Geometria e Algebra

Geometria algebrae

GEOMETRIA ALGEBRAE MatteoÈ satanasso2121 09LIBRI ""TEORIA CACCIARSIcasali GEOMETRIAGrasselli: ,, "" PROVEESERCIZI ESAME EDCATIABRICA D'MULAZZI GEOMETRIA ACCEBRARISOLTE DI: ,NOTAZIONI NUMERICIINSIEMI: }µ { n at u raliNUMERI}1,2= 0 ...,,,{ }✗ 0,1=1,1--2 INTERINUMERI= .. .,{④ }2,9=10Fa RazionaliNUMERI= P.ge☒ REALINUMERI= } ME{E eEDk£0ai-iba.be/B,i2= E-1= , ,/ µ I ✗④= NUMERABILE= = INFINITOo[ ME ZCORRISPONDENZA TRABIUNIVOCAs . { PARI"K nse-MI0> >O I DISPARI1)( se nn -11 1 z> -121 >31 > 241 -2>SI 3> ✗☒ ¢ ✗ ✗NON= NUMERABILE >= INFINITO1 e oDEF Strutture ALCEBR CHE/. Insieme PIÙ) OPERAZIONIDEFINITE BINARIE( NUMERICO in sono unacui 0DEF ✗Sia O=/ insiemeun. ✗Si X✗ ✗operazione BINARIA cauawucl.ve FUNZIONE #Tipo >su deldice ✗: bKb /) a #>Es 14740,113 e1) + in.. ,, INSIEMIINTERSEZIONEUNIONE2) DIEDCOMPOSIZIONE3) FUNZIONIDIPROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI ✗Sia INOPERAZIONE* UNA ¥9,3 ✗b bb)1) c)' seAllora associativa la ce( #a#DIRAsi a # ##* c c* = =,fa ✗bebb'DIRA2) si acommutativa #seALLORA * #a = ,associativeUSATE nel1) OPERAZIONI055 Tutte sonoLE corso. ' associativaCOMPOSIZIONE NON commutativaMAE2) FUNZIONIDILA FaeIl t.ci ✗✗ e3) #eELEMENTOammette a* neutro C-dicesi a#che se =a =.Id ' COMPOSIZIONEELEMENTO DIl '055 NEUTRO FUNZIONIdellae.( ✗Se 'neutro unicoEmma ammette elemento esso eSianoDim ' NEUTRee *sies 'el. .Allora e-' '''''' e=L eneutro eele epoichePERCHEe neutroe# #HA ed =siDa 'ee =cui4) ELEMENTI INVERTIBILI ✗Sia ✗OPERAZIONE leBINARIA SU neutro* UNA elcon . ] ✗UN t.c.cl✗ '' ' inverso' 'e detto diclINVERTIBILE se eRispetto aeELEMENTO a nel#DICE a caso# = e*de aa =asi AFUNZIONI su>& ) SURIETIIVEFUNZIONIin ETIIVE055 INVERTIBILI INED BIETIIVElesono /o. ,PROP ✗Sia eELEMENTOsuassociativa NEUTROUNA OPERAZIONE* CON. ALLORA ^✗ a-'E-e- ' PONIAMOINVERTIBILE inversoSE UNICOsuoIL aci ac- =INOLTRE b '^b) ''b b-a-_anch'se INVERTIBILIe HAesono essoci invertibile #(a =allora si ## e aAss .¥" 'b-Eb- bDire b b b-'' a- ea- a#* * ea* #** ==.

