Geometria ed algebra lineare

Geometria degli spazi vettoriali

Geometria degli spazi vettoriali _{Q, IR, O} sono insiemi di numeri su cui fare operazioni con certe proprietà.

Definizione di campo

Un insieme K su cui sono date due operazioni:

• +: K x K → K
• ·: K x K → K

Ha certe proprietà algebriche:

• Commutative
• Associative
• Esistenza di elementi neutri (0, 1)
• Esistenza dell’opposto e dell’inverso (per numeri razionali)
• Distribuzione

Si dice campo.

Esempi: K = Q, R, C

• Q = m^o notazione binaria e prego di essere precisi. (nessun uso finito di norme finite sono rappresentabili)
• R = I numeri nel calcolo. (I numeri nel nostro infografico NON sono rappresentabili)
• C = Nel calcolo complesso, posso trovare radici di espressioni per numeri complessi. (Possono perdendo elaborati)

Modello: Forze applicate su un punto

Un insieme V con:

• +: V x V → V
• ·: R x V → V

Proprietà per scalare numero fissato:

• Associativa
• Commutativa
• Elemento neutro
• Opposto

(V_una + V_due) l = V_luna + V_lune Elemento neutro λ(V_luna + V) = λV_luna + λV (λ · λ) · V = λ(λV) 0 · V = 0 (Un vettore O annulla il vettore)

Si dice spazio vettoriale (con elementi che possono avere equazioni sono chiamati vettori).

Geometria degli spazi vettoriali ℚ, ℝ, ℂ

Sono insiemi di numeri su cui fare operazioni con certe proprietà.

Definizione di campo

Un insieme K su cui sono date due operazioni:

• 1 + : K x K → K
• 2 : K x K → K

Tale che:

1. Commutativa
2. Associativa
3. Esistenza di elementi neutri (0, 1)
4. Esistenza dell'opposto e dell'inverso (per numeri reali inverso)
5. Distribuzione

Si dice campo.

Esempi: K = ℚ, ℝ, ℂ

• ℚ = Può indicare anche il prezzo di certe parti (numeri con fatt. di un 10ⁿ, sono rappresentabili)
• ℝ = I numeri reali a parte il finito (i numeri interi sono, loro sono rappresentabili)
• ℂ = Nei numeri complessi, posso trovare radici di coefficiente di polinomi, altri numeri complessi; perciò posseggo.

Modello: Forze applicate in un punto

Un insieme V con:

• + : V x V → V
• : ℝ x V → V

Tale che:

1. Associativa (V₁ + V₂) + V₃ = V₁ + (V₁ + V₃)
2. Commutativa V₁ + V₂ = V₂ + V₁
3. Elemento neutro V + 0_V = V = 0_V + V
4. Opposto λ(V₁ + V₂) = λV₁ + λV₂
5. Interpretazione della somma di vettori e prodotto per scalare
6. (Associazione tra somma del vettore e prodotto per scalare) (λ + μ)v = λv + λv (λμ)v = λ(λv) 1V = V e 0V = 0 (un vettore 0 usando passato al neutro innocuo)

Si dice spazio vettoriale (con elementi che possono esserci: Conseguenza delle proprietà degli spazi vettoriali).

Osservazione

(-1) * V = -V per ogni V ∈ V. Moltiplicando il vettore V per (-1) ottengo il suo opposto (-V) e muovendolo ritorna attraverso il suo percorso opposto.

Dimostrazione

Lega le uguaglianze da sx a dx:

(-1) * V + V = 0 = (1 + (-1)) * V = 0V = 0V