Geometria

Formulario

Trasposta → scambio righe e colonne → m×n → n×m

Matrice simmetrica → una matrice quadrata si dice simmetrica se ^tA = A, se invece ^tA = -A è antisimmetrica.

Moltiplicazione → due matrici si possono moltiplicare se le righe del secondo sono uguali alle colonne del primo.

Idempotente → se A = A²

Nilpotente → se Aⁿ = O

Matrice invertibile

Matrice invertibile → se date 2 matrici quadrate A e B → AB = BA = Id, è invertibile se ha det ≠ 0 e l'inversa è data da:

A^-1 = ¹⁄_{det A} ^t((-1)^i+j det A_ij)

Se Ø è invertibile anche ¹A lo è

(A^-1)^-1 = A

(A^t)^-1 = (A^-1)^t

(AB)^-1 = A^-1B^-1

(A^-1)^k = A^-1

(A⁰) = I

Teorema Binet

Teorema Binet

det(AB) = det A · det B

se A è invertibile il det A ≠ 0, e viceversa

det(A^t) = det A

Determinante e calcolo su quod.

Formulario

Trasposta → scambio righe e colonne → m×n → n×m

Matrice simmetrica → una matrice quadrata si dice simmetrica se tA=A, se invece tA=-A è antisimmetrica.

Moltiplicazione → due matrici si possono moltiplicare se le righe del secondo sono uguali alle colonne del primo.

Idempotente → se A=A²

Nilpotente → se Aⁿ=0

Matrice invertibile

Matrice invertibile → se date 2 matrici quadrate A e B → AB=BA=Id, è invertibile se ha det ≠ 0 e l'inversa è data da:

A^-1 = ¹/_detA t((-1)^..., detA)^...)

Se Aò è invertibile anche tA è

(A^-1)^-1 = A

(tA)^-1 = t(A^-1)

(AB)^-1 = A^-1 B^-1

(A^-1)^k = A^-1

(A)⁰ = I

Teorema Binet

Teorema Binet

det (AB) = det A · det B

se A è invertibile il detA ≠ 0, e viceversa

det (A^-1) = ¹/_detA

Determinante e rango su quoad.

Se fra 2 colonne AeB o A, B sono elm. dip_->sono multiple

un sistema omogeneo ha sempre la soluzione banale.

Teorema Cramer

Teorema Cramer Un sistema quadrato ammette una sola soluzione se e solo se detA≠0 (quindi è invertibile) e l'unica soluzione è:

X=A^-1B - (det (_z1  y1)

X₂= det (_z2  y2))^detA

Se il det=0 il sistema ha 0 o ∞∞ soluzioni  x₂⌉_∞↝rgB

Teorema di Rouché-Capelli

Teorema di Rouché-Capelli Sia C la matrice completa dei termini noti-> il sistema ha almeno una soluzione se: rgA=rgC

Se rgA≠rgC ∄ soluzioni

Matrice a scalini se una riga è nulla tutte le righe sotto sono nulle; sotto il primo elemento non nullo di una riga (pivot) e sotto tutti gli zero che lo precedono ci sono tutti elementi nulli.

Se A è a scalini -> rgA=_{numero righe non nulle}

Per Rouché-C. un sistema a scalini (con C a scalini) ha almeno una soluzione se e solo se l'ultimo pivot della matrice C non sta sull'ultima colonna.

Spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale su ℝ è un insieme V ≠ Ø chiuso rispetto a somma e prodotto.

Proprietà

• ∃! 0 → esiste un unico elemento neutro (il vettore nullo)
• ∀v ∈ V, ∃! -v : v + (-v) = 0 → esiste l'opposto
• ∀v ∈ V 0·v = 0

Vettori geometrici

Dati AB ∈ V_A e CD ∈ V_B ⇒ AB è equipollente a CD se:

• 1) Hanno stessa lunghezza ⇒ dist (A, B) = dist (C, D)
• 2) Hanno stesso direzioni ⇒ giacciono su rette //.
• 3) Hanno stesso verso.

Vettore geometrico libero ⇒ è una classe di equipollenza di vettori geometrici applicati.

Sottospazi vettoriali

Un sottospazio è un sottoinsieme non vuoto W di uno spazio vettoriale V chiuso rispetto a somme e prodotto:

• 1) Il vettore nullo appartiene a tutti i sottospazi vettoriali;
• 2) Ogni sottospazio eccetto {Ø} fra ∞ elementi:

Span

Span (v₁ ... v_m)

È l'insieme di tutti i vettori che si ottengono come combinazione lineare di v₁...v_m.

Coordinate dei vettori

Come trovare coordinate dei vettori? Coordinate rispetto alla Base (-1)(^-1₂)

x₁(^-1_-1) + x₂(^-1₂) = (⁵₈)

{ x₁ = 2 { x₂ = 3

F_B (⁵₈) = (^-2₃)

e per la base c