Strutture con una operazione

Def Strutture operazioneunacon. ✗ ✗* OPERAZIONE# su, ,Essa si dice :1) 'seSEMICRUPPO * e associativa2) 'monoide associativase ed Neutroesiste* ECe . È'37 esiste INVERTIBILEGruppo ' neutroELse associativa elemento* ogniedle ., È ''>< INVERTIBILEELEMENTOesisteGruppo se associativa neutro commutativaOGNI * ee*abeliano e , ,µEs )( è+ commutativomonoideun. ,Z( ) ' ABELIANO+ crvppoe un, B(Q ( ) (E) )) ABEUANICrupp+ /++ sono, ,> ,µ( ) È DE commutativonuovoun /.,Z )( È commutativomonoideun., làQ {( (B)IB )(E) {) ( }) elfo)} } ABEUAN 'crepao sonomasono commutatorim o ro s i o. -.. ., > . ,, , ,, ,3- (A) È commutativononseu ovoo un /, fe (}Bla { )f-Ila BlaÈ )) ) è un Gruppoinver tir ne Amorase °= -Def Strutture OPERAZIONIDUECON. ✗ ✗# # operazioni# # sucon,, ,Si anello sedice1) :(X ') eneutroa) ABEUANOe Corippo elemento# con,b) ' associativa* e PROPRIETÀb)b ( b) *distributiveb) ¢ Rispettoa) #(C) aE* # #che #C #* divale Ci ##C c# a# a Cc ==UN e- commutativasecommutativo *diceanello anche2) siUn =/ eesisteunitario3> perNEUTROsedice *Il µanello siPROP ASia eelemento# n e u t roconanello# un,. ,Allora eee # a=a # =Quindi È Rispettoammettae inverso a *cheimpossibileDire ( e) « e) Lae * e)## #ae ##a ==, Sia #l ' Alloraa Rispettoa# e # einverso asi- C- @ e)e)e) ee)(#( e)(e) ##e *# a# e# a ##aaa =# #a == = -UN4) ) ' #Rispettoanello INVERTIBILE a#UNITARIO rispettodacommutativo dice neutroElemento aCAMPO SE e ediversoOCNIsiµEs ÈNON un anello+ ., ,. 7L È an e llo UNITARIOun+ comm., , .✓ ☒ È commanelloun UNITARIONONINTERI + . ., ,PARI ④ ) È CAMPO RazionaleCAMPO+ un.,,M( ) è un CAMPO REALE+ CAMPO., ,€ È CAMPO CAMPO complesso+ un., ,22 È CAMPOt UN., ,212309NEL / KSEGUITO INDICHEREMO UN CAMPO SIMBOLOdel CORSO GENERICO CON ILDef n PLE-. { }" lkxlknfj.ge/lV---IKSi pla 1K IK(coefficienti >campo ) a'cemento insiemedellnzt c-a =uninn Undice aicon ofe0cm- , >. .., . , , COEFFICIENTICOMPONENTI 'DELL nO PCA-" "" "1KIK bSomma 1K/ K Gtb br bnbi aztbz( bz (bncon ))+ Un) ch'anOza✗ =ansu : = +> =: - ,,., .. . , .., ,, . ., . ,,,eu, atbb i >a- |?"" "" " "+ "+ "" ° "" "( IK )' ' ABEUANOcommutativa GRUPPOUN2) te e+ ,]3) Elemento n e u t ro "IK 'G) ELEMENTO INVERTIBILE RispettoOCN / +di aeProdotto " "IKIKIK (( )>× ascalare Ge aahClaper a.ancon ora= =: es a: cena• ..,, ., . _.. ,,capa È) .ci>iPROPRIETA fa "IK1)' 1- a a e: = fa "IK Fae IK4.13( a)p )2) pea. = ci- . , , fafa "IKIKKtp3) c-c-= p) da paa +. , ,faFa "IKbeIKxD>axb(a) + ea a.= a- ,,

Polinomi

POLINOMI /Kt CAMPOCOEFFICIENTI NELDETERMINATA A' /nell "npit tant) artt IKcon ao= un c-a. an+ .. .. , .. ,,^ ^^ COEFFICIENTI GRADO di P"DEF IK( Ikctt ]POLINOMIinsieme COEFFICIENTItutti CONINDICAVARIABILE indi sii Acon. IK lkctIK (t ] ]]E (SOMMA POLINOMI tProdotti USUALEMANIERA✗di NELLADEFINITE>+: :-,?1K¢Cos' lkct pit' ] )'>1e ] gruppo ELEMENTOABEUANO+ neutroe+ un o-. -, ,, #'2) associativo 1e commutativo elemento n e u t ro p =- con,,3) PROPRIETÀVALGONO DISTRIBUTIVELEQuindi ( kit ) ') anello unitariocommutativo+ e un-,, ?È 'Nocampo PERCHE sono invertibili Prodottonon polinomi Rispettoun tra Polinomialitutti, Ikxlkct aut "tt aant "1K¢ avait] )(] daSCALAREprodotto > DEFINITO notaPER a. ++ cio✗: =: ++• , . .. . ..Edt xpit)) i >✗PROPRIETA Fp Kct' ]1. =p> ei p: fa tpitpelk kctpitpit )) )) ](p2) ( a . )pa. e=- - , ,apt-li-ppl-IV-x.pe/K,-VpI-)-cIKctpit) ](3) )atp =- tpittaek lkctaplt agiti( qitpititqit ]) )) )4) ) ea. += , ,

