Appunti di Geometria

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Appunti di Geometria

Geometria - Appunti

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. G. Accascina

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Appunto

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Gli argomenti trattati in questi appunti sono: - Equazioni lineari e numeri (Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi); - Matrici e insiemi (Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi); - Lo spazio vettoriale delle matrici (Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà); - Moltiplicazioni tra matrici (Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari); - Determinanti (Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet); - Matrice inversa (Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer); - Rango di una matrice (Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare); - Sistemi di equazioni lineari (Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare); - Metodo di Gauss (Applicazioni del metodo di Gauss Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango); - I vettori geometrici (Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio); - Combinazioni lineari di vettori geometrici (Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O)); - Spazi vettoriali sui reali (Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali) - Sottospazi vettoriali (Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O)); - Generatori di spazi vettoriali (Combinazioni lineari e generatori); - Dipendenza e indipendenza lineare; - Basi di spazi vettoriali (Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi); - Intersezione e somma di sottospazi (Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta di sottospazi); - Sottospazi affini (Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema); - Equazioni vettoriali di rette e piani (Equazioni vettoriali di rette. Semirette e segmenti. Equazioni vettoriali di piani. Condizioni di allineamento e complanarità); - Riferimenti affini (Sistemi di riferimento affine nel piano. Sistemi di riferimento affine nello spazio. Punto medio. Condizioni di allineamento e complanarità); - Equazioni parametriche (Equazioni parametriche di rette nel piano. Posizioni reciproche di rette nel piano. Equazioni parametriche di rette nello spazio. Equazioni parametriche di piani nello spazio. Semirette, semipiani e segmenti); - Equazioni cartesiane nel piano (Equazioni cartesiane di rette. Equazione cartesiana ed equazioni parametriche. Retta passante per due punti. Intersezione di rette. Fasci di rette. Semipiani); - Equazioni cartesiane nello spazio (Equazioni cartesiane di piani. Equazioni cartesiane e parametriche di piani. Piano passante per tre punti. Intersezione di piani. Equazioni cartesiane di rette. Fasci e stelle di piani. Semispazi); - Funzioni tra insiemi (Funzioni. Immagini e controimmagini. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione inversa. Composizione di funzioni); - Omomorfismi (Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice); - Immagine (Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo); - Nucleo (Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo. Controimmagini); - Isomorfismi; - Endomorfismi (Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base); - Autovalori e autovettori (Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili); - Diagonalizzazione (Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione); - Prodotto scalare di vettori geometrici (Norma di un vettore geometrico. Prodotto scalare di vettori geometrici. Basi ortogonali e ortonormali nel piano. Basi ortogonali e ortonormali nello spazio. Calcolo di angoli); - Riferimenti cartesiani (Riferimenti cartesiani nel piano. Riferimenti cartesiani nello spazio. Distanza tra punti); - Geometria analitica metrica del piano (Ortogonalità tra rette. Angoli tra rette. Distanza tra un punto e una retta. Distanza tra due rette. Circonferenze); - Geometria analitica metrica dello spazio (Ortogonalità fra rette. Angoli tra rette. Parallelismo e ortogonalità tra rette e piani. Distanze tra punti, rette e piani. Sfere e circonferenze); - Prodotto scalare in Rn (Prodotto scalare. Basi ortonormali. Matrici ortogonali); - Diagonalizzazione di matrici simmetriche (Matrici ed endomorfismi simmetrici. Procedimento di diagonalizzazione); - Geometria in Rn (Sottospazi affini. Parallelismo di sottospazi affini. Inviluppi affini. Iperpiani. Ortogonalità. Insiemi convessi e semispazi).

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Appunti Geometria

Esame Geometria e combinatoria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Trujillo

