Esercizi svolti Analisi e geometria 2

AGZEs. Algebra lineare

Esercizio 1

1) Mostrare Èche di" teelazèasintotica nell'equivalenzaC-a. insieme✗✗per → o .R ±u - (S )) S( Sdelle definite nulle Xoin qualcheXo Xotsoluzioni Xo perue non > 0- , , .

b) Stabilire " "da chetermini neltrasportareè altrapartepossibile all'se sensouna :f. fa hcxh )( gcxgcx) )) )( ) + ×~× ~- ✗ ✗→✗ ✗→ oo %f-ricorda 1)GE %G) ¥ È: , ...LÈ?fai Sifai Si&• -« , ✗ sto 7¥51?la fa siG)gen ) g>sia ]~• ~ ; ✗ a -1--1-1=1→✗ LIÈGE )→ lo , sif- ¥1 f-7=1?fnhfng gnh G- 11=1=L;sia →e .• = fattoQuesto si usalimiti semplificareRelazionetre neiequivalenza perdilepoichè proprietàrispetta → → complessemoltoespressioni .eè ?

b) ¥Noi ad 2 è no=e 1-1 ✗EIesempio + ~✗ --: ==fa ha,gas, ↳ →unoNon fare legeneraledettolo asintoticaglisi inpuò ècon ma connonequivalenzarelazioni diDimostrare che2) utilizzando0 I e vettorialedi spazio- assiomi= .)(O e) )(E HivEOto 0 E 0 dia+ opposto= o→- sommiamo=- . . - - ,↳ midistributivi [ ]0-1+[-6.0-1]=0 e( e Ore)tare oree + +=→- ↳ neutro÷ El- .VEIT OPPOSTOt Ora E. -EDÀ Veit .Proprietàaltre dagli assiomiseguonoche :} ) )( ( )(3) )(RVeit in E1210,0 1,0le ase 013,0 0,1o-: =_ ==, ,. ?lineare altridegliInG. combinazionecome{ } ?b. linearmente indipendentiE V.v1 re a,, , àatb] §]=Lb) [[[È} E)bret.ca learea. + :b++ impossibile→ e= -faiacdb.se↳lin altriQuindilin verificoaltrideglidip cometaalmeno gli→→ una. .bel QDICUIarte + ++ = KERa =(g)b-- -/ b.-0( b-La 2Gt+ o LINEARMENTE-2A INFINITE= Dipendentib Ega soluzionib+3C +3C (O= =-d d-d oo-Ossa }Li Rlimpidivolt in ;)non esserepossono p. .. basedimensione 3 hacanonica→:elementi3 ( )

Esercizio 4

4) baseBVerificare che Vdello vettoriale deix21 ' spazioe una×= , , ,2gradopolinomi di E - se adpoichédico ènon più v.2. a.= ,dimvDeterminare divalore deve chevettore nulloil esempio avere. ,20grado' di diminoree , .Generico bx b.'V G) =elemento pdi 1ax + e+ a. + c+✗ ✗= =: .-!↳ teean deee. insieme di1presenta base ×→ , , Vdigeneratori .apuòpolinomio scriveresise comegeneratoricotali lineare dinazione ,Vtaleallora C-polinomio .indipendentiverificare linearmentechedevo→ siano : )(2 Ib. ERa. qualche✗O puntoe+✗ × + innon semprema= , .= forzascegliere cannolo C-posso o✗x o per→: = .b atba + e1 +per →o o✗ -=:= fa b- b-b -b tea-✗ 1 a- O a-per b c. Oo a: → === - =Leo=}{chehosiccome è generatori1 diinsiemedirvi è× un, , ,Vche base didire èposso una .)c) ( ?b.dinnv OSS(=3 generalea. in di polinomispazio:. , )grado hadi ( dihnEh nzo .)(1) base"X di tale×1ht canonica spazio, . _. ,. .

