Equazioni differenziali

Teoria dei punti fissi

DefX ≠ ∅ insieme d : X × X → ℝ⁺^*(x, d) si dice spazio metrico ⇔ {_(d1) d(x,y) = 0 ⇔ x = y_(d2) d(x,y) = d(y,x)_(d3) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) ∀x,y,z ∈ X

DefX ≠ ∅ insieme f : X → Xf si dice avere un punto fisso ⇔ ∃x ∈ X: f(x) = x

Def(X,d) metrico { x_n,m ⊂ X x ∈ Xx_n,m si dice convergente a x ⇔ lim_{n →∞} d(x_n,m, x) = 0x_n,m si dice di Cauchy ⇔ ∀ε > 0 ∃m(ε) ∈ ℕ : ∀n ≥ m(ε) ∀p ∈ ℕ d(x_n+p, x_m) < ε x_n,m convergente ⇒ x_n,m di cauchy

⊃ no qui ⊂ (X,d) = (ℚ ∩ [0,1], d) ^{d_x0,x1 = |x0-x1|1}/_n → 0 ∀w ∈ ℝ ⇒ di Cauchy in ℝ ⇏ di Cauchy in Xma non è convergente in (0;1)

Def(X, d) metrico(X, d) si dice completo ⇔ ∀x_n,m succ di Cauchy ∃x ∈ X : x_n,m → x

Def(X,d) metrico f : X → Xf si dice contrazione ⇔ ∃k ∈ [0,1[ d(f(x),f(y)) ≤ k.d(x,y) ∀x,y ∈ Xf si dice Lischitziana ⇔ ∃L > 0 d(f(x),f(y)) ≤ k.d(x,y) ∀x,y ∈ X

Nota: f lip continua allora frontiera ⇒ f continua

Proprietà

1. (X, d) spazio metricoS compatto ⇔ S chiuso e limitato

2. (X, d) sp. metricoS compatto ⇔ S compatto per successioni(∀ <x_n> ⊂ S ∃ <x_mk> ⊂ <x_n> con x_mk → x)

3. (X, d) sp. metrico: f : X → Y no se χ

   f compatta ⇔ ∀ <x_n> ⊂ X - x_n → x₀ allora f(x_n) → f(x₀) no su x₀

Def (X, d) sp. metrico, f : X → X x̅ ∈ X

1. x̅ si dice punto fisso ⇔ f(x̅) = x̅

2. l’unico p.t. fisso di f contraddio ∀ x_n x sia <x_n> l’orbita relativa a x₀ (cioè x_n+1 = f(x_n))allora x_n → x̅

Da f: R → R₀⁺ x= f(0) derivata. Socchiemo corso

α=1√x²+1

Non è contrazione WRATT

∀ α∈ R, ∃ k∈ (αR₀) f(alpha) g(f(alpha))=1/√x²+1, Ny²+1 / sk | α-y |. ∀ y ∈ R₀⁺

= x²+1 = k | α-y | -> Ny²+1 = sk | α-y |

=x₀ -> αy¹(x²-1) = < kx(n-2)

Su(r)(x₀, e spero) α = < 1

1. a = 1/√x²-k²

OK a due essere derivata da questo numero oK

Oppure potrenno nominare che f(non ha punti fissi) MSM(N)

• x = √x²+1 => a = x² = x²+1

g non è una contrazione.

f è contrattiva WRATT

∀ a,y∈ R₀⁺, α+y e supponiamo α > y

• f(g(f(alpha) g(x)) - | a-y |.
• =a y^{n₂ x+1} (OK)

α>² f α>nt₂ ⧠ - m_b=0

OK a due essere derivata questo numero.

Continuità?

Per semplicità poniamoci in spazi X normati

Particolari spazi lineari metrici e consideriamo il seguente problema

(X,||.||) compatto convesso

f : X → X non espansiva

Nota che il problema non è ben posto poiché uno

Spazio lineare non può essere compatto, infatti

Vale X ⊆ [0,1]

X non compatto

Dunque è necessario restringerci su sottinsiemi compatti

Convessi, Quindi spazio normato solo così il problema

È ben posto.

