Appunti di Scienze matematiche fisiche e naturali - Università degli Studi di Perugia

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Dipartimento di Fisica e Geologia

Indirizzo: Via A. Pascoli, 06123 Perugia - dipartimento.fisgeo@unipg.it

Dipartimento di Chimica, Biologia e Biotecnologie

Indirizzo: Via Elce di Sotto 8, 06123 Perugia, Tel. 075 5855504 - dipartimento.dcbb@unipg.it

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Appunti di Scienze matematiche fisiche e naturali - Università degli Studi di Perugia

Corso Algebra I

Esame Algebra I

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. M. Buratti

Università Università degli Studi di Perugia

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Insiemi numerici classici: N, Z, Q e R. Principali motivazioni che hanno portato, via via, all'ampliamento di N a Z fino ad arrivare ad R. Dimostrazioni per assurdo e dimostrazioni per induzione. La radice di un numero primo è un numero irrazionale. L'insieme C dei numeri complessi. Definizione di somma e prodotto. Numeri complessi coniugati. Reciproco di un numero complesso. Rappresentazione cartesiana e trigonometrica dei numeri complessi. Modulo e anomalia di un numero complesso. Formula di De Moivre. Calcolo delle radici n-me dell'unità nel campo dei numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Ogni equazione algebrica di grado dispari a coefficienti in R ammette almeno una soluzione reale (dimostrazione algebrica e analitica). Operazioni elementari tra insiemi. Prodotto cartesiano. L'insieme delle parti di un insieme. Un insieme X con n elementi ha 2n parti (dimostrazione per induzione e dimostrazione con l'uso della funzione caratteristica di X: vi è corrispondenza biunivoca tra P(X) e {0,1}n). Coefficienti binomiali e loro significato. Triangolo di Tartaglia. Applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biettive. Relazioni. Relazioni d'ordine. Relazioni di equivalenza. Insieme quoziente. Relazione di equipotenza fra insiemi. Cardinalità di un insieme infinito. Insiemi numerabili. Numerabilità di Q con il metodo delle diagonali di Cantor. L'insieme delle parti di un insieme X ha cardinalità strettamente superiore a quella di X. L'insieme R non è numerabile. Cenni sull'ipotesi del continuo di Cantor e sul teorema di indecidibilità di Godel. Numeri primi. La divisione euclidea. Algoritmo di Euclide per determinare il massimo comun divisore tra due interi. L'identità di Bezout. Lemma di Euclide: se un primo p divide il prodotto di due interi, allora p divide almeno uno dei due interi. Teorema fondamentale dell'aritmetica. Teorema di Euclide sull'infinità dell'insieme dei numeri primi. Congruenze in Z. Proprietà elementari. Equazioni congruenziali di primo grado. Cenni sulle equazioni diofantee. Sistemi di equazioni congruenziali. Il Teorema Cinese dei resti. La dimostrazione dei criteri di divisibilità per 3, 4, 9, 11. Il piccolo Teorema di Fermat. Funzione di Eulero phi. Calcolo di phi(n) per ogni intero positivo n. Il Teorema di Eulero. Il Teorema di Wilson. La congruenza x2=-1 (mod p) con p primo dispari ammette soluzione se e solo se p=1 (mod 4). Interi esprimibili come somma di due quadrati. Determinazione dell'insieme delle terne pitagoriche. Cenni su problemi classici di teoria dei numeri (risolti e non risolti): congettura di Goldbach; la congettura dei numeri primi gemelli; l'ultimo teorema di Fermat. Strutture algebriche con una o più operazioni. Semigruppi. Monoidi. Gruppi. Esempi di gruppi abeliani e non abeliani. Il gruppo delle matrici invertibili ad elementi in R. Il gruppo simmetrico Sn di grado n. il gruppo booleano dell'insieme delle parti di un insieme X rispetto all'operazione di differenza simmetrica. Sottogruppi di un gruppo. Criterio per stabilire se un sottoinsieme S di un gruppo G è un sottogruppo di G. Ordine (o periodo) o(x) di un elemento x di un gruppo G. Il sottogruppo generato da x. Se o(x)=n, allora xh ha ordine n/MCD(n,h). Per qualunque elemento x di un gruppo moltiplicativo G di ordine n, si ha xn=1. Laterali destri e laterali sinistri. Teorema di Lagrange: se H è un sottogruppo di un gruppo finito G, allora l'ordine di H è un divisore dell'ordine di G. Definizione di anello e di campo. Esempi di anelli con particolare attenzione all'anello delle classi resto modulo n.

