Esercizi Geometria - Applicazioni lineari

Applicazioni lineari

Esercizi

Esercizio 1

Date le seguenti applicazioni lineari:

• f: R² → R³, definita da f(x, y) = (x - 2y, x + y, x + y);
• g: R³ → R², definita da g(x, y, z) = (x + y, x - y);
• h: R³ → R², definita da h(a, b, c) = (2a + c)i + (b - c)j.

Calcolarne nucleo, immagine e matrice associata rispetto alle basi canoniche.

Esercizio 2

Calcolare g ◦ f e f ◦ g dove f e g sono le applicazioni lineari del precedente esercizio. Verificare che la matrice associata rispetto alle basi canoniche a g ◦ f è A_g · A_f dove A_g è la matrice associata rispetto alle basi canoniche a g e A_f è quella associata ad f, sempre rispetto alle basi canoniche.

Esercizio 3

Calcolare ker f ed Im f per l’applicazione lineare f: R³ → R³ associata rispetto alla base canonica B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) alla matrice:

E verificare il teorema del rango (dim = dim ker f + dim Im f). f è iniettiva? f è suriettiva?

Esercizio 4

Data l’applicazione lineare f: R⁴ → R⁶ definita da:

f(a, b, x, y) = (x + y, x + y, x + y, a + b, a + b, a + b)

Calcolare f^-1(1, 2, 1, 1, 0, 0) ed f^-1(2, 2, 2, 1, 1, 1). Calcolare, inoltre, dim ker f e dim Im f, e la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche di R⁴ ed R⁶.

Esercizio 5

Calcolare la matrice associata all’applicazione lineare f: R³ → R² rispetto alla base canonica C di R³ e C di R², dove f è definita dalle seguenti condizioni:

• f(1, 1, 0) = (1, 0)
• f(1, 0, 1) = (1, x)
• f(0, 1, 1) = (0, 1)

Studiare poi f.

Esercizio 6

Data l’applicazione lineare f: R² → R⁴ definita come:

• f(1, 1) = (1, 0, 0, -1)
• f(1, 2) = (-2, 0, 0, 2)

Calcolare f(3, 0, 0).

Esercizio 7

Esiste un’applicazione lineare f: R² → R² che verifica:

• f(1, -1) = (1, 1)
• f(0, -1) = (0, 1)
• f(1, -2) = (1, 4)

Esiste un’applicazione (non lineare) che le verifica?

Esercizio 8

Dire se l’applicazione lineare f: R² → R² definita da:

• f(1, 1) = (2, 1)
• f(1, 2) = (-1, 0)

è invertibile, e, in caso affermativo, calcolarne l’inversa.

Esercizio 9

Un’applicazione lineare f: R⁵ → R³:

• È sempre iniettiva;
• È sempre suriettiva;
• Non è mai iniettiva;
• Non è mai suriettiva.

Esercizio 10

L’applicazione lineare f: R³ → R⁴ definita da:

f(x, y, z) = (x + y, 0, y + z, x + z)

• È invertibile;
• f(1, 0, 0, 1) è formato da infiniti vettori;
• Ha come immagine un sottospazio di dimensione 3;
• dim Im f = 2.

Esercizio 11

Sia f: R² → R² un’applicazione lineare tale che:

• f(1, 1) = f(1, -1)

Verificare se:

• f è suriettiva. (V) (F)
• (0, 1) ∈ ker f. (V) (F)
• dim ker f = 1. (V) (F)
• f non è iniettiva. (V) (F)
• Esistono infinite applicazioni lineari verificanti le condizioni date. (V) (F)

Esercizio 12

Sia f: R³ → R² l’applicazione lineare definita da:

f(x, y, z) = (x + y + z, 2x + z)

• f non è lineare;
• ker f ha dimensione 1;
• f non è suriettiva;
• f è iniettiva.

Esercizio 13

Sia f: R³ → R² l’applicazione lineare definita da:

f(x, y, z) = (x + y - z, 2x - 2z)

• (1, 0, 1) ∈ Im f;
• ker f ha dimensione 2;
• La matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche è:

• ker f = ((1, 0, 1)).

Soluzione di alcuni esercizi

Soluzione dell'esercizio 1

Cominciamo studiando f: R² → R³ che è definita come:

f(x, y) = (x - 2y, x + y, x + y)

Il nucleo è dato dalle soluzioni del sistema lineare:

• -x + 2y = 0
• x + y = 0
• x + y = 0

La cui unica soluzione è (0, 0). Quindi ker(f) = {(0, 0)}, la sua dimensione è 0, la sua base è B = ∅, e, dalla caratterizzazione dell’iniettività per le applicazioni lineari, otteniamo che f è iniettiva. Dal teorema del rango, si ottiene subito che dim Im(f) = dim R² - dim ker(f) = 2 - 0 = 2. Inoltre, essendo f iniettiva, una base dell’immagine è (f(1, 0), f(0, 1)) ossia ((1, 1, 1), (-2, 1, 1)). In generale, se f è iniettiva, le immagini dei vettori di una base del dominio formano una base dell’immagine dell’applicazione. f non è suriettiva perché dim Im(f) = dim R³. La matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche è: