i cationi in soluzione:
+
“B ”: catione a carica singola, come lo ione sodio.
La costante di equilibrio di questo processo può essere scritta nel seguente modo:
“a ” e “b ”: attività in soluzione; “a’ ” e “b’ ” attività sul vetro.
1 1 1 1
Può essere riscritta come: ' '
b a
Siccome K è piccola, anche il rapporto sarà piccolo.
sc 1 1 +
In ambiente alcalino (es. soluzione a pH 11 con Na 1M):
+ +
Per cui l’attività dello ione Na è grande rispetto a H e l’elettrodo risponde ad entrambe le specie.
Errore Acido: si verifica solitamente a pH inferiore a 0.5, esso consiste in un errore positivo, ovvero la lettura del pH
tende ad essere troppo alta. Le cause alla base di questo fenomeno non sono ancora note, ma si pensare che possa
+
essere legata ad una saturazione della membrana che impedisce la sensibilità alle variazioni di ioni H . Ovvero tutti gli
interstizi del vetro occupati impediscono di leggere in modo preciso la concentrazione reale.
Osservando un grafico a concentrazione costante di ioni metallici ma a pH variabile:
Errori che influenzano il pH:
• Errore Alcalino, letture inferiori a pH>9
• Errore Acido, letture maggiore a pH<0.5
• Errore del pH del tampone standard, imperizia nella preparazione/conservazione le tampone usato per
calibrare
• Variazione del potenziale di giunzione, causata dalla differente composizione dello standard e della soluzione
incognita.
Un elettrodo ideale deve rispondere in maniera rapida e riproducibile alle variazioni di concentrazioni di analita.
Gli elettrodi sono infatti scelti in funzione alla titolazione da seguire:
• Complessometrica: l’elettrodo deve essere costituito dall’elemento stesso che partecipa alla reazione;
• Acido-base: elettrodo a membrana o idrogeno
• Redox: se la reazione avviene all’interno della soluzione occorre scegliere un elettrodo che non partecipi alla
reazione, si usa quindi platino, in tal modo si misurano i potenziali delle specie coinvolte. 89
POTENZIOMETRIA DIRETTA
I dati si ottengono per confronto tra il potenziale sviluppato dall’elettrodo di riferimento nella soluzione dell’analita
con una a concentrazione nota (retta di calibrazione).
E è sempre considerato come elettrodo di destra e E come elettrodo di sinistra:
ind rif n+
Risposta di E verso l’attività degli analiti, per il campione X e 25°C:
ind
“L”: costante; “a ”: attività catione; Per E metallici L corrisponde a E°.
x ind
Sostituendo E nell’espressione E :
ind cella
Si raggruppano i termini costanti (K):
n-
Nel caso di anioni A :
Se si risolvono le espressioni rispetto a E :
cella
Nel caso dei cationi un aumento di pX causa una diminuzione di E . Per evitare confusioni negli strumenti
cella
commerciali sensibili ai cationi E è collegato al polo negativo dello strumento che misura il voltaggio.
ind
Nel caso di elettrodi sensibili agli anioni, E è collegato al polo + dello strumento.
ind
Calibrazione elettrodo: la costante K dipende da diversi fattori tra cui E che non può essere valutato teoricamente
j
senza assunzioni, né misurato, occorre valutarlo sperimentalmente, mediante l’utilizzo di una soluzione standard di
analita. Il valore di “K” viene determinato misurando E per più soluzioni d standard a pH o pX noto.
cella
Assunzione: K non varia passando dalla soluzione standard a quella di analita.
La calibrazione deve essere fatta poco prima dell’utilizzo.
Attività v.s. Concentrazione: la risposta di un elettrodo è correlata all’attività di un analita. Poiché si desiderano
informazioni sulla concentrazione occorrerebbe conoscere i coefficienti di attività, ciò non è sempre possibile.
• Potenziale v.s. concentrazione: assenza di linearità dovuta all’aumento di forza ionica in funzione alla conc. di
analita
• Potenziale v.s attività: linea retta.
Si utilizzano tamponi regolatori della forza ionica totale. Ovvero si aggiunge un elettrolita inerte sia al campione che
alla soluzione standard affiche abbiano circa la stessa forza ionica, aggiungendolo in quantità elevate si rende
trascurabile l’effetto dell’analita.
Elettrodi iono-selettivi o iono-specifici: esistono membrane in grado di scambiare selettivamente atre specie ioniche
(cationi e anioni), così come avviene per quello a vetri la differente entità di scambi tra le interfacce genera una d.d.p.
detta potenziale di membrana.
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I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Framework di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Chimica Analitica II e Chemiometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Parma - Unipr o del prof Bianchi Federica.
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