Appunti Geometria e algebra lineare

Appunti di geometria e calcolo numerico

M.V. Catalisano, A. Perelli

Indice

Capitolo 1. Preliminari

• 1.1. Insiemi
• 1.2. Applicazioni
• 1.3. Numeri complessi
• 1.4. Polinomi

Capitolo 2. Sistemi lineari e matrici

• 2.1. Sistemi lineari: algoritmo di riduzione gaussiana
• 2.2. Matrici
• 2.3. Determinante e caratteristica
• 2.4. Sistemi lineari: teorema di Rouché-Capelli
• 2.5. Fattorizzazione LU

Capitolo 3. Spazi vettoriali e trasformazioni lineari

• 3.1. Spazi vettoriali
• 3.2. Trasformazioni lineari
• 3.3. Sistemi lineari e trasformazioni lineari

Capitolo 4. Geometria analitica, parte I

• 4.1. Vettori geometrici
• 4.2. Geometria lineare nel piano
• 4.3. Coniche in forma canonica
• 4.4. Geometria lineare nello spazio
• 4.5. Quadriche in forma canonica

Capitolo 5. Diagonalizzazione

• 5.1. Trasformazioni lineari e matrici diagonalizzabili
• 5.2. Diagonalizzazione

Capitolo 6. Prodotto scalare e forme quadratiche

• 6.1. Prodotto scalare
• 6.2. Ortogonalità
• 6.3. Diagonalizzazione delle matrici simmetriche reali
• 6.4. Forme quadratiche

Capitolo 7. Geometria analitica, parte II

• 7.1. Coniche e quadriche
• 7.2. Cenni su linee e superfici

Capitolo 8. Elementi di calcolo numerico

• 8.1. Norme matriciali
• 8.2. Sistemi lineari: stabilità

Capitolo 1. Preliminari

1.1. Insiemi

Si danno per note le nozioni intuitive di insieme e di elemento di un insieme. Useremo le seguenti notazioni e definizioni:

• A = insieme di elementi
• a ∈ A; a non ∈ A - a appartiene ad A; a non appartiene ad A
• ∃; ∃ - esiste; non esiste
• ∀ - per ogni
• ^:, t.c., tale che
• ⇒; ⇔ - implica; se e solo se
• A ⊇ B - A contiene B, cioè: b ∈ B ⇒ b ∈ A
• A ⊆ B - A contenuto in B, cioè: a ∈ A ⇒ a ∈ B
• ∅ - insieme vuoto
• Se A ⊆ B allora A è sottoinsieme di B
• A ∪ B - Unione di insiemi: {x | x ∈ A e/o x ∈ B}. Osserviamo che gli elementi comuni ad A e B vengono contati in A ∪ B una sola volta
• Esempio: se A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5} allora A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
• A ∩ B - Intersezione di insiemi: {x | x ∈ A e x ∈ B}. Se non vi sono elementi comuni ad A e B allora A ∩ B = ∅
• A \ B - Differenza di insiemi: {x | x ∈ A e x ∉ B}
• C_B = A \ B - Complementare di B in A, con A e B tali che A ⊇ B

Graficamente, unione, intersezione, differenza e complementare si possono rappresentare come segue:

A ∪ B, A ∩ B, B \ B, C_A

Insiemi numerici

Esempi importanti di insiemi numerici sono:

• N = {0, 1, 2, 3, ...} - numeri naturali
• Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} - numeri interi
• Q = {a/b | a, b ∈ Z, b ≠ 0} - numeri razionali; convenzionalmente ridotti con m.c.d.(a, b) = 1
• R - numeri reali; definiti intuitivamente come i punti di una retta
• C - numeri complessi: vedi paragrafo 1.3.

Una proprietà importante di Q e R è la seguente: per ogni α, β ∈ R, con α < β, esiste γ ∈ R tale che α < γ < β. In realtà, esistono infiniti tali γ; la stessa proprietà vale anche per Q, ma R è "più numeroso" in un senso preciso che non approfondiamo.

Abbiamo le inclusioni N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C, le inclusioni essendo strette.

Prodotto cartesiano

Dati due insiemi A e B, definiamo l'operazione prodotto cartesiano:

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

L'idea di prodotto cartesiano nasce dal concetto di piano cartesiano, dato per noto. Infatti, una coppia (x, y) con x, y ∈ R viene denotata con R² = R × R. L'operazione di prodotto cartesiano può essere iterata; in generale:

A × A × ... × A = {(a₁, ..., aₙ) | aᵢ ∈ A, i = 1, ..., n}.

Ad esempio, lo spazio euclideo R³ è l'insieme delle terne (x, y, z) con x, y, z ∈ R e viene denotato con R³ = R × R × R. In generale, scriviamo Rⁿ = R × ... × R (n volte) ed analogamente per altri insiemi.

