Matematiche complementari

Premesse alla crittografia

Le telecomunicazioni (connessione da lontano) nascono come sistema di gioco di prestigio. Le prime idee nascono in ambito militare. Il sistema di comunicazione scritta (nativo per uso privato) con un'invenzione divina colpisce la scrittura mesopotamica arrodonia ai fenici alfabeto seguite dai greci.

La crittologia si occupa di: Crittografia: metodi e ossessive per rendere o intercetturaCriptoanalisi: permette di violare la sicurezza

La comunicazione scritta richiede due fasi:I. NecessitàII. Nel suo sviluppo nascono i corsi. La correzione è come rispondere al fuoco (nella sicurezza risposta tra fum, continua) per superare questi usi nel luogo viviamo.

➡️ Telegrafo ottico di polibio (unicamente con sistema non usate di nessuno)

Già il telegrafo di Tours avve un tutti i rum (aromi del giorno a telecominatos)↪️ Alfabeto sorgente = codifica dell'informazione (correspondent)↪️ Inserimento = canc = il professore ➔ esempio = che col piacere.

➡️ Telegrafo ottico Chappe (macchina automatica con diverse configurazioni)➡️ Telegrafo Marshall (linguaggio potenzialmente universali, non miglioramento) ↔️ Trasmettono con bastone quando cielo jesce a contrario usa da orti...➡️ Molto usato anche fine ch. convenio autonomy

➡️ Telegrafo Santa (monte o calmo usava l'accresco russo su note acrux invish che subtil)

L'annuncio del telemarco sera più di essenza alla trasmissione giungono note musica bruna inventa il telebono che bronzasull'ottimo che permette il nostromo atto più suluna membrane quale conformine una base di carbón tranquilidadame altrovecontinuato ed arrodon ze di cardiano once dormiamo (analogico)Oggi invece il segnalo vibressa in folla nutencia dolomitica

Shannon: el pare che moderne telecomunicazioni spiegano che è semplice e fluoro protagonista residanza unaequazione di bits jedonnelow successivamente ascendono una base richecedamente allinearia messi correndogenerico e radiomillemento di diversa frattorario un organico I vantaggi sono molto: ➡️ + Vola contorto + Volontà + Flessibilità• Industrieg + Bluewreg ➡️

Fanne così sopra ad marketinge informazioni, direzione operariaconvenzione analogico/digitale ➔ crittografia ➔ codificazione ➔ morsione > firma schema in una tavola chi il canale lo possa operare.

Chiave criptografiaChiave di trasmissione

Conservare digitale analogicoTipologia e subsequenti ➔ equivalenza

Metodi per Potenze Modulare

Quanto costa a^k mod N?

• Metodo Ovvio:
  • a · a (N)
  • a² · a (N)
  • ...
  • a^k-1 · a (N)
  • (sto facendo) k - 1 prodotticosto k log₂(N) qualunque
• Dovunque e Sempre: costo 2·log₂(k)·log₂(N)²

Ad esempio: 2¹⁵ (11 prodotti con metodo Moltiplicativo)2¹ · 2¹ = 2² · 2² = 2⁴ · 2⁴ = 2⁸ · 2⁷ = 2⁸ + 2⁴ + 2² + 2¹ = 2¹⁵ = 2⁸ · 2⁴ · 2² · 2¹

È possibile giocare a testa o croce con l'esito?

(olim crucis-settimo)

Sì

Anna trova p,q, N primi, p < q, N = p·q er^p, a² = p^e ---> ∃α: a² · r² = q (α risultato di massimosulle eluc)

Bruno riceve N. Se un N non riesce a fattorizzare N,

quindi molleva p, q.

Testa e croce = k il resto quadratico e il più piccolo o ulteriore?Una volta scelto Anna comunica p, q così che Brunopuò convicere a credere a Anna.Anna non può barare.

