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VARIETÀ DIFFERENZIALE
NASTE COME GENERALIZZAZIONE DEL CONCETTO DI CURVA(1 dim) E SUPERFICIE (dim 2), A DIMENSIONE QUALUNQUEMA NON SI UTILIZZA LO STESSO TIPO DI DEFINIZIONE "CORRAGIOLA".LE SUPERFICIE FINORA LE ABBIAMO STUDIATE IN R3 ROICHELOCALMENTE SI RICHIAVA UNA PARTE B DI R2 ZWO DI N3, IN ME IN OGNI B IN W CON 2 INDICI INDIVANG E PIANO TANGENTEE CONFRONTI TRA LORO, IN OGNI hCOD0 SI HASUPERFICIE (dim = 2) R3 MA VARIETÀ (dim = 3) ∄ R4QUINDRO l FONIAUZANI ESSINE SUPERFICIE IN DIMENSIONE INSI DEVONO PENSARE COME OGETTI IN W Rm+n, O R2mVI È IL SEGUENTE PROBLEMA: DATSA UNA VARIETÀ DETERMIRAREDA NUMERO m, VOROCK CHE SIA CONTENTNE in Rm?t FACILLE DOLLENTE DIPENDE DAL SIRGIO OGGETTO MAl IDEASIO CHE LA VARIETÀ PUO SIVILUPARE INDIPENDENTEMENTEDEGLI SPAZI W IN CUSON INVERSI? SONOSC IN OGGETTO NONE UN OGGETTO EUCJICED MA UN OGGETTO AASTRATTO.IL POUSSENTO PROBLEMA RICHORDA LA DESFINZIONE DIDIFFERENZIALTO SO QUESTI NUON OGGETTI CHE NON SOLOABETRI ANRI SPRESSO IL LORO INVERNO E VUOTO
ESEMPIO
Sm ⊂ Rm+1 OVE Sm= {x ∈ Rm+1 | ||x||= 1}S9= ∅ E NON E UN ABENTO
COME CI SI COMPORTA?
Def
X spazio
X si dice localmente euclideo <=> ∀x ∈ X ∃U ∈ ₓ (insieme degli intorni di x) ∃φ : U → Rⁿ
omeomorfismo tra U e φ(U) (con mappa inversa continua)
ovvero
ogni suo punto ha un intorno omeomorfo a un sottoinsieme aperto per il quale esiste φ indotto a U ⊆ Rⁿ.
φ(U) si dice carta centrata in x₀ (se φ(x₀) = 0).
φi = (φ₁, φ₂, ..., φₙ). φi si dicono coordinate attorno a x₀.
Osservazioni
- Una definizione equivalente è la seguente
∀x ∈ X ∃U ∈ ₓ ∃φ : U → Rⁿ
omeomorfismo tra U e B0,1 - B0,1
- A breve presenteremo che φ⁻¹φ è l’oggetto euclideo, la carta è il concetto inverso di fianuliesrelzone (vedi pagina 3)
- L'esponente di Rⁿ non è fissato a priori, può variare punto per punto. Poiché deduciamo che vi siano punti x ∈ X in cui si ha un omeomorfismo tra R² - {0} in R³.
- ∀m è costante sulle componenti connesse (no dolii).
- X connesso => m costante e unico.
- Consideriamo la seguente funzione
fj : X → Z continua Z ha topologia discreta.
∃{2}j è chiuso e aperto => j-1j è chiuso e aperto.
=> fj-1{z} è componente connessa.
∴ m cambia con continuità.
Per semplicità consideriamo sopratutto di spazi X connessi.
- Nessun aperto di Rⁿ è omeomorfo ad un aperto di Rm (n ≠ m)
DD, + ∈ V () ⟹ + () ∈ (ℳ).
∈ V () ⟹ L = + ( − ) ∈ ℝ.
= ⟨L, ⟩ = ⟨ + (−), ⟩ = ⟨, ⟩ + ⟨−, ⟩ = = ⟨, ⟩ + (−1⟨, ⟩) = (1 − ⟨, ⟩) ⟹ ∈{−1⋅⟨, ⟩} == −1 + ⟨, ⟩ ⟹ L = + ( − ) = + 〈〉 = −u + (ℳ)|| −⟨, ⟩ ⩾ 1 − ⟨, ⟩, −1⟩⟨, ⟩
∈ () ⟹ + t ( − x) ⟹ ℝ.
= ⟨, ⟩ = ⟨ + (−), ⟩ = ⟨, ⟩ + (− − ⟨, ⟩)= ⟨, ⟩ = ⟩⟩{}1 ⟹ = ⟶{}1
⟹ L = + ⟨, ⟩⟹ = (−)1∈⟨,⟨ (−)⟹ = + ⟨,⟩⟺⟨⟩⟹⟨ ||
1 + ⟨, − ⟩⟩⟩⟹1⟩
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