1.2. Applicazioni

Definizione. Siano A e B due insiemi. Una applicazione f: A → B è una legge che ad ogni elemento a ∈ A fa corrispondere un unico elemento f(a) ∈ B.

Useremo le seguenti notazioni e definizioni:

• A - dominio di f
• B - codominio di f
• f(a) - immagine di a ∈ A
• Im f - l'insieme delle immagini di f = {b ∈ B | b è immagine di qualche a ∈ A}
• f⁻¹(b) - controimmagine di b ∈ B = {a ∈ A | f(a) = b}; abbiamo f⁻¹(b) = ∅ ⇔ b ∉ Im f
• Γ - grafico di f = {(a, f(a)) | a ∈ A}

Esempio. f: R → R² è un'applicazione, il cui grafico è una parabola, definita da f(x) = x².

Un'applicazione f: A → B è iniettiva se a, a' ∈ A con f(a) = f(a') ⇒ a = a'. Un'applicazione f: A → B è surgettiva se Im f = B. Un'applicazione f: A → B è bigettiva se è iniettiva e surgettiva. Un esempio di applicazione bigettiva è l'applicazione identica di un insieme A: id_A: A → A, id_A(a) = a.

Applicazione composta e inversa

Dati tre insiemi A, B, C e due applicazioni f: A → B, g: B → C si definisce l'applicazione composta g ∘ f:

g ∘ f: A → C, g ∘ f(a) = g(f(a)).

Se f: A → B è bigettiva, si definisce l'applicazione inversa f⁻¹ (da non confondersi con la controimmagine):

f⁻¹: B → A, f⁻¹(b) = quell'elemento a ∈ A tale che f(a) = b.

La definizione è ben posta grazie alla bigettività di f. È facile verificare che f⁻¹ ∘ f = id_A e f ∘ f⁻¹ = id_B.

1.3. Numeri complessi

I numeri complessi nascono dall'esigenza di risolvere equazioni del tipo x² + 1 = 0, che non hanno soluzioni in R. Si definisce formalmente il numero immaginario i, che soddisfa i² = -1. L'insieme dei numeri complessi è l'insieme delle espressioni formali del tipo a + ib con a, b ∈ R, ovvero C = {a + ib | a, b ∈ R}.

I numeri complessi si denotano con la lettera z e si possono rappresentare come punti del piano cartesiano, per mezzo dell'applicazione bigettiva:

z = a + ib ↔ (a, b). (1.1)

In tale rappresentazione l'asse delle ascisse prende il nome di asse reale, quello delle ordinate di asse immaginario ed il piano cartesiano di piano complesso.

Dato z = a + ib definiamo a = Re z parte reale e b = Im z parte immaginaria di z. Segue che, tramite l'applicazione (1.1), i numeri reali corrispondono ai numeri complessi z con Im z = 0. In questo senso abbiamo quindi che R ⊆ C.

La rappresentazione dei numeri complessi nella forma z = a + ib si chiama forma cartesiana dei numeri complessi. Introduciamo in C le operazioni di somma e prodotto, in modo che siano coerenti con quelle ben note in R² e con il fatto che i² = -1. Dati z = a + ib e z' = a' + ib' definiamo:

z + z' = (a + a') + i(b + b') - somma

zz' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b) - prodotto

Segue che: ∀z ∈ C; 0 = 0 + i0 soddisfa 0 + z = z e 0z = 0

Se λ ∈ R allora λz = λa + iλb, -z = -a - ib.

Definiamo il coniugato di z come z̅ = a - ib. È facile verificare che: z + z̅ = 2Re z, zz̅ = |z|² e z - z̅ = 2iIm z.

Il modulo di z è definito come |z| = √(a² + b²). Geometricamente rappresenta la distanza del punto z dall'origine degli assi, per il teorema di Pitagora. Inoltre, |z|² = zz̅.

Forma polare e formula di De Moivre

Denotiamo con ρ il modulo di z, ρ = |z|, con θ l'argomento di z, ovvero l'angolo (misurato in radianti!) che il segmento congiungente z con l'origine forma con l'asse reale. Tale angolo viene orientato in senso antiorario. È chiaro che modulo e argomento determinano il numero complesso z. Ovviamente l'argomento è determinato a meno di multipli di 2π, ovvero i dati ρ, θ e ρ, θ + 2kπ, con k ∈ Z, determinano lo stesso numero complesso. Per questo motivo si adotta la convenzione seguente: l'argomento θ soddisfa 0 ≤ θ < 2π.