Esercizio 5

5) Siano f- ti )(gli Cos'> KKG) )G) ✗sai Cos 2xccsx×: == == ,,,{ } { }f hf hStabilire Ka. vettoriinsiemig diese sonog , ,, ,,linearmente IRR✓indipendenti in = .{ }b. f. hStabilire KEW gse spam= , )(Se f baseh WB-coordinatedet divoltdi K rispettoc. g.aposa ,. .. ,.fa b. ha ¥G) RC->a. a- > g c.+ ✗+ o=b. t.cat/)=OV-x-CIR>a- cosisen ++✗ perchéTrova cond ERvalga ynecessaria ✗. b.b. {✗ D=a-0 Ot + c-• a 1=0 C: c. o+ →= → -- bb. bC1)% (1 at a0 t Cc- c.O✗ =o aa. C o• → - →: . == =- = = -= C-b. 1) b. G-biIT Ctea. + C-1=0 o✗ o → o• →: -= - =. f h lin Indg →, ..,Costnota senzasi 2xcos: = - h faG)K ( senza 1-1-) )Cos gcxt2 ✗ 0+× > + g.== ÷ÈÉx:÷ :: :: :: sib.→ →lo }generanof h base ben definiteW coordinatedic. dig., indipsanno . )(1)Tali coordinate 0,1sonodevo poichescriverle in ordine ',ordinatoBbase ' insiemee .INT "1 'DiGEN Y 5g GY+ Oa:. -. -. . delèb. ordinelineare' 6cg 2°3." Jy 1- eqy - - . .tè coefficienti✗' costanti3C5g tgy a"yc. =- .b.a. nonomogenea c. omogenea,1=-75)F- te 3caratteristica 6=0+equazionea. : ,(1-2)=0(t #3) "sol e yy- e: - -, ( ERnceè> ✗int C() +seyagen : ,= 2)dim( dicostituiscono 0.0uno -.RR">definendoNota Ly apple.nl Der R'" by èy sy + →:: -= , Karll' di 'delle soluzioniinsieme a. e .Lyb. f- " qualsiasi generaleaol.ge soluz14) di3C sol +en omogeneagen= := ...↳ FORZANTE faMETODO poiche G) "esponenzialeSOMIGLIANZADI G)esponiypcerco y al: =,' daperche dello generatovettorialeclan'3. un spazioe yo ype e.V-x-CR-2afe.gl#-×✗""sost Jae fa+ =3ac @@: -. *sempre o3-2 tszèGÉGÉ GERInt'312 G.yp e gena = :.= )"" "( " "" °fslxLy" fraè faForzateC- Ly faYp soldi) Igdi>3. sovrapposizionetace+e+ - -= -= .{ beYp ✗ ×e +-Se bebene troveremo Ly ""candid poiche dicesoluzera-0-,. , . .Quindi funzionametodo di quindisomiglianza cosi non ,"fa b.ad delè YCDtipodi × e- .:. b- b." " è(1+2×7Zbxe' e +G)y == zbètzbltzx ) è ( "45G) è1)"Y +✗= =c' (× 11-2×7b ègbxe>1) ✗(sost ✗Ub >5 +✗ e+ =-:. E- ]-b. -1= faLy" di)Quindi ycx sol'xe e =-= .faaol.dily-fstfa.INT× > ✗>ycx e✗= - 22> ✗ xè) Gek( × GER( caGEN y +× se + @i - ,-.. " "2) be" sy toyy ' + -- I Sdt 16ASSOCOMOG -0: -. . )(( 7- 1=44)b- soli dimmica sa CMGo -7sempre. ." " -" "Y G)e y e✗= => "" ✗ "int ( se ↳ ✗ egen +:- ." " )"forzare (fa "dell'soluzioneteYp 3C cre: > omogenea: = )""anche ' (" ad "dell'ma e omogenea exee✗ - " "Lyefsolallora di del axzetipocerco .[ ]conti-. . 3-2derivando sostituendo trovo a-e :, " """ {✗Luffint di xze>completa Coseycx Ge +gen : = ...