Metodi per il Resto Quadratico

• b è il resto quadratico b^(p-1)/2 ≡ r_y¹
• ?? ? log₂v_r

Recente test di Grail utilizzo deterministico polinomialeha spantagnato il mondo pollice esplorativa che attaccarn

la sicurezza del metodo RSA

Concetti matematici per la crittografia

(Z, +, .) anello commutativo unitario anulo di divisione allo zero,cioè vale la legge di annullamento del prodotto

PLUSa, b ∈ Zb ≠ 0 ∃ ! q, r ∈ Z : a = bq + r 0 ≤ r ≤ k

Divisore divisore quoziente resto

DEFb | a () il resto della divisione di a per b è nullo

-1, ±1, a, -a sono divisori banali di a1, -1, a, -a sono associati di a1 e -1 sono gli unici invertibili in Z

Lemma no sull Z

∃i ∈ Z

a | b e b | a => a e b sono associati

DEFa ≥ 1 si dice primo ammette solo divisori banali

MCD(a, b) il più grande divisore comune tra a e b

Souvenement, a cifra fattorizzare a e b, ma il quadente si disegna questo punto

Del nostro Ordinato ne fa riferimento ampliamente quando si usa solo divisioni successive.

Osmo dete numeri b o a concucano con divisore a - a e il coordinato sono divisori dei numeri positivi.

Algoritmo euclideo

Siano a, b ∈ Z a, b > 0 e consideriamo il seguente procedimento di divisioni successive che si arresta al n-esimo passo quando si ha resto 0

1. a = bq₁ + r₁ 0 < r₁ ≤ b

quando b ha resto 0 prima di avere sostituito lo (r₁ < _r₂, _r₂ < _r₁)(infatti b | ∃ q, r₂ >)

2. b = r₁q₂ + r₂ 0 < r₂ < r₁

3. r₁ = r₂q₃ + r₃ 0 < r₃ < r₂

m. r_m-1 = r_mq_m+1 + r_m 0 < r_m < r_m-1m+1. r_m+1 = r_mq_m+1 + 0

Oss. un divisore di a e b è anche divisore di r₁

un divisore di b e r₄ è un divisore di r₄

Ancune divisore comuni di a e b sono divisori comuni di r_m e r_me gli unici divisori a - b sono divisori comuni di - e l’ - e l’ il - e -₁, _i r_m MCD di a e b => MCD di a e b e il più grande (infatti,

a | r_m e b | r_m = gcd(a, b = [a, b] = MCD =)

Teorema

β ∈ Z β ≥ 2

Allora ∀ m ∈ N ⋀ k ∈ Z positivo ∃ α₀,.., α_k ∈ Z t.c.

m = α_k β^k + α_k-1 β^k-1 + .. + α₂ β² + α₁ β + α₀, tale espansione è unica

• Se m ≥ β applico l'algoritmo divisore di m per β
• m = β ⋅ q₀ + α₀ dove 0 ≤ α₀ < β
• Se q₀ = 0 ⇒ m = α₀ ok!
• Se q₀ ≠ 0 dividi q₀ per β
• q₀ = β q₁ + α₁, 0 < α₁ < β

Proseguendo...

• q_m-k = β q_m-k-1 + α_m-k-1, 0 ≤ α_m-k-1 < β
• q_m-k-1 = β q_m + α_m, 0 ≤ α_m < β

con q_m ≥ q_k >...> q_m ≥ 0 è una successione di interi non ≠

• S'intenda: dividendo qualsiasi necessariamente termina con uno 0
• Sia k il primo intero t.c.. q_k = 0, si ha
• m = β q₀ + α₀
• q₀ = β q₁ + α₁
• q₁ = β q₂ + α₂
• q_k-2 = β ⋅ 0 + α_k ⇒ q_k-2 = α_k
• ⇒ q_k-2 = β α_k + α_k-1 ⇒ q_k-3 = β⋅ [β g_k + α_k-1] + α_k-2
• ⇒ ... ⇒ m = α_k β^k + α_k-1 β^k-1 + α₀, β ⋅ 0.

Ossia gli α_k sono univocamente determinati ✓

Come resti di divisioni successive

• Se m < β blocca m si rappresenta con un unico simbolo ✓

Quindi al massimo servono β simboli diversi (α_k, α_k-1,...,α₀ < β)