Analisi III - Seconda parte

Equazioni Differenziali

DEF Si dice equazione differenziale un’equazione che contiene una funzioneincognita y=y(x) ed una o più sue derivate.

La soluzione è una funzione differenziabile che soddisfa l’equazione in qualche intervallo.

Un’equazione differenziale si dice ordinaria se coinvolge derivate ordinarie:

x³+1, x²+2x=0

Un’equazione differenziale si dice parziale se coinvolge derivate parziali:

(∂y/∂x²)-(∂³y/∂z∂y)=0

Ordine di un’equazione differenziale è il grado più alto delle derivate al suo interno.

Esempi

Le equazioni differenziali sono presenti in vari ambiti, si usano per:

• Descrivere il flusso di corrente in un conduttore
• Descrivere la traiettoria di un missile
• Descrivere la crescita di una popolazione

Esempio: Modello di Malthus (1798)

È un modello che descrive la crescita di una popolazione isolata. Sono:

1. N(t) = il numero di individui di una popolazione al tempo t
2. b = la percentuale, il tasso di nascite
3. d = la percentuale, il tasso di morti

Si deve studiare la variazione di N(t) a(t) veri modello la formula:

N'(t) = bN(t)-dN(t) → N(t) = N&sup0;(a(t))

È un’equazione differenziale del primo ordine ordinario

Equazioni differenziali lineari:

x'(t) = kx(t)   (Caso semplice)   k∈ℝ

Osservio che:

Equazioni differenziali

Def Si dice equazione differenziale un'equazione che contiene una funzione e alcune sue derivate.

La soluzione è una funzione differenziabile che soddisfa l'equazione in qualche intervallo.

Un'equazione differenziale si dice ordinarie se coinvolge derivate ordinarie.

Un'equazione differenziale si dice parziale se coinvolge derivate parziali.

Ordine di un'equazione differenziale è il grado più alto delle derivate al suo interno.

Esempio

• Le equazioni differenziali sono presenti in vari ambiti, si usano per descrivere il "flusso di corrente in un conduttore".
• Descrivere la traiettoria di un missile.
• Descrivere la crescita di una popolazione.

Esempio: "modello di Malthus (1798)"

È un modello che descrive la crescita di una popolazione isolata dove:

• N(t) = il numero di individui di una popolazione al tempo t.
• b = la percentuale, il tasso di nascite.
• d = la percentuale, il tasso di morti.

Si deve studiare la variazione di N(t) avendo immutato il seguente:

È un'equazione differenziale del I ordine ordinaria.

Equazioni differenziali lineari (caso semplice) x(t) = kx(t) _{k ∈ R}

Se k=1 ---- x(t)=x(t₀) ⇒ x(t)=c_e^kt

Se k∈ℝ ---- x’(t)=kx(t) ⇒ x(t)=e^kt

• È solo questa funzione?

No, infatti la costante reale è moltiplicativa e non si

conserva sulla funzione, ma sulla sua derivata ovunque

x(t)=c^ke^kt ∙ c∈ℝ x(t)=ck.e^kt=k.ce^kt=k.x(t)

• La forma esponenziale è l’unica forma possibile per x’=soluzione?

Sì, infatti cerchiamo di dimostrarne l’unicità.

x’(t)−kx(t)=0

Moltiplico per e^−kt>0

e^-ktx’(t)−ke^-ktx(t)=0

(x(t)e^-kt)’=0

x(t)e^-kt=c, c∈ℝ

x(t)=ce^kt Quindi,

x(t) è soluzine di ---- x(t)=ce^kt con c∈ℝ

x’(t)=kx(t)

x(t)=ce^kt c∈ℝ è la sola integrale generale di x’(t)=kx(t)

e rappresenta la famiglia di tutte le soluzioni (infinitamente differenziabile)

• Se so che x(a)=2 ad esempio, vi è un’unica soluzione?

Sì, infatti

Da {x(t)=ce^kt

{x(a)=2 =2=ce^ka

=0 ⇒ c=2

c=2?

x’(t)=kx(t)

{x(0)=2

x(t)=2e^kt Soluzione del sistema

Tornando al modello di Malthus

N'(H) = (b - d) N(H)

N(0) = N₀

Rientra nel caso precedente

x'(H) = k x(H) con k = b - d

N(H) = c e^kH

N(H) = N₀ e^kH

È l'integrale generale dell'equazione

È la soluzione del sistema

• È un modello giusto?

  Sì, verosimilmente le nascite superano le morti alcune cose già vengono descritte nel tempo

lim N(H), lim N₀ e^{(b - d)H}:

• Se t → ∞, ∞, b > d