Università Università degli Studi Roma Tre

Appunto

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Matrici: Matrici ad elementi reali. Lo spazio vettoriale M(m,n)(). Trasposta di una matrice. Matrici quadrate. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Decomposizione di una matrice quadrata in parti simmetrica ed antisimmetrica. Matrici triangolari e matrici diagonali. Prodotto di una matrice riga per una matrice colonna. Prodotto righe per colonne di matrici. Matrici unità. Matrici invertibili. Inversa della trasposta e del prodotto di matrici invertibili. Il gruppo GL(n; ). Determinanti e rango: Determinante di una matrice (1,1). Complemento algebrico di un elemento di una matrice quadrata. Teorema di Laplace (senza dimostrazione). Proprietà dei determinanti. Teorema di Binet (senza dimostrazione). Matrici singolari e non. Inversa di una matrice non singolare. Il teorema di Cramer. Dipendenza ed indipendenza lineare delle colonne (righe) di una matrice. Rango di una matrice. Caso delle matrici quadrate. Metodo degli orlati. Teorema di Rouchè-Capelli: Metodo generale di soluzione dei sistemi lineari. Metodo di eliminazione-riduzione di Gauss-Jordan: determinazione del rango di una matrice, risoluzione di un sistema lineare, determinazione della inversa di una matrice non singolare. Spazi vettoriali: Lo spazio dei vettori geometrici applicati in un punto. Segmenti orientati equipollenti. Vettori liberi. Spazi affini e spazi vettoriali. Un esempio fondamentale: lo spazio Rn. Spazi vettoriali reali. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Combinazioni lineari di vettori. Generatori di uno spazio o di un sottospazio vettoriale. Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori. Base di uno spazio vettoriale e coordinate di un vettore in una base. Il teorema di completamento delle basi. Basi finite e dimensione di uno spazio vettoriale. Riduzione ad Rn. Cambiamenti di base e trasformazioni di coordinate. Orientazione di Rn: basi equiverse e controverse. Sottospazi di Rn: basi, dimensione, equazioni parametriche, codimensione, equazioni cartesiane. Intersezione e somma di due o più sottospazi. Formula di Grassmann. Somme dirette. Sottospazi supplementari. Prodotti scalari: Prodotto scalare standard in Rn e sue proprietà; definita positività e non degenerazione. Norma o lunghezza di un vettore. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Misure angolari. Area del parallelogramma. Volume del parallelepipedo. Proiezione di un vettore su un altro. Coefficienti di Fourier. Basi ortogonali e basi ortonormali di uno spazio o di un sottospazio. Procedimento di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio. Cambiamenti di basi ortonormali. Matrici ortogonali. Applicazioni lineari: Definizione ed esempi. Matrice di un'applicazione lineare rispetto a due basi fissate. Nucleo ed immagine. Teorema nullità più rango. Applicazioni lineari iniettive, suriettive, bijettive. Isomorfismi. Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici. Isomorfismi e matrici invertibili. Matrice di un'applicazione lineare e cambiamenti di base. Operatori: Endomorfismi o operatori di Rn. Potenze di un endomorfismo. Operatori e cambiamenti di base: matrici simili. Matrici ed operatori diagonalizzabili. Autovettori ed autovalori di un operatore. Autospazi. Spettro di un operatore. Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica. Calcolo degli autovalori e degli autovettori. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Teorema fondamentale sulla diagonalizzabilità. Trasposto di un operatore. Operatori simmetrici ed antisimmetrici. Il teorema spettrale (senza dimostrazione). Operatori ortogonali. Isometrie.

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Lezioni, Geometria 3

Esame Geometria 3

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. A. Fino

Università Università degli studi di Torino

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Corso del II anno della triennale in matematica. Forme differenziali in R^n e app multilineari antisimmetriche. Superfici regolari nello spazio, I e II Forma Fondamentale. Università degli Studi di Torino - Unito, Facoltà di Scienze matematiche fisiche e naturali.

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Appunti di Geometria UniGe (Catalisano)

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. M. Catalisano

Università Università degli studi di Genova

Appunto

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Appunti di geometria da me trascritti in formato digitale, con disegni, grafici, schemi ed esempi. Corso di Ingegneria civile ed ambientale a genova, primo anno, con la prof. Catalisano. Università degli Studi di Genova - Unige. Scarica il file in formato PDF!

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Geometria 1

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. M. Serpico

Università Università degli studi di Genova

Appunto

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Appunti di Geometria 1 basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Mattera dell’università degli Studi di Genova - Unige,Facoltà di Ingegneria, Corso di laurea in ingegneria navale Ingegneria. Scarica il file in formato PDF!

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Geometria - Esercitazione

Esame Geometria 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. L. Lo Monaco

Università Università degli studi di Napoli Federico II

Esercitazione

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Esercitazione per l’esame di Geometria 1 del professor Lo Monaco. Nel testo sono presenti diversi quesiti a cui poter rispondere, tra cui: - indicare, se esiste, una base di R3 costituita da autovettori rispetto all'endomorfismo F; - indicare per quali valori di h F è iniettiva; - dire quali dei seguenti scalari sono autovalori per G:k=0, k=1, k=-1, k=2, k=-2.

