Algebra lineare e geometria - Formulario

Algebra lineare riassunto

Marco Ierani

2017 - 2018

1 Rette e piani

In R² l'equazione parametrica passante per P (x₀; y₀) e di direzione parallela al vettore v = (v₁; v₂) è:

x = x₀ + v₁ t

y = y₀ + v₂ t

∀t ∈ R.

La generica equazione cartesiana di una retta è r : ax + by + k = 0; k = y₀ v₁ / 2.

In R³ l'equazione parametrica della retta passante per P si trova in modo analogo considerando un vettore con tre valori e un sistema con tre equazioni.

In R³ l'equazione parametrica del piano passante per P (x₀; y₀; z₀) e di direzioni parallele ai vettori u = (u₁; u₂; u₃) w = (w₁; w₂; w₃) è:

x = x₀ + u₁ t + w₁ s

y = y₀ + u₂ t + w₂ s

z = z₀ + u₃ t + w₃ s

∀t, s ∈ R.

Con a = d, b = -d, c = d, d = 0, tali che π := ax + by + cz = d.

Notare che il vettore (a; b; c) ha direzione perpendicolare al piano.

Due rette r₁, r₂ sono parallele se i rispettivi vettori direzione sono proporzionali; in R³ due rette sono sghembe se non sono parallele e non si intersecano (il sistema associato ha insieme soluzione vuoto), mentre due rette sono complanari se non sono sghembe.

Due piani sono paralleli se non si intersecano e i propri vettori direzione sono proporzionali.

Una retta è perpendicolare ad un piano se la retta ha direzione parallela al vettore (a ; b; c) del piano.

Dati due vettori u, v si chiama prodotto scalare il numero:

< u, v > = u₁ v₁ + u₂ v₂ + ... + u_n v_n

1.1 Prodotto scalare standard

È un operatore che dati due vettori u, v restituisce il valore < u, v > = u^tv = v^tu.

Gode delle seguenti proprietà:

• <u,v> = 0 allora risulta u ⊥ v.
• Norma si definisce il valore ||x|| = <v,v>.
• È bilineare.
• < e_i, e_i > = 1 per le operazioni sulla base canonica risulta e_i.
• < e_i, e_j > = 0, a cui si associa la matrice unità.

1.2 Sistemi di riferimento e prodotto cartesiano

Si costruisce un nuovo sistema di riferimento operando in modo tale che risulti:

• O' - O' = O.
• B = B' - O'.
• A = A' - O'.
• Etc. prodotto cartesiano V x W.

Si definisce l'insieme: V x W = (v, w).

Isomorfismo V W Z.

Nota: in generale risulta esserci un tra e 2.

2 Considerazioni sulle matrici

Una matrice è una tabella di m*n numeri, dagli elementi per a_ij, i = 1, ...n, j = 1, ..., m, n = m; se si definisce la matrice quadrata:

A = [a₁₁ ... a_1j; ... ... ...; ... ... ...; a_n1 ... a_nm]

i) Si definisce matrice nulla la matrice che ha a_ij = 0 per ogni i, j.

ii) Si definisce matrice trasposta di A quella ottenuta scambiando i coefficienti a_ij con quelli a_ji.

iii) Una matrice si dice simmetrica se è uguale alla sua trasposta.

iv) Una matrice si dice diagonale se ha elementi a_ij = 0 per i ≠ j.

vi) La matrice diagonale con elementi sulla diagonale tutti 1 e altrove 0, si dice matrice unità e si indica con I_n.

vii) Il prodotto tra due matrici A_mn * B_ns è la matrice:

AB = [A₁ * B₁ ... A₁ * B_s; ... ... ...; ... ... ...; A_m * B₁ ... A_m * B_s]

viii) A si dice invertibile se esiste una matrice B tale che AB = BA = I_n; B è la matrice inversa di A.

3 Gruppi, spazi e sottospazi vettoriali

Un insieme G forma un gruppo rispetto ad una operazione se:

• Gode della proprietà associativa.
• G è chiuso rispetto a.
• Esiste l'elemento neutro.
• Esiste l'inverso di ogni elemento.

3.1 Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale V è un insieme chiuso per somma e prodotto tale che:

• Gli elementi neutri 0 (per la somma) e 1 (per il prodotto) appartengono a V.
• Esiste l'opposto -v di ogni elemento v in V.

Il prodotto per scalari è sia associativo, sia distributivo.

3.2 Sottospazio vettoriale

Sia S ⊆ V. S si definisce sottospazio vettoriale se lo zero di V appartiene ad S ed è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalare rispetto al campo V di.

4 Riduzione di Gauss (senza il concetto di rango)

Ad ogni sistema lineare si associa la matrice formata dai coefficienti delle incognite e dei termini noti (che solitamente vengono preceduti da un tratteggio). Il metodo di riduzione di Gauss ha lo scopo di ottenere una nuova matrice in cui sotto il primo termine non nullo di ogni riga si trovino tutti 0. Tali termini sono detti pivot. Una volta ultimata la riduzione si risolve il sistema. Nel trasformare il sistema sono consentite solo alcune operazioni:

• Scambio di due righe (due colonne).
• Sostituire una riga con un suo multiplo non nullo (una colonna).
• Sostituire una riga con la sua somma con un'altra riga (una colonna con la sua somma con un'altra colonna).

Notare che le operazioni sulle colonne influenzeranno il calcolo del determinante.

Le soluzioni di un sistema formano uno spazio vettoriale se e solo se il sistema è omogeneo.

Inoltre le colonne pivot originali danno origine ad un insieme minimale che parametrizzano l'insieme delle soluzioni.

4.1 Indipendenza lineare senza il concetto di rango

n vettori sono linearmente indipendenti se:

x₁ v₁ + x₂ v₂ + ... x_n v_n = 0, x₁ = x₂ = ... = x_n = 0.

In caso contrario sono detti linearmente dipendenti, ovvero w è combinazione lineare di n vettori se:

x₁ v₁ + x₂ v₂ + ... x_n v_n = w, x₁ = x₂ = ... = x_n ∈ R.

5 Rango: Rouché-Capelli, dimensioni, basi di spazi vettoriali

5.1 Rango

Il rango si calcola tramite alcune proprietà:

• Il rango corrisponde al numero dei pivot, una volta ridotta a scala.
• Il rango è uguale al numero di righe/colonne linearmente indipendenti.

Come conseguenza si ha che una matrice A_n×m ha rg(A) ≤ min{n, m}.

5.2 Rouché-Capelli

Ax = b, un sistema di equazioni ammette soluzioni se e solo se il rango di A è uguale al rango della matrice completa:

rg(A) = r(A|b)

Inoltre il