TEOREMA 13

(X,||.||) ⊆ S ⊆ X compatto convesso

f : S → S non espansiva

Qui fissato x₀ ∈ S e (α_n) ⊆ (0_xn < 1 e lim α_n = 1)_n=∞ ad esempio α_n = 1 - (1/n)

Fissiamo in le sez f_n: S → X

x + f_n(x) = α_nf(x) + (1 - α_n)x₀

o.o. f_m : S → S

∀ x ∈ S

f_m(x) = α_nf(x) + (1 - α_n)x₀ ∈ S V quando conv. χ:

o.o. f_n è contrazione

∀ x,y ∈ S

d(f_m(x), f_m(y)) = ||f_n(x) - f_n(y)|| = ||α_nf(x) - α_mf(y)||

= α_mf(x) - f(y)||

≤ α_md(x,y) e α_n ∈ [0,1] ∀

Per ipotesi x è continua

in questo modo

2 è derivabile?

2 è continua!

Funzione integrale co integranda integrabile ind. se ammetto su I

F è lipschitziana su I

f integrale

g continua => f derivare co continua

=> f assolutamente => f uniformare => f continua q.s. in I

continua in I

Quindi non ho senzato a dimostrare a A ok!

noterare: accennendo fЄC¹ (I ^Rm) lavorare solo equivarenti?

Qui

Sia g: I -> R^m continua in I in quanto s= g(s)+ ∫ f(s,x(s)) ds

complessione di funzione continue

=> f diolvabile in I e f (t) = g(t) ∀ t ∈ I

Ora denuncio x (t) = f(t,x(t))

∀ t Є I (2) V

x(t)=x₀. (2)

Quando la continua o fi e essenziale per garantire la soluzione in carace

no!

noterarla con un controesempio,

{∫ x₁(t) = ∫ f(1,t,0)} la

g(t,x)= {0 per t≤2

0 t≥2

x₁(0)=0

no eum {1,2} ∀ t Є I: I =[{1,1}] fierà e conmo => ∫fЄC¹(I^R)

∫ x(t)=0 ∀tЄ[{-1,1}] é una soluzione. no con tni in canto

x ⁶ (t)=0=f(t.₀) ∨

x(0)=0

OS

∫ f Є L∞((I:²R^m) EL> ∫ ⁰ : 1

∀ t, t_1,, t₂, y Є I x R ^m

La soluzione precedente non va bene

Il problema è ^aperto: vale? (Si può usare un'altra approssimazione)È non ^vale in un cam- • camb-

OSS

Terminalo all'esistenza di soluzioni per problemidi Cauchy tenendo presente i concetti successivamenteesposti, tranne il cor. 2 Rolle ctc (IR^m non cl' compatt)

Teorema 2.4

I = [t₀, a < t₀ + a]. f ∈ C (I x IR^m → IR^m)

1. f ∈ L_loc (I x IR^m)
2. f ∈ π_e (I x IR^m), L > 0

1) a < 1⇒ ∃! soluzione SC "vicin Peano" di (P)_[t0,t0]

⇒ ∃! soluzione SC IN Piccolo di (P)_[t0,t0] su T = [t₀, a + t₀]con o = min { 2a, a / L }

⇒ ∃! soluzione SC "VICINO PEANO" DI (P)_[t0,t0]

T: (I x IR^m) → C( I, IR^m)

x ↔ Tα : I → IR^mt → x₀ + ∫_t0^t f(s, x) ds

T è ben definito (per cui precedentemente)

∀ t ∈ I, &exists; y ∈ C(I, IR^m) = C t: ∀ t₀ ∈ I

∥T x(t) - T y(t)∥ ≤ ∫ L ∥x_α(s) − y_α∥ e₀

⇒ non so se T è una contrazione

∥T₂(x(t)) − T₂(y(t))∥ = ∥T(T x₀ t)− T(T y₀ t)∥ = ∫_t0^t ∥f(s,x_α(s)) − f(s,y_α(s))∥ds ≤

≤ ∫ (t₀ f(s, x_0α) − f(s, T y₀)∥ds ) diz .

≤ 1 ∫ L ∥x − y∥ e₀ dx ≤ 1 ∫ x − y(t, x)≤ ∫ 0 &l|g x.e ottengo lo stesso tako per t ≤ t₀ → piano con z

∥T₃(x(t)) − T₃y(t)∥ ≤ ∫ L ∥f(s, x₀) − f(s, x(t))∥ds ≤

∀ x , y ∈ C(I, IR^m)

&exists; n ≤ ∫ L ∥x_α(s) − y_α∥ e₀ ≤ ∫₀^∞ t₀

→ Nuovo Cap WaveNuovo classe ↑

⇒ ∇