Ripasso generale e principali metodi di risoluzione

Lineari di risoluzione sistemi

Pen di matrice effettuare una sulle operano righe posso elementari 3 operazioni.

• Sostituire la somma a una riga con un multiplo suo di un'altra riga.
• Scambiare due righe.
• Moltiplicare una riga per uno scalare non nullo.

N.B. sono operazioni elementari reversibili.

Algoritmo di Gauss

Di U ridotta. Una matrice a scala è se se il le allora nulla vitee sono righe non del destra è di più pivot di pivot le imiti a le tutta trovano righe eventuali si nulla in fondo tutti.

È una matrice triangolare alta se gli elementi sotto la diagonale principale sono nulli.

Se lì è allora matrice a scala è anche una triangolare. La realtà numero rango di matrice una righe molla non ridotta matrice a scala a una.

Come risolve un sistema lineare

Come sistema lineare risolve un si LA di Gauss riduca 11 scala con a.

Applico il teorema di Rouché-Capelli che mi dice che Ai|b Al ammette un'unica il sistema n selezione Alb ha infinite sistem mia on chem sol dipendono da m n parametri determinato sotto.

E NILA IVIAI b il sistema ha soluzioni non determinato sovra.

Algebra delle matrici

In generale una cosa N.B. importante se prodotto di matrici non è commutativo.

Proprietà delle matrici

Proprietà delle matrici Bel AABPR C associativa s Aab.

Distributiva B BAAPR A2A Sx BAPR BIA BAZTALI TA DX distributiva A EBE BABI TA.

Omogeneità dalla formata matrice zeri Nova Digg tutti tutti.

Matrice identità

Matrice identità principale matrice 1 e poi tutti ha matrice che matrice elementi al diagonale gli della fuori di nulli diagonale principale diagltiti.

An Amami diaglii digg x andate A B B un'inversa.

Matrici invertibili

Matrici invertibili è e man BAdi IABA A dice che è invertibile si se di A esiste una matrice inversa.

Se A se era è invertibile matrice sola allora inversa una. All una invertibile è matrice man saha al massimo ng LOKenb ha ci sx inversa e en had inversa un el IR.

Le colonne sue sono una base di IRN, le sue righe sono una base di BAbi A.

Un di inversa prodotto à Afb bAl ha.

Matrice trasposta

Se matrice Xena man ng mle di A le matrice trasposta righe sono colonnes di AT.

Proprietà trasposta: T BTAT, At B EASTEATFATT, AABIT BTATAT, A At_Asimmetrica.

Matrice e metodo

Matrice come A trovasi modo e 1 TAtA detta Atdove matrice dei la è algebrici nei posti comp dispari si cambia segno.

Jordan Gauss 21 modo b 601a ed f Ge f riducendo fine alla anno Gie og e J nM M Oa a nP La À.

Spazi lineari e applicazioni vettoriali

Spazi lineari applicazioni vettoriali e Ik V è sul insieme uno i vettoriale spazio campo un di dotato dicono vettori si elementi cui att due.

Interna che un'operazione a vettori associa età V che appartiene ancora a dato ti.

Un i esterna operazione ossia appartiene V ancora a 4 V.

Sottospazio vettoriale

Un di è spazio vettoriale insieme sotto sotto un di sottospazio vettoriale U le seguenti proprietà rispetta se EHON.

• Chiuso rispetto a somma.
• Chiuso rispetto al prodotto scalare un oper Valli.

Funzione lineare

Lineare funzione due siano spazi vettoriali di funzione W lineare è se una LITILI Titta Litri ELitti LITIL di lineare è inoltre cellona owouise.

Base

Base uno spazio di vettoriale BI Voikmbi di un di ordinato vettori insieme __V V di dice di base vettore si scrive in ogni se lineare dei combinazione modo vettori unico come un Bdi di K.

Nucleo e immagine

Endata dW è il nucleo l'insieme nucleo T w di delle contro immagini LITI Kenia TEV Ew V1 di Im di.

L'immagine l'insieme di è V di dei vettori le tutte immagini V.

Generatori

Siano le insieme di generatori vettori di In LÌ id di di che dice insieme è si generatori un V di di lineare vettore comb se ogni II ta LE V.

In base BASE Ta di una se sono di U di sono insieme e generatori un linearmente indipendenti.

Fibra

Sono 21 L U W la fibra le fibra contro sono imm gini NEW di fer Lia Livi tudi tutti del consiste fibra i vettori la tipo solie Ken 21 totta T eva con L Kendal.