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Riassunto di Metodi geometrici in teoria della relatività

Esame Metodi geometrici in teoria della relatività

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. M. Mamone Capria

Università Università degli Studi di Perugia

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Riassunto del corso Metodi geometrici in teoria della relatività basato su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Mamone Capria, dell’università degli Studi di Perugia - Unipg, facoltà di Scienze matematiche fisiche e naturali. Scarica il file in formato PDF!

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Geometria differenziale

Esame Geometria differenziale

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. N. Ciccoli

Università Università degli Studi di Perugia

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Teoria delle varietà differenziabili: definizione, carte locali, atlanti. Esempi principali. Paracompattezza e partizioni dell'unità. Applicazioni differenziabili tra varietà. Varietà con bordo. Spazi tangente e cotangente. Differenziale di una applicazione. Fibrato tangente e fibrato cotangente. Immersioni e summersioni. Immersioni regolari e cenni al teorema di Whitney. Foliazioni e quozienti. Campi vettoriali e flussi: integrabilità. Parentesi di Lie di campi vettoriali. Algebre di Lie. Gruppi di Lie e azioni differenziabili: gruppi di trasformazioni. Teorema di Frobenius. Elementi di algebra multilineare. Campi tensoriali su varietà. Forme differenziali su varietà. Calcolo differenziale astratto. Integrazione su varietà. Coomologia di De Rham. Se il tempo lo permette si svilupperanno inoltre alcuni concetti della teoria generale dei fibrati vettoriali e delle connessioni sui fibrati, con cenni alla Geometria Riemanniana.

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Analisi matematica I

Esame Analisi matematica I

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. P. Pucci

Università Università degli Studi di Perugia

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Estremi superiore ed inferiore. Numeri Complessi. Succesioni. Infiniti e infinitesimi. Funzioni continue e uniformemente continue e loro proprietà. Limiti di funzioni, proprietà e limiti fondamentali. Funzioni derivabili: proprietà locali e globali (Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, l'Hospital, dell'asintoto). Derivate successive. Forme intedeterminate e sviluppi asintotici. Studio qualitativo dei grafici. Integrazione alla Riemann. Funzioni continue, primitive e teorema di Torricelli-Barrow. Tecniche di integrazione: per parti, per sostituzione ed integrazione delle forme razionali fratte. Integrali generalizzati e serie numeriche. Criteri di convergenza per le serie numeriche.

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Matematiche complementari

Esame Matematiche complementari

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. G. Faina

Università Università degli Studi di Perugia

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Uso della moderna tecnologia nell'insegnamento della matematica e la matematica utilizzata dalle moderne tecnologie per la trasmissione delle informazioni. Introduzione al software GeoGebra ed alle sue utilizzazioni nella didattica della matematica. La teoria matematica dell'informazione. La matematica nella moderna teoria dei codici e nella crittografia.

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Esempi di algoritmi

Esame Informatica II

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. R. Bicocchi

Università Università degli Studi di Perugia

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Un linguaggio imperativo:tipi di dati e strutture di controllo, procedure e funzioni, ricorsione, puntatori e variabili dinamiche.Algoritmi:linguaggi per la descrizione di algoritmi, analisi di algoritmi, algoritmi di ordinamento. Tipi di dati astratti:specifica sintatticae semantica, rappresentazione. Liste, alberi binari, tavole hash, alberi binari di ricerca, grafi. Tecniche di progettazione:divide et impera, programmazione dinamica, greedy.

