Appunti completi di Algebra e geometria lineare

Vettori

∑ = sigma lo spazio euclideo tridimensionale _AB^→ = A^v - B^u = B - A

• Direzione = retta tra due punti.
• Verso tra i suoi estremi.
• Lunghezza/intensità/modulo.

Un vettore è un oggetto che racchiude queste 3 informazioni, una coppia di punti A e B rappresenta un vettore.

Le coppie AB e CD rappresentano lo stesso vettore se individuano i lati opposti di un parallelogramma.

Ci sono infinite coppie di punti che rappresentano lo stesso vettore.

È una classe di equivalenza.

|B - A| = norma del vettore.

|V| = |AB| = |BA| lunghezza/norma.

Se la coppia CD rappresenta lo stesso vettore della coppia AB, _AB^→ = _CD^→.

V = insieme dei vettori.

Vettori

• Direzione = retta tra due punti. Può esistere e basta.
• Verso.
• Lunghezza/intensità/modulo.

Un vettore è un oggetto che racchiude queste 3 informazioni.

Una coppia di punti A e B rappresenta un vettore.

Le coppie AB e CD rappresentano lo stesso vettore se appartengono ai lati opposti di un parallelogramma.

Ci sono infinite coppie di punti che rappresentano lo stesso vettore.

È una classe di equivalenza.

||B - A|| = norma del vettore.

V = |AB|: |AB| = lunghezza/norma.

Se la coppia CD rappresenta lo stesso vettore della coppia AB, AB = CD.

V = insieme dei vettori.

Somme

Definiamo su V una struttura ossia delle operazioni che hanno delle proprietà: somme.

v, w ∈ V.

v+w = ? ∈ V.

Regola del parallelogramma.

AC = v + w attacco i due vettori v e w ad A come parti estreme così formando parallelogramma con individuati.

v+w è la diagonale che esce dal punto A.

v e w sono paralleli.

Se w e w hanno lo stesso verso.

v e w hanno verso opposto.

AA = 0 spostamento nullo.

v+0 = v.

-v + v = v.

AB = v.

BA = -v.

v + (-v) = 0.

La somma in V gode della prop. associativa ed è anche commutativa.

(V,+) è dunque un commutativo (o abeliano) gode di queste 4 proprietà.

Prodotto per scalare

Prodotto per scalare.

Esempio:

Proprietà di (V,+, prodotto per scalare)

1. (V,+) è un gruppo commutativo rispetto alla somma.
2. a(b*u)=(ab)*u ∀a,b∈R, ∀u∈V - prop. associativa.

V₁: associativa.

V₂: distributiva a(b+c)*u = au+bu ∀a,b∈R, ∀u∈V.

V₃: distributiva a(b+u) = ab+au.

Qualunque spazio di questo tipo si chiama spazio vettoriale.

(V,+, * per scalare) è uno spazio vettoriale.

Definizioni

Def: due vettori v e u si dicono paralleli se hanno la stessa direzione.

Il vettore O è parallelo a ogni altro vettore.

Def: 3 vettori u,v,w sono complanari se presi a 2 a 2.

I quali sono complanari si dice un piano o il contencomplanari.

Complanari.

v e u.

1/2.

1/3.

1/2 u + 3 u.

2/3 v + 7 u.

Combinazione lineare

Combinazione lineare.

Es: u, 3 v.

Def: Siano v₁, v_k ∈ V.

Una combinazione lineare di v₁, v_k è un vettore del tipo a₁ v_{1 2} + a_k v_k dove a₁, a₂ ∈ ℝ.

Def: I vettori v₁, v_k ∈ V si dicono [linearmente dipendenti] se esistono degli scalari di ℝ non tutti nulli tali che a₁ v₁ + a₂ v₂ + a₃ v_k = 0.

In altre parole se esiste una combinazione lineare di v₁, v_k a coefficienti non tutti nulli uguale a zero.

Proposizione: I vettori v₁, v_k sono linearmente [dipendenti] se e solo se almeno 1 di questi vettori è combinazione lineare di rimanenti.

P1 è combin. lin. dei rimanenti.

u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ LD.

u₂ è a combin.

u₁ = u₂ + u₃ + u₄ + 1.

u₁, u₂, u₃, u₃ sono i rimanenti.

u = a v + b w.

v = β u + γ w.

w = c μ + α μ.

Vl - N l x 0.

N i - 0.

V2 - 0.

V1 - 0.

v3 = ±½ v2 v1 = ± 2 0 v1 = 0.

v2 = ±½ v2 v3 = ± 2 0.

v3 = ±½ v3 v2 = ± 2/3 0.

v2 = 0 v1 + 1/3 v1 + 1/3 v2.

v2 = 0 v1 + 1/3 v1 + 1/3 v2 si può fare.

Equivalenti chiede 4 stesse vettori v k ch 2 equi dei triangurati.

Dimostrazione

Dimostrazione.

1. 0, v1, (1 v2 + ... a k v k = 0.

Con c1 c2 ... a k non tutti 0.

v l = c2 _v2 - c k v k a2 ...c k v k.

Ho dimostrato che v1 è combinazione.

Dimostrazione.

1. Supportiamo dal quesito che sa v1.