La trigonometria fornisce le formule:

• a = ρ cos θ
• b = ρ sin θ

Quindi z = ρ(cos θ + i sin θ), detta forma polare dei numeri complessi. Osserviamo che le funzioni cos x e sin x sono periodiche con periodo 2π, quindi la forma polare di un numero complesso è indipendente dalla determinazione di θ scelta. Le formule inverse sono:

• ρ = √(a² + b²)
• cos θ = a/ρ
• sin θ = b/ρ

e è ben noto dalla trigonometria che cos θ e sin θ determinano θ. Le formule (1.2) e (1.3) costituiscono le formule di passaggio dalla forma cartesiana a quella polare di un numero complesso, e viceversa.

Il prodotto di numeri complessi è più agevole in forma polare: da ben note formule di trigonometria si deduce infatti:

z₁z₂ = ρ₁ρ₂(cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)), z̅ = ρ(cos θ - i sin θ).

La forma polare dei numeri complessi può essere espressa in modo compatto mediante la funzione esponenziale complessa e^iθ = e^iθ, le cui principali proprietà sono:

• e^{z + z̅} = e^ze^z̅, e^iθ = cos θ + i sin θ se θ ∈ R (formula di Eulero).

Quindi:

z = ρ(cos θ + i sin θ) = ρe^iθ

ed anche, per n ∈ N:

zⁿ = ρⁿe^inθ, z^-1 = e^-iθ/ρ.

Infine, si può dimostrare che l'equazione zⁿ = a, a ∈ C, ha esattamente n soluzioni, tutte distinte. Tali soluzioni, dette radici n-esime di a, sono fornite dalla formula di De Moivre:

• z_k = ρ^1/ne^{i(θ + 2kπ)/n}, k = 0, ..., n - 1.

È interessante notare che le radici n-esime di a, una volta rappresentate sul piano complesso, dividono la circonferenza di centro l'origine e raggio ρ^1/n in n parti uguali. Questo si verifica facilmente osservando che l'argomento di z_k+1 differisce di 2π/n da quello di z_k.

1.4. Polinomi

Un polinomio è un'espressione del tipo:

P(z) = aₙzⁿ + aₙ₋₁zⁿ⁻¹ + ... + a₁z + a₀

dove n ∈ N, i coefficienti aₙ, aₙ₋₁, ..., a₁, a₀ e la variabile z sono numeri complessi. L'insieme di tutti i polinomi si denota con C[z]; il grado di P(z) si definisce come deg P = max{n : aₙ ≠ 0} e, se n = deg P, aₙ è il coefficiente direttivo di P(z). Se deg P = 0 allora P(z) = c ∈ C.

Vale il principio di identità per i polinomi: ∀z ∈ C, se P(z) = 0 per infiniti z, allora P(z) = 0 a_i = 0 per i = 0, ..., n.

Un numero complesso α è radice di P(z) se P(α) = 0. Vale il seguente (difficile) Teorema Fondamentale dell'Algebra: ogni polinomio P ∈ C[z] con deg P ≥ 1 ha almeno una radice.

La divisione tra polinomi è analoga a quella tra numeri; infatti si ha: ∃M(z) t.c. P(z) = Q(z)M(z), e si usa la notazione Q(z)|P(z). Anche l'algoritmo di divisione è analogo a quello tra numeri; infatti dati P, Q ∈ C[z] esiste R(z) tale che:

P(z) = Q(z)M(z) + R(z), 0 ≤ deg R < deg Q. (1.4)

I polinomi M(z) e R(z), rispettivamente quoziente e resto della divisione, possono essere calcolati per mezzo del ben noto metodo di Ruffini.

Radici e divisibilità sono tra loro collegate; vale infatti la Proposizione 1.1: siano P ∈ C[z] e α ∈ C. Allora P(α) = 0 ⇔ (z - α)|P(z).

Dimostrazione. Dalla (1.4) con Q(z) = z - α otteniamo, essendo deg(z - α) = 1, P(z) = (z - α)M(z) + c, c ∈ C. Segue che P(α) = 0 ⇔ c = 0 ⇔ (z - α)|P(z).

La Proposizione 1.1 porta al concetto di molteplicità di una radice α di P(z), definita come:

μ_α = max{k : (z - α)^k|P(z)}.

Teorema 1.1. Ogni polinomio P ∈ C[z] con deg P(z) = n ≥ 1 ha esattamente n radici, contate con molteplicità.

Dimostrazione. Dal Teorema Fondamentale dell'Algebra segue l'esistenza di una radice α₁ di P(z). Dalla Proposizione 1.1 abbiamo:

P(z) = (z - α₁)^μ₁M₁(z), deg M₁ = n - μ₁. (1.5)

Se n - μ₁ = 0 il teorema è dimostrato, altrimenti riapplichiamo la stessa procedura a M₁(z) ottenendo l'esistenza di una radice α₂ di M₁(z), e quindi di P(z), tale che:

M₁(z) = (z - α₂)^μ₂M₂(z), deg M₂ = n - μ₁ - μ₂.

e quindi dalla (1.5) abbiamo:

P(z) = (z - α₁)^μ₁(z - α₂)^μ₂M₂(z), deg M₂ = n - μ₁ - μ₂.

