Fisica matematica I

Fisica Matematica

Def Un'equazione differenziale ordinaria è una legge che vincola una funzione incognita, le sue derivate e una variabile indipendente.

Φ(t, x, x˙, u^(m-1)) = 0

L'ordine è dato dalla derivata massima presente.

Un sistema si dice in forma normale se è esplicitata rispetto alla derivata di ordine massimo che vi figura.

Uno si dice vettoriale se u è un vettore, altrimenti è scalare.

Esempio

• Dato un punto materiale di massa m e raggio q
• m q = f: è la legge che regola il moto del punto con f le forze agenti sul punto
• Sìa v=u(t, t1, t2) lo spostamento del punto funzione incognita t variabile indipendente

m d²u/dt² = f(u, u˙, u˙˙, t) Φ(t, u, u^(m-1)) = 0 (forza gravitazionale)

• Forza f(u, u˙, u˙˙, t) in generale - forza elastica, accrescitiva, (indipendente da u almeno un periodo di t con regola di annullamento)
• T = (u, q, d(Ωt)/dt

y = (x, y, z)

q × u

m (d²x/dt² = f₁(x, y, z, t, x˙. y˙. z˙)

m (d²y/dt² = f₂(x, y, z, t, x˙. y˙. z˙)

m (d²z/dt² = f₃(x, y, z, t, x˙. y˙. z˙)

Si parla di problemi di Cauchy

se ho posizione e velocitá da inteso ciclo

• x(o) y(o) z(o)
• x(o) y˙(o) z˙(o)

Si parla di problemi di Stury-Nouville

se ho posizione iniziale e finale

• x(o) y(o) z(o)
• x(π) y(π) z(π)

Dato un sistema continuo o particellare, ho le

equazioni canoniche della dinamica dei sistemi.

Dato un riferimento spaziale P: Ognuno è soggetto a forze tra x,

stesso e tutti gli altri punti, cioè nome:

m_ia_i = f_i(X₁ x₁ y₁ z₁...x_n y_n z_n x_m...)

(1) (⁰_j)

m₀a₀ = f₀(X₁ y₁ z₁ x₁...)

d_x = (x_j(g_cσ_c ∓µ_c))

dτ= ∫^xy^yz^zd^xt^x

Ho visto dei sistemi che non riesco a trasformare in un

sis. il quale impedisce il polverì, ho risorse scaricate

quindi determinare il resto del sistema detto l'accritamento:

Se il sistema diventa un corpo rigido, posso

escludere una rappresentazione con 0 parametri inniled cui

scrivere tutte le posizioni es punt.

vormo cosi di Colorado in V₀ vi occollit UNO

Ho l'esistenza in vi cor 1 vincito solo alcune delle condizioni

Un Pdf differenziale a derivate parziali e una legge che

vincola le variabili indipendenti e/o quali funzioni vettoriali

una funzione incognita o le sue derivate parziali rispetto

alle variabili indipendenti:

• Φ(X,t,U_t,x,tTU_ij,t...)= 0

Ordine del 20 V° grado massimo presente

Grado del BG

La soluzione di si dice in regolare se si odeionato altre

attinente si o elle stretionaria

In soluzione una funzione U_i = U_i(x,t) che soddisfa esid dominante:

Esempio

Supponiamo di studiare la diffusione della popolazione

su un dato territorio.

u₁ + denstità della popolazione

...

...Φ (t,x,x_i,u_j,du_k,ux)=0

pericopo del territorio.

ESEMPIO

U_M = 0

U ₁ = U ₁ q_m = F (q)

TORNANDO ALLE REGOLE INIZIALI

U(t, x, y) = f (x + y) e' UNICA GENERICA

U(t, x) UNA INTEGRALE E UNA SOLUZ

U = ct + l^-2 l^-2 d’identitica univoc

STUDIATO LA DIMENSIONE DI C COSTANTE

[U] = [ p^-2 ] e g_xxx = [p₂ ]

[ g ] = [ut] → [ u ] = l^-2 [ u_yy ] = [in-2]^-2 → v e’ quasi

FACENDO UN CAMBIO DI VARIBILI

s = x + ct

ξ = x - ct

J = ^{1   c}_{1  -c} U_tt = -2c + 0

U_ξ = U_s x + U_m y = U_s - U_m c

U_{m ξ} = ( U_x + U_y) x + (U_q + U_m) m = U_s m

(U_qq g_qq) x + c² d² y → U_q g_qq → g_tx

SOSTITUENDO formula

Nu (l₂ + 2 AQ_m m) ( U₄ + 2-1) = U g_xs + 2 ( A_m U_f U_m)

→ U_m = 0 → u₁ = F(q) + (g + m)

OSS

IL CAMBIO DI VARIABILI PUO' TORNARE UTILE PER DETERMINARE

L’INTEGRALE GENERALE PUO' NON VERIFICARE LA CONDIZIONE:

DATA M(x,y) PONCO g = f₁(x,y) e la corrispondente variabile variabile J deve essere invertibile (det 0)

[f_xx y_x]^-1 → [ 1/x_y ]

f= [ f₁[x]₁ ]

Note: esscrib superimposto non efficienza di recuperare di nessimachia per sviluppare a vive le soluzion sono classiche. Quando finni maio realizzando quindi materialie delle leggi stesse picaise e no ce 6 al senno bardeca.

MA _t + div_n = 0 non è un'eq. differenziale in !

8) OÖD INTRODURRE LE RELAZIONI COSTITUTIVE TRA VAR. DI SPAZIO E VELOCITÀ.

Consueto: _n = _A (, , ) e = _m (, , ) + _es (, )

Solite _m è la penetrazione nell'Interno di un umense _es non es

Dense di alla externe storni esterni

introzione le relazioni costitutive per' un servono completamente generone Infatti a questi fenomeni corrispondono relazioni costitutive diverse. Fallato degli ess.

2) = u con c = c(, t) assum. doina velocità diversa

_t + div_n - = 0, _t = -c - C + r(, t)

Ho vin EQ linere di I ordine per un trasporto potato

3) y=() con g assengnou un umore

_t + div_n - = 0; _t = -g() + V(&mathbf:8)

Ho vin EQ quasi lineare dei I ordine per un flusso convetto

(3) codice valore di una parte unisproda un legano -

evento in movimento per rotosimposso gereziona halesiores

3) n = k ? con k = COST.

_t + div_n - = 0; _t = -k(⁴ + /) - V (, t) = 0,

_t = K△ + r (, t)

Ho EQ su einde per un flusso difessivo

SE _t = 0 e = 0 → K△ = 0 Ho EQ di Laplace

SE _t ≠ 0 e ± (→) K△ + (, t) = 0 Ho EQ di Poisson

ora vederemento essendo in relazioni costitutive per il terminer

o considerando la dinamica delle popolazioni

3) Modello malthus

_t = - div + r ⇒ ^d/_dt = v_dev

Separato = () ln = 0 v_n = h con V₀ costante

Riscuso: ^du/_u0T2 dt

logo&;lux = V_ot + C ⇒ ul≤ = C^v_t

EFO = _o = C → () = U₀ e_vt