Appunti di Geometria 1

Mattia Pozzi appunti di Geometria 1

Dipartimento di Matematica - Università degli Studi di Milano

Indice

• 1 Spazi vettoriali 1
• 1.1 Gruppi e campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
• 1.2 Spazi vettoriali: definizione e primi esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
• 1.3 Sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 2 Matrici e sistemi lineari 9
• 2.1 Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 2.2 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• 3 Basi e rango 21
• 3.1 Sistemi di generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 3.2 Basi e dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 3.3 Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 4 Applicazioni lineari 35
• 4.1 Definizione e primi esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 4.2 Isomorfismi ed endomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 4.3 Matrici rappresentative di omomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 5 Teoria del determinate 47
• 5.1 Forme multilineari alternanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
• 5.2 Il determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
• 5.3 Applicazioni del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
• 6 Spazi affini 57
• 6.1 Definizione e primi esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
• 6.2 Sottospazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 6.3 Intersezione di sottospazi affini e spazio contingente . . . . . . . . . . . . . 61
• 7 Autoteoria 63
• 7.1 Matrici simili e diagonalizzabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
• 7.2 Autovalori, autovettori e polinomio caratteristico . . . . . . . . . . . . . . 64
• 7.3 Diagonalizzabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1 Spazi vettoriali

1.1 Gruppi e campi

∗ × → 7→ ∗( )G G G G a, b a b operazione

Sia un insieme, una funzione : che associa è detta ∗ ∗G, G G chiuso su se è un operazione su allora diciamo che è dell’operazione . Ad N ∗= = + +G esempio, siano e , la funzione associa ad una coppia di numeri naturali N 7→( ) ( ) +n, m n, m n m, la loro somma allora è chiuso rispetto alla somma.

Definizione 1.1 (gruppo)

∗ ∗)(Sia G un insieme e una operazione su G, la coppia G, è detta gruppo se sono soddisfatte le seguenti proprietà:

• ∀ ∈ ∗ ∗ ∗ ∗( ) = ( )1) g g g G si ha g g g g g g (proprietà associativa);, ,2 3 2 3 2 31 1 1
• ∃ ∈ ∀ ∈ ∗ ∗= =2) e G tale che g G si ha g e e g g (e è detto neutro);
• ′ ′ ′∀ ∈ ∃ ∈ ∗ ∗= =3) g G, g G tale che g g g g e (esistenza dell’inverso).

Esempio 1.1

Si osserva facilmente che:

• Z,( +) è un gruppo;
• N,( +) non è un gruppo poiché manca l’inverso;
• Z, ·)( non è un gruppo poiché non esiste l’inverso;
• Q, ·)( non è un gruppo poiché 0 non ha inverso;
• Q − { } ·)( 0 , è un gruppo.

Definizione 1.2 (gruppo abeliano)

∗)( Un gruppo G, è detto gruppo abeliano se vale la proprietà ∀ ∈ ∗ ∗=commutativa, ossia g g G risulta g g g g ., 2 2 21 1 1

Esempio 1.2

Z, Q, Q R, R− { } ·) − { } ·)( +) ( +) ( ( +) (, , 0 , , , 0 , sono gruppi abeliani.

Osservazione 1.1

∗)( G, G almeno Se è un gruppo, allora ha un elemento.

{ } ∗ × → ∗= =G e G G G, e e e, Infatti, sia e sia : ossia osserviamo che vale la proprietà ∗ ∗ ∗ ∗( ) = ( ) =e e e e e e e, e, associativa, infatti esiste il neutro che è proprio infatti ∗ =e e e, e. ed esiste l’inverso che coincide anch’esso con In modo analogo si potrebbe costruire un gruppo con due elementi.

2 Mattia Pozzi - Appunti di Geometria 1

Notazione

∗ +Se l’operazione è indicata con , allora l’elemento neutro è indicato con 0 − ∗ ·g g.e l’inverso di con Invece, se l’operazione è indicata con , allora l’elemento neutro − 1g g è indicato 1 e l’inverso di con .