Criterio di iniettività

Criterio iniettività o iniettiva è di se Row A Al dalle di sottospazio miglia generato Col Al dalle di A sottospazio e colonne generato Col Im dal Al.

D dim Row rango il Al smiglia massimo per numero linearmente di indipendenti righe.

Rango dim AlCol colonna il massimo per linearmente indipendente numero colonne di.

Cose importanti su matrici e rango

Cose importanti U Al data matrice allora 11 A di scala ae ROW ROW UAI dim dim Row Colla A.

21 AT.

31 Alh NP en Im base di.

Come si trovano basi

Come Roma trovano 21 esercizi e ridurne 11 matrice la scala a Rontale di base U di la.

21 nulla righe sono non di A le che di alle colonne.

31 corrispondono colonne U di Im base dal pivots sono con mica DI.

Teorema di rappresentazione

Teorema rappresentazione BV di dat base VW matrice e rappresentativa eMIl W I base di la la matrice e matrice è dell rappresentativa applicazione queste rispetto a ha basi le coordinate come rispetto colonne e di Albi dove Bbe dei vettori Ca Liti AXc abiti l Bibi delle coordinate cambiamento bm.

Siano eMIV IS basi il di xcibm sia cibi e allora ti_SStaiticiti XB cit.

Im dim 2 rango dn dim dim Teo 121 thenvi h nullità RANGO a2 ridi mo iniettiva L MCL SURIETTIVA mheal L mbi univoca m5 dato AI VIA AL più 1a SOL m.

Se DI viai almeno una se mI heal SOL se mmc.

Determinante

Determinante proprietà Ada è B.

Invarianza scorrimento ottenuta se per di sommando un'altra a multiplo un riga una dat del IBI CAI allora riga.

Alternanza da scambiando A è B ottenuta se due dettada allora ibi miglia li.

Normalizzazione se triangolare alta è una o datemi prodotto allora elementi diagonale sulla principale.

Se A det invertibile I è 0 im midee detta Ati.

Come trovo il determinante

• Sviluppi di Laplace.
• Regola di Sarros.
• Usfrutto det AB detta dat B BINET 1 dat il A detta.

Autovalori e autovettori

Autovalori autovettori e BIT su L _Em sia U lineare sia applicazione e un V di base la allora che matrice ma rapprese ta L B base diagonale rispetto alla solo e se ese Lita tu in A.

Sia una matrice e autovettori di quadrata matrice ordine vettorem un non E71 dice 1k Adi T.c nullo autovettore si se Ar te dove 1 chiama centoualone si I relativo a IR.

Matrice quadrata una dice diagonalizzabile si i quadrata ticinvertibile reale 5 esiste matrice se AS S matrice una diagonale sia una.

Criterio di diagonalizzabilità

Primo matrice diagonalizzabilità di quadrata criterio di KA Ondine diagonalizzabile solo se en è se e ha 1k dabara formata di autovettori una se to dat 1 Il A o autovalore è.

PROP ammette se No come soluzione Pitt Ad th dat 12 21 AlIAPCI 13 det 12 Cal 1 tu LAAl t13 31.

Eh Al autovalore somma. Det Al autovalori prodotto Pil 111922 matrice A1 11 triangolare an amo autovalori quindi elementi sulla gli gli sono principale dicey PINIATPHI A AT.

Vi hen 1km ItXIIIAX VEAUTO ARELATIVO spazio dim Vt geometrica molteplicità h XII m AA è.

Condizione sufficiente

Diagonalizzabilità sufficiente condizione di diagonalizzabile distinti tutti ha autovalori se gli 1 AUTOV semplice 91 Autor at.

Regolare s ga A ha digg le II è tutte se criterio radici in IK centovaloni tutti e gli regolari B A 7 è.

Matrici simili

Matrice simile 5 se inventi S'AS bile T.C B due Pitt stesso hanno 1 matrici stessi simili stesse le hanno matrici ai steso age rango tu det e.

Spazi euclidei

Spazi euclidei IR sia prodotto in scalare vettoriale uno spazio V scalare funzione che un in è prodotto a una t at di associa coppia vettori ogni un nemmeno reale modo che le viù in proprietà sono seguenti soddisfatte It E E tu i.

Commutativa VITE I XVI.

Bilinearità I NETi.

Positività te va 0 as Kyo.

Norma

Norma le della importanti proprietà norma sono HEER TE VI tl'till ITA omogeneità e.