Geometria differenziale

Varietà differenziabile

Nasce come generalizzazione del concetto di curva e di superficie (dim = 2) a dimensione qualunque (ma non si utilizza lo stesso tipo di definizione "locale"). Le superfici finora le abbiamo studiate in ³, poiché localmente si richiama una parte di ³, cioè in N³, hanno la bellezza di avere un piano tangente!

Superfici e varietà

Superfici (dim = 2) ³ ma varietà (dim = 3). Quindi le generalità sulle superfici in dimensione m si devono pensare come oggetti in R^m+3 o R^2m. Vi è il seguente problema: data una varietà determinata è l'unico in modo che sia contenuta in R^m? È difficile porzioni.

Problema della differenziabilità

Il nostro problema riguarda la definizione di differenziabilità su questi nuovi oggetti che non sono aperti, anzi spesso il loro interno è vuoto.

Esempio

S^{m m+1} S^m {x ^m+1} S^m = ∅ e non è un aperto. Come ci si comporta?

Definizione di varietà differenziabile

Nasce come generalizzazione del concetto di curva (dim=1) e superficie (dim=2) a dimensione qualunque ma non si utilizza lo stesso tipo di definizione "parametrica". Le superfici finora le abbiamo studiate in ³ perché localmente si ricava una base di ³ tale che in ³ si ha lo stesso bordo, il piano tangente e normali. Tra loro, in ogni modo si ha: ² ⊂ ³ ma varietà (dim=3) ≠ ⁴.

Dunque il concettualizzare queste superfici si devono pensare come oggetti in ⁿ⁺¹ o ^2m.

Problema del numero m

Il numero m indica che sia contenuto in ^m. È difficile cogliere l'elemento dal singolo oggetto ma vedo che la curva si può sviluppare indipendentemente degli spazi in cui sono immersi. Dunque l'oggetto non è un oggetto euclideo ma un oggetto astratto.

Il prossimo problema riguarda la definizione di differenziabilità di questi nuovi oggetti che non sono aperti, anzi spesso il loro interno è vuoto.

Esempio

^m ⊂ ^m+1 dove ^m={x∈^m+1 | ||x||=1}^m=Ø e non è un aperto. Come ci si comporta?

Definizione locale

Defx sotto x si dice localmente euclideo ⇔ ∀x ∈ X ∃U ∈ U_x (insieme degli intorni di x)∃φ:U → R^m omeomorfismo tra U e φ(U) (continua con inversa continua). Ovvero, ogni suo punto ha un intorno omeomorfo ad un sottinsieme aperto (per φ e ψ di R^m). (U,_ψ) si dice carta centrata in x se ψ(x)=0. ψ = (ψ₁,..., ψ_m) ψ_i si dicono coordinate attorno ad x.

OSS. Una definizione equivalente è la seguente... A breve presenteremo che se Z è locally Euclideo la carta è il concetto inverso di parametrizzazione. L'esponente di R^m non è fissato a priori... m è costante sulle componenti connesse (no dis) G x connesso → m costante ... è unico.

Functor

Consideriamo il seguente functor...

• f: X → Z continua Z ha topologia discreta
• Per semplicità parleremo soprattutto di spazi X connessi
• Nessun aperto di R^m è omeomorfo ad un aperto di R^m(n+m)

Definizione di varietà topologica

DEF X sp. top. X è di base varietà topologica

1. X localmente euclideo
2. X è T₂
3. X soddisfa n.i.

OSS. n.i. il secondo assioma di numerabilità, ovvero: Una base per la topologia costituita da un insieme numerabile di aperti ("W lRᶜ → ℬ(Gₖ), XϵG" YϵQ). ...non si utilizza mai, solo per la partizione differenziabile dell'unità (vedi dopo) (1)+(2)+(3) => X è inenumerabile (2) = ∀ x,y ϵ X ∃U ϵ Uₓ ∃V ϵ Uᵧ : U ∩ V = ∅

DEF X varietà topologica A:= {(Uᵢ,φᵢ)ϵA} si dice atlante di classe Cᵏ, 0 ≤ k ≤ ∞, se ∀ i si → è una famiglia di carte φ

1. (Uᵢ,φᵢ)ϵA e ricoprimento aperto di X
2. ∀α,βϵA U_α ∩ U_β ≠ ∅ φᵦ(U_α ∩ U_β) → φᵦ(U_α ∩ U_β)_{φᵦ(U_α ∩ U_β)}
3. φ_ip (φᵦ • φ_j) : φᵦ(U_α ∩ U_β) → φ_j(U_α ∩ U_β) → ϕ(U_α ∩ U_β)
4. Le differenze, di classe Cᵏ

Onde sono tutte indistinguibili poiché appartenenti a classe Cᵏ convessa & differenziabile & classe (Cᵏ).

OSS. Data una varietà topologica ha sempre un atlante? Bho! Cosa succede se cambio atlante?

DEF X varietà topologica con un atlante di classe Cᵏ. Una carta (U,φ) si dice compatibile ↔ (U (U,φ) è un atlante con l'atlante A)

DEF d₁, d₂ atlante di dischi d₁ ∪