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Riassunto esame Geometria, prof. Nelli, libro consigliato Algebra lineare, Capocasa, Medori

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. B. Nelli

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Appunto

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Riassunto per l'esame di Geometria della prof. Nelli, basato su appunti personali e studio autonomo del testo consigliato dal docente Algebra lineare e geometria analitica, Capocasa, Medori. Gli argomenti trattati sono i seguenti:Riferimenti cartesiani. Segmenti orientati. Vettori geometrici. Vettori paralleli e complanari. Coordinate dei vettori. Equazioni parametriche di una retta. Equazione di un piano. Intersezione e parallelismo tra piani. Equazioni cartesiane di una retta. Intersezione e parallelismo tra una retta e un piano. Intersezione e parallelismo tra rette. Rette sghembe. Prodotto scalare. Distanza di due punti. Prodotto vettoriale. Angolo tra due rette. Distanza punto-retta nel piano. Distanza punto-piano. Angolo tra due piani. Angolo tra retta e piano. Distanza punto-retta nello spazio. Distanza tra due rette sghembe. Circonferenze del piano e loro posizioni reciproche. Posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza, in particolare retta tangente ad una circonferenza. Sfere nello spazio e loro posizioni reciproche. Posizioni di un piano rispetto ad una sfera, in particolare piano tangente ad una sfera.

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Riassunto esame Geometria (Algebra Lineare), prof. Nelli, libro consigliato Algebra lineare, Capocasa, Medori

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. B. Nelli

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Appunto

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Riassunto per l'esame di Geometria della prof. Nelli, basato su appunti personali e studio autonomo del testo consigliato dal docente Algebra lineare e geometria analitica, Capocasa, Medori. Gli argomenti trattati sono i seguenti:Spazi vettoriali. Dipendenza lineare. Basi. Dimensione. Teorema del completamento della base. Sottospazi. Intersezione e somme di sottospazi. Relazione di Grassmann. Lo spazio vettoriale delle matrici m x n. Prodotto di matrici. Determinante di una matrice quadrata. Matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi lineari. Teorema di Rouch-Capelli. Sistemi omogenei. Lo spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo. Teorema di Cramer. Algoritmo generale per determinare l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile.

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Parte 1, Geometria 3

Esame Geometria 3

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. G. Nordo

Università Università degli Studi di Messina

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Appunti di Geometria 3 per l’esame del professor Nordo. Gli argomenti trattati sono i seguenti: richiami- spazi topologici, spazio morfologico, limite, assiomi di numerabilità, palla aperta e palla chiusa, esempi di spazi metrici, spazio metrico, esempi di spazi metrici completi.

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Teoria degli insiemi, Geometria

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. A. Rapagnetta

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

Appunto

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Appunti ben strutturati sulla teoria degli insiemi per l'esame di geometria tenuto dal professor Rapagnetta. Esso comprende e tratta i seguenti argomenti trattati: la definizione dei tipi di insiemi, le notazioni insiemistiche, le operazioni sugli insiemi.

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Geometria - Esercitazioni

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. L. Gatto

Università Politecnico di Torino

Esercitazione

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Esercitazione di Geometria, il cui corso è stato tenuto dal professore Gatto e le esercitazioni dal professore Cordovez. Il programma è stato il seguente: Calcolo vettoriale: Concetto di vettore geometrico e operazioni con i vettori. Prodotto scalare, distanze, angoli. Prodotto vettoriale, misto, aree e volumi. Geometria del piano e dello spazio Geometria del piano: rette e coniche. Geometria dello spazio: rette e piani, equazioni cartesiane e parametriche. Rotazioni nel piano e nello spazio. Curve parametriche nel piano e nello spazio (funzioni di variabile reale a valori in R^n). Vettore e retta tangente. Lunghezza di un arco di curva e integrale curvilineo. Spazi vettoriali Definizione di spazio vettoriale e sottospazio. Combinazione lineare; generatori. Dipendenza e indipendenza lineare; basi. Dimensione di spazi e sottospazi. Operazioni sui sottospazi. Spazi R^n e loro sottospazi. Matrici e sistemi Matrici e operazioni (somma, prodotto tra matrici, prodotto di uno scalare per una matrice, trasposizione). Riduzione di una matrice e suo rango. Determinante, potenze e inverse di matrici quadrate. Sistemi di equazioni e loro forma matriciale. Teorema di Rouchè-Capelli e Teorema di Cramer . Spazi generati dalle righe o dalle colonne di una matrice e loro dimensione. Applicazioni lineari Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Isomorfismi. Matrici e applicazioni lineari. Nucleo e Immagine. Endomorfismi, cambiamento di base. Diagonalizzazione Autovalori, autovettori e autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovettore. Condizioni necessarie e sufficienti per la diagonalizzabilità. Matrici simmetriche e matrici ortogonali. Diagonalizzazione di matrici simmetriche. Forme quadratiche. Funzioni in più variabili Funzioni con dominio in R^n. Elementi di topologia. Limiti e continuità. Derivate parziali e matrice Jacobiana. Funzione in due variabili a valori reali. Differenziabilità, gradiente e piano tangente al grafico. Derivate seconde, matrice Hessiana. Sviluppi in serie di Taylor. Punti critici. Superfici e quadriche Sfere, quadriche (ellissoidi, paraboloidi, iperboloidi, coni e cilindri). Superfici in forma parametrica. Vettore normale e piano tangente in un punto.

