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EQUAZIONI DIFFERENZIALI
DEF
SI DICE EQUAZIONE DIFFERENZIALE UN'EQUAZIONE CHE CONTIENE UNA FUNZIONE «INCOGNITA» INSIEME ALLE SUE DERIVATE.
LA SOLUZIONE È UNA FUNZIONE DIFFERENZIABILE CHE SODDISFA L'EQUAZIONE IN QUALCHE INTERVALLO.
UN'EQUAZIONE DIFFERENZIALE SI DICE ORDINARIA SE CONTIENE DERIVATE ORDINARIE.
\( x^{'3} + 2x^{2} + 2x = 0 \)
UN'EQUAZIONE DIFFERENZIALE SI DICE PARZIALE SE CONTIENE DERIVATE PARZIALI.
\( \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)
ORDINE DI UN'EQUAZIONE DIFFERENZIALE È IL GRADO PIÙ ALTO DELLE DERIVATE IN ESSA CONTENUTE.
ESEMPIO
LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI SONO PRESENTI IN VARI AMBITI. SI USANO PER:
- DESCRIVERE IL FLUSSO DI CORRENTE IN UN CONDUTTORE
- DESCRIVERE LA CADUTA DI UN MISSILE
- DETERMINARE IL CRESCERE DI UNA POPOLAZIONE
ESEMPIO: MODELLO DI MALTHUS (1798)
È UN MODELLO CHE DESCRIVE IL CRESCERE DI UNA POPOLAZIONE. INCOSTRA SONO:
- \( N(t) = \) IL NUMERO DI INDIVIDUI DI UNA POPOLAZIONE AL TEMPO t
- b = LA PERCENTUALE DEL TASSO DI NASCITE
- d = LA PERCENTUALE DEL TASSO DI MORTI
SI DESIDER STUDIARE LA VARIAZIONE DI N(t) QUINDI MOLTIPLICA LA QUANTITÀ
\( \begin{cases} \frac{dN(t)}{dt} = [b - d]N(t) \\ N(0) = N_{0} \Rightarrow POPOLAZIONENIZZIALE \end{cases} \)
E' UN'EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL 1° ORDINE ORDINARIA
COME SI RISOLVE?
EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI (CASO SEMPLICE)
\( x'(t) = Kx(t) \quad K \in \mathbb{R} \)
OSSERVIAMO CHE:
SE k=cost x'(t)=k X(t) ⇒ X(t)=C ekt
E' solo questa funzione?
No in realtà la costante reale è moltiplicativa quindi si resciveva sulla funzione sia sulla derivata oppure
X(t)=C ekt C∈R
X(t)=C ekt (C=C ekt k:k ekt = C k(t))
La forma esponenziale è l'unica forma possibile ora per X(t). E' la sola soluzione?
Sì infatti concluso di non avere nulla attr.
- X'(t)-kX(t)=0
- Radoica per ekt >0
- g(t) [.] e∫ f X(t)-ke∫ X(t)=0
Ricordo Leibnitz
(X H) e ∫ a
X'(t)e ∫
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