Appunti di Geometria

Forma trigonometrica di un numero complesso

x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
x + iy = ρ (cos θ + i sin θ)
Z = x + iy
Z = ρ (cos θ + i sin θ)

Prodotto

Z · Z₁
Z = ρ (cos θ + i sin θ)
Z₁ = ρ₁ (cos θ₁ + i sin θ₁)
Z · Z₁ = ρ · ρ₁ (cos (θ + θ₁) + i sin (θ + θ₁))

Quoziente

^Z⁄_Z₁ = ^ρ⁄_ρ₁ [cos (θ − θ₁) + i sin (θ − θ₁)]
θ = 90
cos (2·90) + i sin (2·90)

Radice

n = n.esima
Forma trigonometrica di un numero complesso

x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
x + iy = ρ (cos θ + i sin θ)
z = ρ (cos θ + i sin θ)

Prodotto

z ⋅ z₁
-ρ z = ρ(cos ϕ₁ + i sin ϕ₁)
-ρ z₁ = ρ₁ (cos ϕ₁ + i sin ϕ₁)
z ⋅ z₁ = ρ ⋅ ρ₁ [cos(θ₁ + θ₂) + i sin (θ₁ + θ₂)]

Quoziente

z/z₁ = ρ/ρ₁ [ cos (θ₁-θ₂) + i sin (θ₁-θ₂)] - È importante nel calcolo delle potenze
zⁿ = ρⁿ (cos (nθ + i sin nθ) = ρⁿ [cos nθ + i sin nθ]
cos (2⋅90) + i sin(2⋅90)

Radice

Un numero complesso, cioè
z = 1/n
Z = x (cos θk + i sin θk)
Z = K (cos t/s + i sin t/s)
z = zⁿ = w
Da questa def. derivano le formule nel campo complesso ci sono sempre tante soluzioni quante ne è il grado dell'equazione

Calcolare la potenza del numero complesso in forma cartesiana

(1 - i)³
-----------------------------
(1 + i)³

1. Innanzitutto bisogna trasformare in forma cartesiana: ^{1 - i}
   ------
   _{1 + i}
2. ^{(1 - i)} = ^{1 + i 2} = ^-ii 2 = ^-i
   _{(1 + i)
   2
   2i}
3. Calcola la potenza: (-i)³
4. Trasforma -i in forma trigonometrica ricordando che: Z = x + yⁱ
5. Calcolo il modulo: |Z| = ρ = √^{02 + -12} = 1
6. Calcola l'argomento: x = ρ cosθ
   y = ρ sinθ
   -0 cosθ = x/ρ
   sinθ = y/ρ
   θ = 3π/2
7. -i = 1 (cos 3π/2 + i sin 3π/2)
   (-i)³ = 1 [cos (3π/2 + i 3π/2)] = 1³
   = 1³ [cos 9π/2 + i sin 9π/2] = 0 + i i = i

Calcolare le radici terze del seguente numero complesso

\(\omega = -1\)

Devo trovare 3 soluzioni nel campo reale ne avrei solamente due \((-1,1)\). Calcolare le radici terze significa risolvere la seguente equazione:

\(z^3 = -1\) oppure calcolare \(\sqrt[3]{-1} = z\)

1. Trasformare \(\omega\) in forma trigonometrica

\(\omega = -1 + 0i\)
modulo \(|\omega| = \rho = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1\)
argomento

\(\begin{cases} x = \cos \theta & \cos \theta = -1 \Rightarrow \theta = \pi \\ y = \sin \theta & \sin \theta = 0 = 0 \end{cases}\)

\(\omega = 1 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right)\) - abbiamo ottenuto la forma trigonometrica

4. Adesso l'obiettivo è trovare

\(z = \sqrt[3]{1} (\cos \alpha + i \sin \alpha)\) dove

\(\begin{cases}\alpha = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, & \text{con } k = 0,1,2 \end{cases}\)

\(\left\{\begin{aligned} \alpha & = \frac{\pi}{3} \\ \alpha & = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}k \end{aligned}\right.\)

inoltre

\(\cos\alpha = -\frac{1}{2}\)
\(\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Bisogna sostituire nell'equazione sopra per \(k = \overline{0}\)

\(z_0 = 1 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\)

per \(k = \overline{1}\)

\(z_1 = \left[ \cos \left( \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} \right) \right] = 1 \cos \pi + 1 \sin \pi = -1

Definizione delle strutture algebriche

Abbiamo la possibilità di considerare un insieme A i cui elementi non necessariamente devono essere numeri reali. Abbiamo definito "operazione" il termine generale per indicare applicazioni (ossia funzioni) che ad ogni coppia di numeri reali (a, b) associano a + b.

+ : R x R → R

In generale ✯ : A x A → A (a, b) → a ✯ b = c

Su A un insieme non vuoto ho una legge di composizione o operazione