Geometria ed algebra lineare

Funzioni, vettori e matrici

Funzioni

Funzione surgettiva o suriettiva: se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.

Funzione iniettiva: se per ogni a diverso a’ vale che f(a) diverso f(a’).

Funzione biunivoca: ogni elemento del codominio è l’immagine di un unico elemento del dominio.

Vettori applicati

Vettore applicato: segmento orientato nello spazio, ovvero si può individuare un estremo iniziale ed un estremo finale. La direzione stabilisce il punto iniziale e il punto finale del vettore, il verso è rappresentato da dov’è rivolta la freccia, il modulo è la distanza i due estremi.

Due vettori che hanno stessa direzione, stesso verso e stesso modulo si dicono equipollenti.

Span e sottospazi

Span (OP): spazio generato dal vettore OP, ovvero: fissato un vettore u, non nullo, in V, Span (u) è l’insieme Span(u)= (λ u | λ ∈ R).

Span(u) è la retta che ha per direzione u e passa per l’origine.

Span (u) è un sottospazio di V.

Span (u1,…..,uk) è detto sottospazio generato dai vettori u1,….uk.

Span (u1,…uk)=Span(u1)+Span(u2)+……+Span(uk).

La somma dei sottospazi è un sottospazio e quindi Span (u1,…uk) è un sottospazio.

Se ho due vettori, il loro Span potrebbe essere:

• Una retta se sono linearmente dipendenti.
• Un piano se sono linearmente indipendenti.

Combinazione lineare e indipendenza

Combinazione lineare: u4=λ u1+μ u2+ γ u3 e mi sono soluzioni del sistema λ, μ.

Una combinazione lineare è banale se tutti i suoi coefficienti sono nulli.

Due vettori si dicono linearmente indipendenti quando lo Span di uno non appartiene allo Span dell’altro, ovvero se sono tutti non nulli e ciascun elemento non è combinazione lineare degli altri.

(v) Span (u) (u)

Due vettori si dicono linearmente dipendenti quando lo Span di uno appartiene allo Span dell’altro, ovvero se almeno un vettore può essere scritto come combinazione lineare degli altri.

Se in una lista di vettori compare il vettore nullo, allora i vettori sono dipendenti.

Un versore è un vettore che ha la stessa direzione della retta e ha modulo 1.

Prodotto scalare e piano

Prodotto scalare

u * v= ux * vx + uy * vy + uz * vz = R è una somma di prodotti di numeri reali.

Un vettore è normale al piano se il suo span interseca perpendicolarmente il piano.

(v) π¬span (v)

Il luogo delle soluzioni di un’equazione lineare nella forma ax+by+cz=d è un piano nello spazio.

Spazio vettoriale

È un insieme V munito di operazione di somma e di operazione di prodotto per scalare in modo che valgano le proprietà:

• Commutativa.
• Associativa.
• Esistenza dell’elemento neutro.
• Esistenza dell’opposto.

Base

Una base di V è un insieme di vettori di V che soddisfa 2 proprietà:

• 1. L’insieme è un sistema di generatori di V.
• 2. I vettori dell’insieme sono linearmente indipendenti.

Vettori applicati in O → E³ 0.

Se v → (v1, v2, v3) sono la base di E³ 0 e posso trovare 3 numeri tale che V=αv1 + βv2 + γv3.

α β sono le coordinate del vettore V nella base B → E³ γ 0.

Base canonica di R

Base canonica di R.

√ 000 01 01 00 1 ©0 10 0 © 0 ©0©

Le coordinate di un vettore rispetto alla base dipendono dalla base. Lo stesso vettore ha coordinate diverse rispetto a basi diverse.

Teorema della base

Teorema della base

Se B1 e B2 sono due basi di uno spazio vettoriale V, allora B1 e B2 contengono lo stesso numero di elementi.

B1= (V1……..Vn)

B2= (W1……Wk)

n=k

Dimensione dello spazio vettoriale

Dimensione spazio vettoriale

La dimensione di uno spazio vettoriale V è definita come il numero di vettori contenuti in una base di V.

