Esercizi Algebra e geometria lineare

Revisionato il 09/09/2026

di stefanodenti06

Publisher

Vota

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Esercizi completi con svolgimento e spiegazione necessari per il superamento dell'esame di Geometria del Primo Anno di Ingegneria Meccanica.Argomenti: -Spazi vettoriali -Geometria analitica …

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Battaglia Fiammetta

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2021-2022

73 pagine

Esercitazione

Scarica

Estratto del documento

Esercizio 1 - Dal tuo riduz. (esercitazione)

Studiare al variare di h, k ∈ R² la mutua posizione delle rette:

X + y - 2 = 0
X + y + z = 0
X + y - 2z = 0

Svolgimento

Due rette possono essere complanari o skewlines.

Quando le rette sono scritte in forma cartesiana e abbiamo dei parametri conviene utilizzarle in sistema.

Metto tutte e due le equazioni in un sistema 2; risolvo il sistema:

X + y = 0
X + y + 2 = 0

Scrivo la matrice associata a questo sistema mettendo in una riga i coefficienti decurtati x, y, z in matrice chiamato matrice.

Applico la riduzione di Gauss:

1 - 1 | 0
0 0 2 | 0

Faccio una combinazione lineare per togliere (k h z) sotto e sopra 0.

R₂ = R₂ - R₁
R₃ = R₃ - R₁
(Ho trovato uno scopo)

(Ho diviso tutto x 1)

R₄ = D’ R₄ - (R₁) R₃

Questo può essere 0.

R₁ - qui dov’è sempre un coefficiente z 0.

Esempio: R₄ = R₁ - R₁ * R₃ - non vedendo delle linee.

Esercizio 1_{Dal tuo rid.am. (esercitazione 2)}

Perché C3 = vacanze estive.

Svolgimento

Due rette possono essere coincidenti o parallele. Possono essere complanari: se appartengono allo stesso piano. Se in un caso coincidono. Parallelamente e lo stesso non stanno in piano.

Quando le rette sono scritte in forma cartesiana e abbiano dei parametri. Possono essere utilizzate in sistema.

Trattare tutte e due le equazioni in un sistema e poi se ancora combinazioni.

Metto tutte e 2 le equazioni in un sistema:

X + y + z = 0
X + y + z = 0
X + y + z = 0
X + y + z = 0

Applico la riduzione di Gauss.

Svolgendo la matrice associata a questo sistema posso determinare il sistema metodo in cui inizializza 1 i coeff. determinato anche se la x è 0 allora è semplice farlo.

Dobbiamo discutere il caso in cui la traccia è l = 0 e il caso in cui la traccia è diversa da 0 perché stanno nella procedura principale.

Quindi:

rank(A)=2
rank(A∣B)=3
K≠₀

Pertanto:

K=-1 ∧ K=0
rank(A∣B)=2

Quindi rank(A)=rank(A∣B).

La soluzione è data da: e il sistema ha soluzione perché sono x, y, z.

Se 3-2=1 e il sistema ha infinite soluzioni dipendente da un parametro libero cioè R_x, R_y, Z sono considerati particolari. Con corrispondente ha infinite soluzioni e K=-1 ∧ K_di⁰ rank(A)=2 e il sistema non è risolvibile es:

E il resto sono compiuti perché il rank dei coefficienti rank(A)=2 se mi fossero comparatori rank(A) sarebbe 3 e rn₂ sarebbe parabolici.

Se k ∉ I₂, allora la matrice è ridotta perde l'ultima colonna e quindi rank(A) = 3 rank (A|B)= 3.

Se k = 0:

{ x = 0
{ y = 0
z = 0

Dunque:

P₁ : x = 0 rank(A) = rank (A|B) = 3, cioè sistema ha un'unica soluzione x t₁, t₂ sono indietro e si deve calcolare il punto di intersezione : C. Le stesso lo prendo dalla matrice ridotta:

{ x y- z: 0
{ x = 0
{ x = 0
{ x t y = 0
{ h = y- o
{ z=0

P₁ punto di intersezione è l'origine 0 = (0,0,0)^T.

O: h ≠ 2 ∧ k ≠ 0 rank(A) = 3 rank (A|B) = 4 e il sistema una {unica soluzione e sire = t₁ e ₂ sono liberi t₃ sono soluzioni suffice poiché rank(A) = max = щтлисолo alculando.

Remarsi.

Esercizio 2

Stabilire al variare di h k le mutue posizioni dei piani:

π₁: hx+y+(h-3)z=0
π₂: 3x+y+kz=0

Due piani fra di loro nello spazio possono essere coincidneti, paralleli, incidenti.

Studiamo quindi l'intersezione dei due piani componendo le matrici:

( 3\hx+y+(h-3)z=0) R → (3x+y+kz=0) ⇒ il rigoletto diventa uno spazio perché se si fa questo primo rigoletto con un cancuretto

¶(3 -1 0 | 0) (0)¶
¶(h 1 h-3 | 0 rigoletto a scelta)

Si calcola quindi rank (A|B)=2 Vh, R.

Osserviamo che R= 3-3(3)=9=0 perché D=9+12=320+0 D=8+3R+3=0 quindi ho sempre D=-320 Vh,R.

Il rank (A)=2 se sistemo ho oo' soluzioni Vh,R DT1;T2 sono incidenti Vh,R.

Un altro modo può essere quello di stud

Anteprima

Vedrai una selezione di 16 pagine su 73