Matrici

MatriciDef IK )( coefficienti campounina. ?^Ì[Ì"-RICHE } /IKm' ASI in MP 21DIMATRICE MCOEFFICIENTI MPOdelaccettounATPOdice n =✗ CHE nR'" . ,^ amaamCOLONNE . ., .IK traFrisiani jama i e; , ,, Mmxntk' )/KL di coefficientiinsieme INDICAletutte matrice in →tipo amindi (Per )M K (INSEMEDELL'TERMINI GENERICIunaindicare a simbolo ;)matrice usasi a iil imxn <, < in, cjcn1Se QuadrataMATRICE ordine ndicesin diLAin = IKMulkSi ) COEFFICIENITQUADRATEINDICARE leinsieme tutte adiscrive ordinel' matriciper INdi nvettore>'aA- "A IKMmxntk ) A''i.am "e a E si= a RICHEcon a , . ,.., "IKA Aan dian C- colonneda Un= daancon . ... . ., , ,MATRICEDEF TRASPOSTA. Mmxnllkasia )c- +ATASI A tttnxmlk) ( A;)TRASPOSTA diDEFINISCE Ojidi COEFFICIENTEmatrice DOVE DELLADEFINITA MATRICEdij=daela =io« , ,jam→ < tot id +f) t ta(Es ( nxmtk)IB ( 'Max a)MIKhtmxn>= )^ cioèQuantoBietivauna Funzionee in> =traspostae= =quindi la :>656. ,, ,?§ta M 21113 )E= > ✗ À Mulka )c-se nunOss ,. ¥1UnaDet ATA(A IKMn ) ( jcnSIMMETRICAe c iSEmatrice Edice simmetrica ;) Ese Cecina soloa isi se aji= ai ; =jcn. i . >, <SNCIKL' Hulk) )ESIMMETRICHE conDELLE MATRICI ORDINE indicaDIinsieme n si faciem tcjcnD= D=A-Somma Mmm 4K A-(Mmm bis( )IK) )IK) (M ( bi+ (;)a i ;)> c i +ai=✗matrice =ci; ;di ;mxn+ : con: ,. .. .. ... .I ①A +13( A-B) >i, |?" """ " "" "+ " "+" "" " mmxnllk ) e-' awppoun+ arenanocommutativa2) -e ,O0 .. . È] i3) Omxn =N e u t ro 0 ...G) rispettoMATRICE'OCN ammette allainversa somma (212809Prodotto ✓diIKX Mmn A dìMk)Mmxnflk ) A ;)( Eien> faiSCALAREPER 1 1;): i a.= ;con ;a.= ai En=icm«« ,m ,< ,, IEJINIII In(a) a) A>i a.PROPRIETA FA mm.in/KAA )' 1→ e=: . V-a.pe/K,-VA-cMmxn4KIA) A(( p )p> a.a a .=- .ftp.AV-qpc-lks-VA-cmmxnlkA )(atp )3) a.=- Fare fa Minnick/ KBA-A- BB) )io (a ea. + a=- ,,Prop Siano A aelkMmxntkBe ) es. ,Allora : +43ÌA taB)1) + =- ata(' a) =a.Prodotto "/K vettoriprodotto di duescalare CHEst a n d a rd :in " "IK "IK IKIK b bn( be) eDEFINITO Ge an ( >dada✗: > a-• =. . ., , . ., . ,,ce Èdebeb anbnbb) aibica I +a E a +> =• =• . .., ,Prodotto "? B bnA beMATRICI RICHE PER colonnedi : == ...am( BA A B" 'E LERICHE PER TANTECOLONNE QUANTEQUANTO didi LUNCHE colonne dilecui DIsono RICHEsono CE,A- D= MunkMmxhllk) )c-A. Be Mmxntk) Mmxn HsienaiABmmxhdktxmh.nl/K bj4K) ti) ciò(> ;) == c i En; ;£ ,%Es A- B Maximmsn.IR )f-IIIe e=. A B.B (B) AM esistenone- <> ✗3} 69A. B = 512197 1811 297-Prop Siano A- Mmxhtk MhxntkBe) )e. ,Allora TA TA= .. Proprieta Fae tce MnxstkB BeA. thmxhlikAC ) 4KB. mh' C ) associativa>i =: - . # ,,fa FC hsnxhtkB) Be 4K)B.A. mm.in( )cC2) e+ +=- , ,( B)A-C. AC. C B distributive++ = - FBEFae faB) IKa. Munck( G.A) Mmxntk-13A. (B) ) )3) ea. a .= = , ,tiDEF AE ntkUna M ) jaijse odicematrice =diaconale =/si. "(di;) )1< isjcn" 0A ora d' an41= = og' ...,0 ,. . × , PRINCIPALE> DIACONALE^Es 00A diag M ) '(1,0000 ) e-2 diaconalee= = }. ,-200DEF In seid' ISi {In' si( siIDENTITA matriceDEFINISCE ;)diMATRICE ordine n = °la 09 ;= = jseiien. , #,Prop A-Sia mmxntk)e. ImA.ancora AIn A-= - -IN AE Mulk A. In) InA aalloraPARTICOLARE se = -=MNXMCIKA Be( ) A.) B.aeM B ABMmtkIK aB.Mntk) )e =/se mentre Hasi#eAmora inseannomxnoss n,. , ,I }}Es [A- %(Max B M (B)B )e e= => >