Uno spazio vettoriale è finitamente generato se ammette una lista finita di generatori.

Algoritmo di estrazione

Algoritmo di estrazione

Input: L lista di vettori di V spazio vettoriale.

Output: L’ ⊂ L t.c 1) L’ è formato da vettori indipendenti 2) L’ genera lo stesso spazio generato da L, cioè Span L’=Span L.

Se L genera V, allora Span L=V.

Passo 0: elimino i vettori nulli.

Passo 1: mi chiedo se il secondo vettore è multiplo del primo, se la risposta è sì lo elimino, se la risposta è no lo tengo.

Algoritmo di completamento

Algoritmo di completamento

Input: una lista L di vettori indipendenti di V.

Output: una base B di V che contiene L.

Esempio

L= 1 010 00 © 11

B0= 1 00 000 010 010 © 00© 0© 1

Considero L ∪ B0 e applico l’algoritmo di estrazione.

Troverò una base di R4 che contiene la lista L.

Se conosco la dimensione di V, per controllare che v1….vn sono una base di V, è sufficiente che:

• 1. n = dim V.
• 2. v1….vn sono indipendenti.

Formula di Grassmann

Formula di Grassmann

Dim (W+U)= dim W + dim U – dim (W ∩ U).

Se conosco 3 dei termini che compaiono nella formula, posso ricavare il quarto.

Se U e W sono sottospazi di V:

• Dim(U+W)<= dim U + dim W.
• Dim (U+W)= dim U + dim W – dim (U∩W).

Se U1….Uk sono sottospazi di V, allora U1….Uk sono in somma diretta se dim (U1+U2+….Uk) = dim U1 +dim U2+….+ dim Uk.

Esempio 1

Esempio 1

U1= Span U2= Span U3=Span

1 0 1

1 1 2

0 1 1

Dim U1=dim U2=dim U3=1.

U1+U2+U3=Span = Span

11 0 1 0

21 1 1 1

10 1 0 1

Dim (U1+U2+U3)=2<= 1+1+1=3.

U1, U2,U3 non sono in somma diretta.

Esempio 2

Esempio 2

U1= U2= U3=

11 0 1

1 1 1

0 1

Dim U1= dim U2= dim U3= 1.

U1+U2+U3= Span

1 0 1

1 1 1

0 1 1

Dim U1+U2+U3= dim U1+ dim U2+ dim U3= 3.

Sono in somma diretta.

Se U1….Uk sono in somma diretta, il sottospazio somma viene denotato con U1 + U2 +….+ Uk.

Per capire meglio

Linearmente indipendenti

• Linearmente indipendenti.
• {u,v} u=αv impossibile u,v linearmente indipendenti → → → soluzioni u,v linearmente dipendenti → →.

Span(u,v)

• Span(u,v)= t ×u+ s × v.

Retta passante per due punti

• Retta passante per due punti.

Posso quindi ricavare le equazioni.

A=() B=() parametriche della forma:

x x=t+s

( )= A+ t OB−OA

y y=1+s

z z=t-s+1

e cartesiana della forma:

Piano passante per tre punti

• Piano passante per tre punti.

x+y+z+d=0

A=() B=() C=()

x ( )= + −OA)A+ t OB−OA s(OC

yz

Distanza d

• Distanza d.

−xx A B ¿¿−y yA B ¿ tra due punti → ¿−zz A B ¿¿¿ 2 ¿

d= √ ¿¿ +by +cz +ax d∨ √P P P 2 2 2 2 P+b +c il punto e il piano π → traa0 0 0 0

d=¿

Punto medio

• Punto medio.

+x xA b2+y yA bM= 2+z zA b2

Versore

• Versore.

w Span (u,v) ∈ | |¿ ∨¿u−v

w= u−v¿

Le matrici

Una matrice è una tabella rettangolare o quadrata di numeri reali.