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Geometria - esercizi

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. A. Scaramuzza

Università Università degli Studi di Firenze

Esercitazione

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Esercitazione di Geometria per l'esame della professoressa Scaramuzza. Gli argomenti trattati sono i seguenti: i tre vettori linearmente indipendenti, i sistemi lineari, due sistemi lineari, una matrice e il determinante, le sei matrici e il determinante, la risoluzione degli esercizi.

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Geometria - teoremi e definizioni

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. G. Gaeta

Università Università degli Studi di Palermo

Appunto

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Appunti di Geometria per l’esame del professor Gaeta. Gli argomenti trattati sono i seguenti: i teoremi e le definizioni, lo spazio vettoriale, la caratterizzazione di un sottospazio vettoriale, i vettori veramente dipendenti, il teorema, la dimensione, l'osservazione.

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Geometria - Appunti

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D. Pasquali Coluzzi

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Appunto

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Appunti di Geometria per l’esame del professor Pasquali Coluzzi. Gli argomenti trattati sono i seguenti: l'insieme dei numeri naturali, l'intersezione, l'unione, la differenza simmetrica, la somma disgiunta, il prodotto cartesiano, le strutture algebriche.

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Geometria modulo 1 - Esercizi

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. C. Cumino

Università Politecnico di Torino

Esercitazione

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Esercizi svolti e commentati della prima parte del corso di Geometria della professoressa Caterina Cumino al Politecnico di Torino, prima facoltà di Ingegneria, corso di laurea in ingegneria meccanica. Argomenti: rette e piani in forma cartesiana e parametrica.

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Riassunto esame Geometria, prof. Ratto, libro consigliato Matematica per le Scuole di Architettura di Ratto e Cazzani

Esame Geometria

Facoltà Architettura

Dal corso del Prof. A. Ratto

Università Università degli Studi di Cagliari

Appunto

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Riassunto per l'esame di Geometria, basato su appunti personali e studio autonomo del libro Matematica per le Scuole di Architettura di Ratto e Cazzani consigliato dal docente Ratto. Formule teoriche su: - Campo vettoriale: operazioni coi vettori (spazio tridimensionale e bidimensionale); Individuazione di rette e piani nello spazio; rette incidenti, sghembe e parallele. - Campo dei numeri complessi: operazioni fra numeri complessi;Teoremi fondamentali dell'algebra coi numeri complessi. - Matrici: operazioni fra matrici; teorema di Kronecker;teorema di Rouchè-Capelli; autovalori; sistemi lineari ; Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Shmidt; sistemi di Cramer; Basi ortonormali; diagonalizzazione; Coniche degeneri o non degeneriM studi delle coniche attraverso il metodo di completamento dei quadrati e della rotazione degli assi; - tabella dei valori di seno e coseno.

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Geometria - Elementi di teoria dei vettori

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. M. Serpico

Università Università degli studi di Genova

Appunto

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Appunti di Geometria per l'esame della professoressa Persico su: elementi di teoria dei vettori. Lo spazio e sottospazio vettoriale dei vettori geometrici nello spazio. Algoritmo degli scarti successivi. Vettori geometrici. Prodotto scalare e vettoriale di due vettori. Prodotto misto. Calcolo delle coordinate di un vettore rispetto ad una base arbitraria. Riferimento cartesiano ortogonale e vettori. Lineare dipendenza.

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Geometria - Esercizi

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. G. Marini

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

Esercitazione

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Esercizi di Geometria per l'esame del professor Marini. Gli argomenti trattati sono i seguenti: sistemi al variare di un parametro reale, vettori, trasformazioni lineari, funzioni iniettive e suriettive, matrici, trasformazione lineare ortogonale, proiezione ortogonale su un piano.

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Geometria - Teoria degli Insiemi

Esame Geometria

Facoltà Interfacoltà

Dal corso del Prof. M. Funk

Università Università degli studi della Basilicata

Appunto

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Appunti sulla Teoria degli Insiemi: Insiemistica generale, Insiemi Notevoli, Coppie Ordinate, Prodotto Cartesiano, Relazioni e Partizioni. Utili per la preparazione dell'esame di Geometria del professor Martin Funk, facoltà di Scienze e tecnologie informatiche.

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Geometria - funzioni di più variabili

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. C. Cumino

Università Politecnico di Torino

Appunto

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Appunti di Geometria per l'esame della professoressa Cumino sullo studio di funzioni a più variabili. Viene esposto in modo conciso, ma completo il metodo da seguire per eseguire correttamente uno studio di funzioni di più variabili con particolare attenzione rivolta allo studio delle matrici hessiane per la determinazione dei punti di massimo, minimo e di sella.

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