Appunti Geometria

Geometria, algebra lineare e lineo

A, B insiemi.

F = {2, 4, giallo, rosa}

P = {1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/7}

Insieme finito.

#F = 3 (cardinalità)

diff.

A ∩ B intersezione (elementi comuni ad A e B)

A ∪ B unione

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

A = {1, 2, 3, 5} B = {1, 4, 8}

esempio:

A ∩ B = {1}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 8}

A × B = prodotto cartesiano fra insiemi = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B }

Geometria, algebra lineare e lineo

A, B insiemi.

F = {2, 3, giallo, rosso}

P = {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6}

insieme finito

insieme infinito

#F = 3 (cardinalità dell'insieme F)

A ∩ B intersezione (elementi comuni ad A e B)

A ∪ B unione

A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B }

A ∪ B = { x | x ∈ A o x ∈ B }

A = {1, 2, 3, 5}

B = {1, 4, 8}

esempi:

A ∩ B = {1}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 8}

A x B: prodotto cartesiano tra insiemi = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

|A|·|B|

A = {1,3,5,7}

C = {1,5,y}

C ⊆ A

contenuto

C è un sottoinsieme di A

≠ C

elementi che appartengono

due insiemi

C ⊆ A

sottostante contenuto e non uguale

C ⊆ A

sottostante contenuto anche possibile uguale

∅ ⊆ A V A insieme vuoto per ognuno

Applicazioni tra insiemi

Applicazioni tra insiemi.

f: A → B

Ad ogni elemento di A (corrisponde) si associa lui solo elemento di B

Non OK

Relazione di equivalenza

Relazione di equivalenza deve avere 3 proprietà.

Riflessiva ogni elemento deve essere in relazione con se stesso una R.

aRb => bRa Simmetrica

aRb bRc allora aRc Transitiva

Classi di equivalenza

A modulo la relazione

f : A → B

Questi due punti stanno nelle immagini di f

L'immagine(f) = {b ∈ B | ∃ a ∈ A con la proprietà f(a) = b}

Applicazioni iniettive e suriettive

Applicazione iniettiva f : A → B

∀a, a' ∈ A f(a) = f(a') implica a = a'

equivalentemente f è iniettiva se ∀b ∈ Im(f) ∃! a ∈ A

Applicazione applicazione iniettiva

È una applicazione non iniettiva

Applicazione suriettiva

Nessun elemento di B rimane fuori

Im f = B

App. caratteristica

Suriettiva

f : A → B

Se f è iniettiva e suriettiva allora si dice che f è bimuoica (biiettiva) (bigettiva)

Quando ho una corrispondenza bivariata posso stabilire anche una corrispondente inversa

f : A → B biumuoica

f^-1 : B → A

iniettiva: cosa garantisce f^-1

eg: B → A presso B solo 1 elemento di A

suriettiva: garantisce che every B ha almeno un corrispondente

Suriettiva

f^-1 non si riferisce

Osservazione

se f: A -> B iniettiva allora g: 1: Imf -> A

Restrictione _dominio

A, B finiti e f: A -> B e suriettiva biunivoca

#(A) = #(B)

Composizione e identità

A -> B -> C

a -> g(f(a))

g o f

Composizione

applicazione di identità: IA →_A

a →_a

A = {1,2,3} I(1) = 1 I(2) = 2 I(3) = 3

A →_i A →_i A

I • f = f

a → f(a) → f◦i

f ◦ I = f

a →_a → f(a)

A ⊆ B

A = {1,7} B = {1,3,7}

i: A →_i B

a →_a

i : A →_i B

i (1) = 1

i (7) = 7

Proiezioni

Proiezioni

A × B = {(a,b)|a ∈ A e b ∈ B}

π_A: A × B → A

(a,b) →_a

π_B: A × B → B

(a,b) →_b

I_A : A → A buonuova

A ⊆ B i: A →_i B buonuova

A × B = {(1,3), 1, 3}

π_B (7,1) = 1

Operazioni e strutture algebriche

N = {0, 1, 2, 3, ...} + somma • prodotto

3 + 5 = 8

3 • 5 = 15

(3 + 5) • 3 = esiste l'elemento neutro della somma proprietà dell'addizione e associativa elemento neutro del prodotto

Non importa dove metto le parentesi

5 • 1 = 0 manca

5 • 2 = 8 manca

operazioni +, •, x gruppo

le proprietà gruppo rispetto alla somma ma non prodotto struttura additiva commutativa gruppo rispetto a +, • e vale la distributiva, inverso non esiste

Razionali (Q, +, •): gruppo rispetto a +, •? Campo

Distributiva: campo dei numeri razionali su un campo

(R, +, ·)

A^-1

ogni parte del tratto è un elemento del campo.