1 2 3 Righe

1 4 2

Colonne 2x3

( 7 8 5 2 ) matrice riga 1x4

4 matrice colonna 3x1

5

7

1xn = matrice riga.

Kx1 = matrice colonna.

Una matrice A è di ordine kxn se ha k righe e n colonne.

Le matrici quadrate sono quelle in cui k=n e dirò che A è una matrice quadrata di ordine k.

Indico con l’elemento della matrice che si trova sulla riga i e colonna j: a ij.

In una matrice A di ordine kxn:

• 1 <= i < = k.
• 1 <= j < = n.

Colonne e righe di una matrice

Data una matrice indico con:

A K ×n

la prima colonna di A o 1A

la seconda colonna di A o 2A

la n-esima colonna di A o nA

A= =o 3A

1 2 3 4 3

5 6 7 8 7

Data una matrice indico con:

A K ×n

la prima riga di A Ao 1

la seconda riga di A Ao 2

la k-esima riga di A Ao k

O 0 0 0

2 ×3 matrice nulla

0 0 0

Proprietà delle matrici

Proprietà

Somma

• 2 9 8 8 2 7 10 11 15 + =
• 4 3 5 0 1 6 4 4 11

Moltiplicazione per scalare

• 2 9 8 10 45 40
• 5 x =
• 4 3 5 20 15 25

Prodotto di una matrice per un vettore

Prodotto matrice per un vettore

• 3 4 16
• 2 3 4 1 2x = 1 + 6 -1 = → R2
• 2 7 4
• -1 2 7 6 -1
• -12 x 3

Il prodotto matrice per vettore si può fare se e solo se il numero di colonne della matrice è uguale al numero di componenti del vettore.

Moltiplicazione tra matrici colonna e matrici riga

Moltiplicazione tra matrici colonna e matrici riga

• 11 2 -1 0
• 3 2
• 4 1 1 10

Primo modo

2 21 -1 31 + 0 + 2 + 1 =1 6

4 1 0

Secondo modo

1⋅1 + 2⋅0 + (-1)⋅2 + 1+0-2+3 24+0+2+0 6=3⋅1

4⋅1 + 1⋅0 + 2⋅1 + 1⋅0

Prodotto matrice per matrice

Prodotto matrice per matrice

• Per calcolare il prodotto tra due matrici A e B, il numero di colonne di A deve essere uguale al numero di righe di B.

Il prodotto tra una matrice A 2x3 e una matrice B 3x2 sarà una matrice 2x2.

1 2 3 1 0 2 6 2 7 6

1 0 1 1 2 0 3 2=

1 1 11

2x3 3x4 2x4

Proprietà

• A(B1+B2)= AxB1 + AxB2.
• (A1 + A2) x B = A1B + A2B.
• (AB) = (λA) B = (BA) λ λ.
• x = O B Ok ×n n ×h k ×h.
• x = A B Ok × n n ×h k ×h.
• A (B x C) = (A x B) C.
• A x B ≠ B x A.
• Si trova nella riga i della matrice A e nella ( A × B)ij colonna j della matrice B, quindi è come dire xA jBi.

Esempio:

= (1x4 + 2x6 + 3x3)= 4 + 12 + 9= 25

AB 13

1 2 3 1 3 4 1

4 5 6 -1 2 6 2

1 1 3 1

Matrice identità

Matrice identità

Elemento neutro per la moltiplicazione.

I I I= = =

1 0 1 0 0 1 0 0 0

2 3 n

0 1 0 1 0 0………

0 0 1 0 1 0 00………

0 0 1 00……….

0 0 0 1

Proprietà matrice identità

x B = BIo n IA x = Ao nx X = XIo n

Risolvere un sistema

Risolvere un sistema con soluzioni di AX=B.

ax=b

Se a,b≠0 allora ho infinite soluzioni.

Se b≠0 se a=0 (0x=1) non ci sono soluzioni.

Se a≠0 x= b/a = e ho q