Schemi geometria

Matrici

• Scalari: una riga non è sopra tutte le altre righe sotto di essa, tuttavia esiste una riga il cui primo elemento non è zero, di lì su ogni riga, sotto tutti gli zeri che precedono il suo elemento non nullo, e il detto elemento non nullo è detto pivot.
• Quadrata: numero righe = numero colonne.
• Identità (In): tutti 0 meno in diagonale principale o det (In)=1.
• Simmetrica: se A^T=A.
• Antisimmetrica: A^T=-A.
• Triangolare: se a triangolare le righe si ottiene una matrice di triangolo superiore o inferiore... di.

Determinante

Se det = 0, la matrice si dice singolare.

Teorema di Laplace: il determinante associato a ...) e si può calcolare come somma dei prodotti degli elementi di una fila o di una colonna per i rispettivi complementi algebrici. I segni è determinato...

Teorema di Binet: dato due matrici 2x2, si ha sempre det (AB) = detA detB.

Matrici

• Scalare: una riga non è zero tutte le altre righe sotto di essa sono 0 e su trovo il primo elemento non nullo, dirò che è un riga e trovo tutti pari che che l’operando ed esse meno 1 num il primo elemento non nullo è detto pivot.
• Quadrata: n numero righe è numero colonne.
• Diagonale: tutti 0 ma non nella diagonale principale.
• Simmetrica: se A^T = A.
• Antisimmetrica: A^T = -A.
• Se posso scambiare le righe con le colonne.
• Triangolare: se contiene tutti 0 o sopra o tutto sotto.
• Triangolare superiore.
• Triangolare inferiore.
• Le toco dei matrice puoi esistere se il numero di colonne detto matrice A è il vagate delle righe di A^T.

Determinante

Se det = 0 e a matrice si dice singolare.

Teorema Laplace: il determinante associato ad una matrice se si può calcolare come somma del prodotto degli coomuni di un riga o di una colonna per: i rispettivi complementi algebrici.

Teorema Binet: date due matrici 2x2, si ha sempre det(AB)=detA⋅detB.

Complemento Algebrico: il i-esimo minore complementato ottiene un determinante per una eabrato per (-1)^i+j.

Rango

• Il rango r è l'ordine massimo di un minore di A avente determinante non nullo, una matrice a scalini corrisponde al numero dei pivot.

Minore: una sottomatrice quadrata di A si ottiene incrociando m-t righe ed m-t colonne. Detto M-t righe ed m-t colonne, il minore che si ottiene è il minore ottenuto di m.

Teorema di Jacobi: data una matrice quadrata, se è invertibile è rango r = n.

Se una matrice quadrata possiede almeno un minore di ordine r = n a determinante non nullo, il rango coincide con n.

Se i r = n ⇒ det (A) = 0.

Teorema di Rouche-Capelli: Sia S un sistema lineare di m equazioni, in n incognite con matrice dei coefficienti A e la sua matrice completa A|b. Allora:

• Se i compatibile ⇔ ρA = ρA|b se.

Supponendo sia compatibile:

• Se ρA = n una soluzione = sistema determinato.
• Se ρA = n una soluzione = sistema indeterminato.

Sistemi lineari

Un sistema S si dice lineare quando l'incognita compare in una matrice.

• Se il sistema è quadrato ammette una sola soluzione, se.

(1) det (A) ≠ 0.

• Se det (A) = 0 almeno 2 soluzioni.

C(i) si detto minore rispetto alle colonne dei coefficienti il sistema sarà indeterminato (più ignote che pivot) il numero dei parametri uguale al numero del sistema tranne una.

• N(i) si detto quoziente di N(i).

(>) FN, L(i) suppone−> numero L(i) quoziente.

Spazi vettoriali

→ un campo è una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto e da due operazioni binarie interne (somma e prodotto) che godono proprietà.

Consideriamo di avere uno spazio vettoriale V su campo K e {v₁, ... vi} uno spazio vettoriale di vettori di elementi di V, se esiste {λ₁v₁, ..., λnvn} = 0.

Se λ₁, ..., λn non sono→ i vettori si dicono linearmente indipendenti.

Se c'è λi ≠ 0 sono linearmente dipendenti.

→ Un insieme di vettori si dice base di V se:

• È un insieme di generatori.
• È un insieme linearmente indipendente.

Sia V uno spazio vettoriale finito con dimensione.

Dimensione di V è il numero di vettori di una qualunque base di V. Per definizione basta trovare una base di V e contare i vettori che la compongono.

Codimensione codim(W) = dim(V) - dim(W).