Q ⊂ R è denso in R

ogni numero reale può essere l'approssimato di una successione di razionali

esempio:

ℚ̅₂ = {0; 1}

mplicazione

Sopra

0 0 1

0 1

1 1 0

campo_a/_b a R b

A ≡ B p.c.

relazione di quoziente

ℤ

{0}

{1}

classe numeri pari.

classe numeri dispari.

la diagonale e i lati sono lunghezze incommensurabili

Numeri reali e applicazioni lineari

RØ R · R

Rx ^r RR^{m n} vuote

R^m

R^m Ø ^m lineare

O R –> R porta ogni elemento a 0

a –> 0

da Rⁿ: Rⁿ

applicazione sulla

R: campo dei numeri reali (con la retta)

x² + 1 = 0

x = ±i

impossibile

in R non esiste

Numeri complessi

Rl = {(a,b) a,b ∈ R}

(a,b) ora a+ib

compìu dei numeri...

in corrispondenza biunivoca dei punti del piano

x² = -1

le definisco in:

(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)

(a+ib)(c+id) = (ac−bd) + i(ad+bc)

quindi il numeri dei

C ∃ nei cerciopì.

R ∃ C

a a+i⁢.o

(a+b) − iz a+ib

La parte reale di z e a

Re z = a)

La parte immaginaria di z e b

Im z = b)

ib = immaginiari puri

immaginari puri

R

Comlesso

Z = a + ib

Z₁ coniugato

Z^- = a - ib

Z^- - Z Re Z = ^{Z + Z-}/₂

Im Z = ^{j - Z-}/_2j

a + ib - a - ib

a + ib a - ib

Z. Z^- = (a + ib) (a - ib)

a² + b² + i (ab - ba)

a + b

|Z| = ^{V a2 + b2}

|Z^- modulo di Z

|Z| > 0

Z = 0

Z: W

Z: W

Z + W

Z^- + W

|-(Z · W) Z1 1¹/_{2 i} = (Z^x)ⁱ

(Z + W) · i = ¹/₂^{j(-i) - i}

(2·i) (¹/₂)i = 1

z = a + ib

△x = 0

^d/_{a² + b²}, ^b/_{a² + b²}, ^a/_{a² + b²} . . . , ¹/(a² + b²) zz . z¹

(a - ib) . (^a/_{a² + b²} - i ^b/_{a² + b²})

^a2/_{a² + b²} + ^b2/_{a² + b²} = 1

(a, b)

Forma trigonometrica

z = a + ib

ρ = |z|

R = ^a/_x −> |z| ^a/_x

z = ρ cos φ + i ρ sen φ

^ρ/_ρ (cos φ + i sen φ)

(a - ib) = ρ (cos(φ + i sen φ))

w = ρ(cos ϴ - i sen ϴ)

zw = ρρ (cos(φ + ϴ) + i sen(φ + ϴ))

w . w = cos φ + i sen φ |w| = 1

zw = ρ (cos(φ+ϴ+i sen(φ+ϴ))

argomento = angolo

ρ = |z|/|v| modulo di z z

φ = argomento (definito sola saute z/x) 3 alleza moltip di 2 π

La moltiplica perché iceva gli simboli geometrici

Ai, moltiplicazione per z1 r “angolietta”

z1… gli “angolietta דai ”au il− il− erro −(prodotto rotazione)

d = [somme de 2 numeri

Radici e polinomi

z²-1

z = 1

z = 1

x³-1

y = 1

z = -1

z⁴-1

z = i,-i

z = *[cos0+isenθ]^b-1

cos3θ+isen3θ-1

3θ = 2π

θ = 2kπ/3

K = 0 θ = 0

K = 1 θ = 2π/3

K = 2 θ = 4π/3

y^m = 1

impul

cos2π/3,i sin2π/3

cos2kπ/3

centro del triangolo inscritto nel cerchio di r

la misura della radia mettendi 1 e costruito da vertici del plicono regolare di lati inserito nella biccircunfeietà di centro O e raggio 1 e così cui vertici in 1

considera l'operazione di prodotto e un gruppo

fondamentale nell'algebra

ogni polinomio di grado m in m ha solamente m-puntura

Osservaz.m