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Informatica II

Esame Informatica II

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. R. Bicocchi

Università Università degli Studi di Perugia

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Un linguaggio imperativo:tipi di dati e strutturre di controllo, procedure e funzioni, ricorsione, puntatori e variabili dinamiche. Algoritmi: linguaggi per la descrizione di algoritmi, analisi di algoritmi, algoritmi di ordinamento. Tipi di dati astratti:specifica sintatticae semantica, rappresentazione. Liste, alberi binari, tavole hash, alberi binari di ricerca, grafi. Tecniche di progettazione:divide et impera, programmazione dinamica, greedy.

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Curve e superfici quadriche, affini e proiettive con immagini

Esame Geometria III

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. L. Guerra

Università Università degli Studi di Perugia

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La geometria proiettiva, estensione della geometria affine. Il gruppo lineare proiettivo. Il principio di dualità. Cenni sulla teoria assiomatica degli spazi proiettivi. Polinomi quadratici, curve e superfici quadriche, affini e proiettive. Scarica il file in formato PDF!

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Metodi della Fisica matematica

Esame Metodi della Fisica Matematica

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. S. De Lillo

Università Università degli Studi di Perugia

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Trasformata di Laplace e sue proprietà. Applicazioni alla soluzione di problemi di valore iniziale e al contorno per le equazioni a derivate parziali. Elementi di Meccanica Quantistica.Equazione di Schrodinger per la particella libera. Equazione stazionaria con potenziale.Modello di particella in una scatola.Potenziale a gradino. Buca di potenziale.Barriera di potenziale.Oscillatore armonico.Potenziale periodico.Elementi di teoria delle equazioni non lineari di evoluzione esattamente integrabili. Equazione di Burgers.Equazione Korteweg-de Vries. Equazione non lineare di Schrodinger.Equazione sine-Gordon.

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Fisica matematica I

Esame Fisica matematica I

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. M. Salvatori

Università Università degli Studi di Perugia

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Equazioni alle derivate parziali. Modelli matematici. Equazioni lineari del primo ordine: metodo delle caratteristiche. Equazioni del secondo ordine. Classificazione delle equazioni lineari del secondo ordine. Problemi ai valori iniziali e al contorno. Equazioni di tipo iperbolico, parabolico ed ellittico. Metodi risolutivi e applicazioni.

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Riassunto Geometria affine e proiettiva

Esame Geometria III

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. L. Guerra

Università Università degli Studi di Perugia

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Riassunto Geometria affine e proiettiva basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del professore Guerra, dell’università degli Studi di Perugia - Unipg, facoltà di Scienze matematiche fisiche e naturali. Scarica il file in formato PDF!

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Algebra commutativa e computazionale - Seconda parte

Esame Algebra commutativa e computazionale

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. A. Lorenzini

Università Università degli Studi di Perugia

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Seconda parte varieta' proiettive. Teoremi degli zeri di Hilbert (proiettivi). Varieta' di ideali monomiali e loro dimensione. Funzione e polinomio di Hilbert. Dimensione di varieta' affini e proiettive. Anelli di frazioni e localizzazioni. Altezza e dimensione di Krull e sua relazione con la dimensione di una varieta' affine o proiettiva. Bracci robotici. Dimostrazione automatica di teoremi di geometria.

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Algebra commutativa e computazionale - Prima parte

Esame Algebra commutativa e computazionale

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. A. Lorenzini

Università Università degli Studi di Perugia

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Polinomi in piu' indeterminate. Ideali monomiali. Lemma di Dickson. Ordinamenti monomiali. Algoritmo di divisione. Basi di Groebner. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Criterio e algoritmo di Buchberger. Algoritmo di appartenenza. Criterio e algoritmo di appartenenza al radicale. Eliminazione e algoritmo di intersezione. Decomposizione primaria in anelli noetheriani. Varieta' affini. Teoremi degli zeri di Hilbert (affini) e algoritmo di compatibilita'. Ideali omogenei e prima parte varieta' proiettive.