Iterando questa procedura fino ad arrivare a Mₙ(z) con deg Mₙ = 0, otteniamo che Mₙ(z) = c, con c ≠ 0, e il teorema è dimostrato.

Denotando con α₁, ..., α_r le radici distinte di P(z) e con μ₁, ..., μ_r le loro molteplicità, possiamo scrivere la (1.6) nella forma:

P(z) = c ∏^r_i=1(z - α_i)^μ_i ;

se deg P(z) = n allora chiaramente ∑^r_i=1 μ_i = n e c = aₙ.

Polinomi a coefficienti reali

Esaminiamo più in dettaglio i polinomi a coefficienti reali, il cui insieme viene denotato con R[z].

Proposizione 1.2. Sia P ∈ R[z]. Allora P(α) = 0 ⇔ P(α̅) = 0.

Dimostrazione. Sia P(z) = aₙzⁿ + ... + a₀. Chiaramente P(α) = 0 ⇔ P(α̅) = 0. Poiché i coefficienti di P(z) sono reali, abbiamo:

P(α̅) = aₙα̅ⁿ + ... + a₀ = aₙαⁿ̅ + ... + a₀ = P(α̅),

e la proposizione è dimostrata.

Suggerisce che se P(z) ha la radice α allora ha anche la radice α̅. Ovviamente α e α̅ hanno la stessa molteplicità. Osserviamo infine che:

• Se α ∉ R, allora (z - α)(z - α̅) = z² - 2Reαz + |α|² ∈ R[z]
• Se P(z) ha grado dispari, allora ha necessariamente almeno una radice α ∈ R.

Capitolo 2. Sistemi lineari e matrici

2.1. Sistemi lineari: algoritmo di riduzione gaussiana

Sistemi lineari

Un sistema lineare è un sistema di m equazioni lineari, ossia di grado 1, in n incognite x₁, ..., xₙ, ovvero un'espressione del tipo:

a₁₁x₁ + ... + a₁ₙxₙ = b₁

a₂₁x₁ + ... + a₂ₙxₙ = b₂

...

aₘ₁x₁ + ... + aₘₙxₙ = bₘ

con a_ij, b_i ∈ R/C per i = 1, ..., m e j = 1, ..., n. Useremo le seguenti notazioni e definizioni:

• a_ij, i = 1, ..., m e j = 1, ..., n - coefficienti
• x_j, j = 1, ..., n - incognite
• b_i, i = 1, ..., m - termini noti
• R_i: a₁_ix₁ + ... + aₙ_ixₙ = b_i - riga i-esima
• C_j: a_1jx₁ + ... + a_mjxₘ = b_j - colonna j-esima
• Se m = n, il sistema è quadrato
• Se b₁ = ... = bₘ = 0, il sistema è omogeneo

Una soluzione di un sistema è una n-upla (α₁, ..., αₙ) ∈ Rⁿ/Cⁿ tale che ponendo x₁ = α₁, ..., xₙ = αₙ tutte le equazioni del sistema sono soddisfatte. L'insieme delle soluzioni del sistema si denota con S.

Usando una terminologia tratta dalla fisica, le equazioni rappresentano i vincoli del sistema, mentre le incognite rappresentano i gradi di libertà. Vedremo in seguito che un sistema lineare può soltanto avere 0 soluzioni, 1 soluzione oppure infinite soluzioni.

Dato un sistema lineare a caso, è probabile che:

• se m > n vi siano 0 soluzioni;
• se m = n vi sia 1 soluzione;
• se m < n vi siano infinite soluzioni.

Esempio:

• i) m = 2, n = 1: il sistema x = 1 ha 0 soluzioni; x = 2
• ii) m = n = 2: il sistema x + y = 1 ha 1 soluzione: (x = 1, y = 2)
• iii) m = 1, n = 2: il sistema x + y = 0 ha infinite soluzioni: (a, -a), a ∈ R.

È chiaro che un sistema omogeneo ha sempre almeno 1 soluzione, ovvero la soluzione banale (0, ..., 0).

Il nostro scopo è:

• a) individuare semplici criteri che permettano di decidere se un sistema lineare ha soluzioni oppure no, ed in caso affermativo quante;
• b) individuare semplici algoritmi per il calcolo delle soluzioni.

Operazioni elementari

Studiamo ora alcune semplici operazioni, dette operazioni elementari, che... (continua)