Definizione 1.3 (campo)

K K.·+Sia un insieme e siano e due operazioni su La terna K, ·) campo( + è detta se:

• ,K,( +)1) è un gruppo abeliano;
• K − { } ·)(2) è un gruppo abeliano; 0 ,
• K K∀ ∈ · · ·( + ) = +3) k k k si ha k k k k k k k (proprietà distributiva)., ,2 3 2 3 2 31 1 1 1

Esempio 1.3

Q, R,·) ·)( + ( +, e , sono campi.

Osservazione 1.2

K, K·)( +Se , è un campo, allora ha almeno due elementi.

K − { }+Infatti, se 0 è il neutro dell’operazione , allora il gruppo 0 ha almeno un K K·elemento (Osservazione 1.1), che coincide con 1 (elemento neutro di ).

KK, ·)( +Se , è un campo, allora valgono le seguenti proprietà:

• K∀ ∈ · ·= =k k k1) si ha 0 0 0 ;
• K K KK,∀ ∈ · ∨= = =a, b a b a b2) se 0 allora 0 0 .

1.2 Spazi vettoriali: definizione e primi esempi

Definizione 1.4 (spazio vettoriale)

K, ·( + ) ( + )Sia un campo, diciamo che la coppia V,, K K VKspazio vettorialeè uno sul campo se:

• ( + )1) V, è un gruppo abeliano;
• V K K· × → ∈ ×( )2) esiste un’operazione V V (che associa alla coppia k, V l’elemento: v
• K· ∈ ∀ ∈ ∀ ∈( )k V) tale che k, h e V si ha:v v, u
• · · ·( + ) = +a) k k kv u v uV V
• · · ·( + ) = +b) k h k hv v vK V
• · · · ·( ) = ( )c) k h k hv vK
• · =d) 1 v vK KV

Gli elementi di sono detti e gli elementi di sono detti Inoltre, l’insieme vettori scalari.K-spazioV è detto un vettoriale.

Esempio 1.4

K, K n·( + ) =VConsideriamo un campo , e l’insieme :

K K  x 1  x 2   K Kn ∈|= = x xx , , ...,x  . n21..     x n

Spazi vettoriali 3

K K K Kn n n n× →+Definiamo su l’operazione : come segue:

     +x y x yK1 1 1 1... ... ..+ = + =x y      .     +x y x yKn n n n

( + ) + =osserviamo facilmente che vale la proprietà associativa, infatti x y z+ ( + ) . Esiste l’elemento neutrox y z 0:

 0K..=0  . 0K

K Kn n∀ ∈ ∀ ∈ −+ =tale che si ha Inoltre, esiste l’inversox x 0 x. x x:

 − x 1...− =:x   − x n

+ (− ) =tale che Infine, è immediato verificare che vale la proprietà com-x x 0. K n∀ ∈ + = +mutativa, infatti si hax, y x y y x.

K,( +)Concludiamo che è un gruppo abeliano.

K K Kn n· × →Definiamo ora l’operazione : come segue:

   ·x k xK1 1... ...· ·= =k kx       ·x k xKn n

(a),Si verifica facilmente che con questa operazione sono soddisfatte le proprietà(b), (c) (d)e della Definizione 1.4.

K n ·( +)Dato che , è un gruppo abeliano ed esiste l’operazione che soddisfa le K K-spazion(a), (b), (c) (d),proprietà e concludiamo che è un vettoriale.

Osservazione 1.3

K K, K K.n= =nSe 1 allora quindi è uno spazio vettoriale su

Esempio 1.5

K, K·)( + ( + )V,Consideriamo un campo , , uno spazio vettoriale su e VF ( )S. S, V S V:un insieme Indichiamo con l’insieme delle funzioni definite da in F { → }( ) =S, V f S V:

F × F → F+ ( ) ( ) ( )S, V S, V S, VConsideriamo l’operazione : , che alla cop-F∈ F × F ∈ F( ) ( ) ( ) ( + ) ( )f g S, V S, V f g S, Vpia di funzioni , associa la funzione .