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Geometria II

Esame Geometria II

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. A. Caterino

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Autovalori ed autovettori. Diagonalizzazione. Forme bilineari. Forme quadratiche. Spazi vettoriali euclidei. Spazi affini euclidei. Operatori unitari, simmetrici e teorema spettrale. Spazi topologici e metrici. Funzioni continue. Spazi compatti e connessi.

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Geometria I

Esame Geometria I

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. R. Vincenti

Università Università degli Studi di Perugia

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Geometria affine elementare. Struttura di spazio vettoriale nel piano e nello spazio ordinario. Spazi vettoriali su un campo K, con particolare riguardo alla dimensione 2 e 3 e al campo R dei numeri reali. Risoluzione di sistemi di equazioni lineari sopra R. Applicazioni lineari. Geometria del piano affine reale e dello spazio affine 3-dimensionale reale. Spazi affini. Cambiamenti di riferimento. Gruppo delle affinità.

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Analisi moderna

Esame Analisi moderna

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. D. Mugnai

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Definizione e proprietà fondamentali dello spazio di Schwartz. Concetti basilari della teoria delle distribuzioni. Elementi di Calcolo delle Variazioni ed equazioni di Eulero-Lagrange: teoremi di Weierstrass in spazi di dimensione infinita. Spazio BV delle funzioni a variazione limitate e proprietà fondamentali. Operatori di Nemitskij negli spazi L^p. Lemma di deformazione. Teoremi di Sella, Passo di Montagna e Linking. Applicazioni ad equazioni differenziali alle derivate parziali. Equazioni e sistemi di Schroedinger. Problemi di Dirichlet e di Neumann.

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Equazioni differenziali

Esame Equazioni differenziali

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. T. Cardinali

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Teoremi di punto fisso. Esistenza di soluzioni in senso classico o assolutamente continue per problemi di Cauchy e per problemi periodici in cui figurano sistemi differenziali o inclusioni differenziali. Dipendenza continua dai dati iniziali. Teoremi di selezione per multimappe. Cenni sull'applicazione dei teoremi di punto fisso per multifunzioni nello studio di equilibri in economie astratte di tipo deterministico o random e cenni di problemi che si possono studiare con le inclusioni differenziali.

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Metodi geometrici in teoria della relatività

Esame Metodi geometrici in teoria della relatività

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. M. Mamone Capria

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Linee generali dei fondamenti della fisica nel suo sviluppo storico-critico. Il principio di relatività nella fisica classica. Spazio-tempo newtoniano. Le origini della relatività ristretta. Deduzioni della trasformazione di Lorentz. Geometria affine pseudoeuclidea. Gruppo di Poincaré e suoi sottogruppi. Lo spazio-tempo di Minkowski. Tempo proprio. Dinamica relativistica. Urti. Equivalenza massa-energia. Elettromagnetismo. Cenni di relatività generale e di cosmologia.

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Analisi di Fourier

Esame Analisi di Fourier

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. C. Bardaro

Università Università degli Studi di Perugia

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Serie di Fourier: convergenza puntuale, uniforme in L^p; Trasformata finita di Fourier e sue proprietà. Fattori di convergenza e generazione di identità approssimate; Trasformata di Fourier in L^1. Inversione e fattori di convergenza per la trasformata inversa. Identità approssimate in R; Trasformata di Fourier in L^2 e in Lp, 1 2; Funzioni “band-limited”, Teorema di Paley-Wiener e teorema del campionamento di Shannon; Trasformata di Fourier in R^n; Applicazioni alle equazioni classiche del calore, delle onde e il problema di Dirichlet per il semipiano; Legami con altri tipi di trasformate integrali (Laplace, Mellin, etc)

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Teoria delle categorie e Topologia

Esame Topologia I

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. L. Stramaccia

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Appunti di topologia I per l'esame del prof Stramacccia su: categorie, funtori e trasformazioni naturali. Limiti e colimiti in una categoria. Spazi metrici e spazi topologici. Funzioni continue. Sottospazi, quozienti, prodotti e coprodotti topologici. Assiomi di separazione. Compattezza. Connessione. Spazi compattamente generati. Spazi di funzioni. Omotopia. Gruppoide e gruppo fondamentale.

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