37 IAlgebra lineare

Esercizio 2

2) risolvibiliDiscutere tà deldi KER sistemaal variare :{ Ky✗ K- -=kttx( -1y- = 1Kx y+ = risolubile levalori soluzionitrovare'iper cui eper , .richie scale10 l'MODO comodo 1a qua: . → "":/-, f.① | ]/- -pi _| RB-:*KK K IK - ÷ÉTÉ -- riti- "" calcolo il etrii-k-I.tk?tke ao⇐ ftp.rI → + «" o. ] -^ >_. Ritti)« 9° Rt unao ,µ , → + µ%-- annulla _sinon ,Comodo dadividere- - --1[ | 1K KK KKK - -- --- ' -1 rikerItrialtri K '+? °0o K 1= =)µ )( K')( -1tk) →o°K' o°0 0 ( ' K'-1tk -1 k the .- , > +1K[ ] )rk Allatetra (soluzioni nonché22 Capelliper -= : =KZTK k_-@EIncncie.sclnzicne-1 KZTKsoluzioni -1=0per "2 t': o#- = per=1=+4D= 5= )la matrice (Aperchè haèsoluzione la Colonne2unica massimorango-1ITLRisolviamo Kper ={ {Ky✗ K- = - y.FI#--k2t1-2-=1-j+-=1T-2Fsts=3i=Fsk2t1)(Itri ri -1y - 4 22rjy-t.IE{ ✗ == =. . ,-modo determinante2° : T -µ KK[ -] -/ rkb [a A AllarkA ]colonne soluz2 =3-< 2-11 cinon sesono: .-- [1-11]=3 [rkil ]Alla -1-0detquando1La Peace : ] ]][ [ ["È ilII È Ìkdetb)[ / del1.de/- (a) ) )det kfktiA klktitk(1)- 1- K+-- - - == -1) -1ITL( )' ri (KK 2K2 -2 tk oK= - prima= come=-- --1)detti K [ ]da Allark- conclude nullaè-1 non si su+ -1K o= -Kh - )( quadrataschematica sotto matrice diciè A[" -1 ]ti tektdet =L=/ma detto2kt con→ktt 1-1k o=K 1 - .?

Esercizio 3

⃝3) E11 2Siano 0 0 OO 1° 12 00 00a ☐= =,10 01Oo 0 o 020 000 2 o zzabiliStabilire diagonaliBAa. e sonose .b. le] dueTERStabilire valorequalche del parametro cuise per, )(eudomcrfismomatrici " R'stesso dilorappresentano "R R→basi diverserispetto a .Una matrice diag autovalori regolarirealièa. se e .Normalmente caratteristicopolinomio .triangolariIn matriciquesto autovalori glicaso sono sono -elementi algebricasulla diagonale loro molteplicitàlacon, .1--1 (1) 2 entrambema = per .7=2 (2) 2ma =ma ):{ 0I( ✗ 00OAA - ) (1)(per )I (A dimker II011= A=3o mg1=1 - = - =0 1 0 0 " )rbfA.ttR0001 4-3=1dim -= =(1) (1)2¥ 1ma mg= =to1 0)( ) )rk( (IBB ° Iclinker 4-2=2B-I000 B-2- =: =-0 0 00 ✓100 0 )inglmale) -2 =-( ) OtoB at 0- = -2-17-2 ✓RKLB (2))2) Mgp-10( o 2✗ maO= = -. ..-100 0 Tutti0000 di Bautovalori[ gli sono↳↳ nulle quindi Bregolarireali e ,diagonali abilenulle 'enon 2- 2- .e propnonb. ? ( a)direè invertibile ta7Sono SIMILI PMATRICI PBPB ' a-come -=p AP- e:MI zzabile matricediagonalièB simile diagonale particolareuna unaina a→ ,di nell'autovaloriquelle ordinei suficon ,che voglio |ÈÉÉf- Es : ↳ 002Allora anche dovrebbe diagonaliA essere zz .fosse similitudineb perchésimile lase a ,transitivarelazione'e una .]-[4) -3-0 KER-1-2Ari ,, ?Per zzabilediagonalièKquali - -e)=p s →) - )FGII )detta t KtrC- t +1 -a =-- =-→. - la0 6)3- (K ) E( tti 1- K O+= =- - -1=-1 l ' ttkla place G -=-_ ÈD= 7-4k1- KE4kt O24 25=¥ autovaloriciK > 2se sono )( =/partecomplessi imrn e0. ,AKmatrice diagonla ènon .TÈ12¥ ±teKE C-se R> =, a ) (E){ f- ÈlaÈ 2K ma> =--?{ )la malti 1per mg [ =- , >( ti 1> mg =E][ →{ -5 diI )A fig- regolareRsR- seÈ -,= -1o - 51202%, regolare(E) non2) ma( II =her 3-2--1A =- diagA non .KEEF )Taft ( tepotrebbe✗ coincideredei due -1però} uno con =Èk ±Èk È1 ± =-3proviamo -31: =→→ --=a ↳ scarti amo È-ie +g)-/ → →° 9-2 -4K25rango[ ] =-1-1I1)C- 0a- di1 reg rnonmg. →- .04 diafA non .)4,2¥(4)faPer hmatricela distintiautovalorike realiu 3• , e ,abilequindi diagonali' zze .5) Le )matrici ( diagonalisimme