F∀ ∈ ∈( ) ( )s S f s g s V,Dato che abbiamo , possiamo scrivere:

( + )( ) = ( ) + ( )f g s f s g s:F V

4 Mattia Pozzi - Appunti di Geometria 1

K· × F → F( ) ( )S, V S, VConsideriamo ora l’operazione : , che associa alla coppia F· ∀ ∈ ∈( ) ( )k, f k f s S, f s V,la funzione . Dato che possiamo scrivere:

F· ·( )( ) = ( )k f s k f s:F

K-spazioF ( )S, VÈ facile verificare che con queste due operazioni è un vettoriale.

Osservazione 1.4

· · · · ·( + ( + (· + ) + )La somma di vettori può essere eseguita v v v n21disponendo in qualunque modo le parentesi e il risultato di tale somma dipende solo da · · ·+ +vettori , ..., . Possiamo quindi denotarla con , omettendo le parentesi.v v v vn n1 1

K, ·)( + ( + )V,Sia , un campo e uno spazio vettoriale, allora:

• V( + )V,1) in esiste ed è unico l’elemento neutro (0);

V ( + )Dimostrazione. V,Il neutro esiste poiché è abeliano. Dimostriamo l’unicità per V( + ) = +V,assurdo: siano e neutri in , allora poiché è neutro, inoltre0 0 0 0 0 02 2 2V V1 1 1= + = + = = ■poiché è neutro; dunque: da cui .0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2 2 2 2 2V V1 1 1 1

• ∀ ∈ −V2) esiste un unico inverso (v v);

( + )Dimostrazione. V,L’inverso esiste perché è abeliano. Siano ora e due in-v v 2V 1+ = + ( + )versi di allora , inoltre, per la proprietà associativa si hav, v 0 v v v 2V V V1 1+ ( + ) = ( + ) + = + = = ■, segue che .v v v v v v 0 v v v vv2 2 2 2 2V V V V1 1 1

• + = = + (− )3) l’equazione (nell’incognita ha come unica soluzione .x) a x b, x b a

−Dimostrazione. Sommando ad ambi i membri dell’equazione l’inverso di ossiaa, a,+ (− ) + = + (− ) = + (− ) ■otteniamo , da cui .a a s b a s b a

• ∀ ∈ · =V4) si ha 0v v 0;K

· · · · − ·= ( + ) = +Dimostrazione. Abbiamo 0 0 0 0 0 sommando 0v v v v, vK K K K K KV· · · · · ·+ (− ) = ( + ) + (− ) = +otteniamo 0 0 0 0 0 , da cui 0v v v v v 0 vK K K K K KV V V V· · ·+ ( + (− )) = ■0 0 , ossia 0v v 0 v.K K KV V

• K∀ ∈ · =k k5) risulta 0 0;

· · · · − ·= ( + ) = +Dimostrazione. k k k k kAbbiamo sommando ottenia-0 0 0 0 0, 0V V· · · · · ·+ (− ) = ( + ) + (− ) =k k k k k k ■mo , da cui0 0 0 0 0 0 0.V V V

• · = = =k k6) se allora 0 oppurev 0, v 0.K

− 1· ∃=Dimostrazione. k k kSia allora (inverso di per la moltiplicazione); moltipli-v 0,− − −1 1 1· · ·( ) = =k k k k ■cando ambo i membri per si ha: , da cuiv 0 v 0.

Notazione

∈ − = + (− )VPer ogni denotiamo : . v, w v w v w

Spazi vettoriali 5

1.3 Sottospazi vettoriali

Definizione 1.5 (sottospazio vettoriale)

K-spazio ⊆Sia V un vettoriale e sia U V. Diciamo che U è un sottospazio vettoriale se:

• ∈ ∈+1) per ogni U si ha U;,u u u u2 21 1
• K∈ ∀ ∈ · ∈2) per ogni k e U si ha k U.u u V

In altre parole, un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di chiuso rispetto alla som-ma e al prodotto. Vediamo ora alcune proprietà dei sottospazi vettoriali.

Proposizione 1.1 (proprietà dei sottospazi vettoriali)

K-spazioSia V un vettoriale e sia U un sottospazio vettoriale, allora:

• ∈1) U;0 V
• ∈ − ∈2) se U allora U;u u
• K-spazio3) U è un vettoriale con le operazioni indotte da quelle di V.

Esempio 1.6

K-spazio =V U VSe è un vettoriale, allora è un sottospazio vettoriale.

Esempio 1.7

{ }=UL’insieme è un sottospazio vettoriale, infatti valgono le due 0 V U improprio proprietà della Definizione 1.5. In questo caso è detto sottospazio vettoriale (poiché il più piccolo sottospazio possibile).

Esempio 1.8

∈ ̸ { }= =V USia e , allora non è un sottospazio vettoriale (per v v 0 vV la Proposizione 1.1).

Esempio 1.9

K∈ ̸ { · | ∈ }= =V U k kSia e , allora è un sottospazio vettoriale v v 0 vV (valgono le proprietà della Definizione 1.5).

Definizione 1.6 (sottospazio generato)

K-spazio ∈ ̸ =Siano V un vettoriale, V e ; si v v 0 VK⟨ ⟩ { · | ∈ }=definisce sottospazio generato l’insieme k k .v v

Esempio 1.10

R 2=VConsideriamo , siano:

x 01 R| | ∈= = =A x x0 21x x2 2

x 11 R| | ∈= = =B x x1 21x x2 2

k1 R⟨ ⟩ | ∈= =C k0 0

A COsserviamo facilmente che e sono sottospazi vettoriali (in quanto valgono le B proprietà della Definizione 1.5), mentre non è un sottospazio, infatti:

k1· ̸∈=k B·x k x2 2

6 Mattia Pozzi - Appunti di Geometria 1

R2∪ ∩ ⊆A C, A CConsideriamo ora gli insiemi ed osserviamo che:

x 01∩ |= = = = =A C x x0, 0 0 R2 21x 02

∩A Cquindi è un sottospazio vettoriale improprio. Invece:

x 1∪ | ∨= = =A C x x0 021x 2

1 0 ∈ ∪A C,non è un sottospazio vettoriale, infatti, presi , si ha:0 1

1 0 1 ̸∈ ∪+ = A C0 1 1

Dal precedente esempio osserviamo che, in generale, l’unione di sottospazi è neces-non sariamente un sottospazio. Per l’intersezione, invece, vale la seguente proposizione.

Proposizione 1.2

K-spazio ⊆Sia V un vettoriale e siano U, W V sottospazi vettoriali, allora ∩U W è un sottospazio vettoriale.

∀ ∈ ∩ ∈ ∈Dimostrazione. U W U W; U W, sappiamo che , e , poiché ev v v v v v2 2 21 1 1∈ ∈ ∈ ∩+ + +U W, U W.sono sottospazi vettoriali, abbiamo e ossiav v v v v v2 2 21 1 1K,∀ ∈ · ∈ · ∈ · ∈ ∩k k U k W, k U W. ■Analogamente, abbiamo e ossiav v v

Somma e somma diretta

Definizione 1.7 (somma)

K-spazio ⊆Sia V un vettoriale e siano U, W V sottospazi vettoriali di V, allora si dice somma l’insieme:

{ ∈ | ∃ ∈ ∃ ∈ }+ = = +U W V U, W tali che: (1.1)v u w v u w

Proposizione 1.3

K-spazioSe U e W sottoinsiemi di un vettoriale V, allora:

• +1) U W è un sottospazio vettoriale di V;
• ∪ ⊆ +2) U W U W
• ∪+3) U W è il più piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene U W.

Dimostrazione. 1) Segue immediatamente dalla definizione di sottospazio vettoriale.

∪ ⊆ ⊆ ⊆ ∀ ∈+ + +U W U W, U U W W U W. U2) Mostriamo che ossia che e abbiamou=