Analisi moderna

Notazioni

• (X,T) spazio topologico, X ≠ ∅
• A ⊂ X x∈A A si dice intorno di x ⇔ ∃U∈T: x∈U⊂A
• (X₁,T₁), (X₂,T₂) ∀x,y∈X : x≠y ⇔ ∃U(x), V(y): U(x)∩V(y) = ∅
• (X¹), (X²) T' è più fine o T$ \subset$T'
• X_m→X x∈X ⇒ x_m⇒x⇔∀U(x) tutti ecc.m tranne al piu un numero finito e Lr(x)
• E ⊂ X E = interno di E⇔∪(A aperti contenuti in E)
• C ⊂ X C chiuso⇔C^c è aperto
• C ⊂ X E = chiusura di C = ∩(chiusi contenenti E)
• A ⊂ X A si dice denso ⇔ A̅ = X
• A ⊂ X A = A̅\Å = ∩(A̅)\ ∅ e un chiuso si dice frontiera
• K ⊂ X K compatto ⇔ ogni accoppiamento aperto ammette sottochiusura finito
• X,Y spazi top. f: X→Y ∀intorno aperto V∈T_y f(x) ha per continuamento un intorno retto in x_c

Uno spazio vettoriale topologico è uno s.p. rest: munito di una topologia T che rende continue le generazioni: somma tra vettori e moltiplicazione per scalare (ex. (X,II))

X × X → X(x₁,y) = x+y

X × K → X(x₁ , l) = l × x

con K campo

X sp. vettorialep: X→ℝ si dice seminorma⇔{(1) p(x+y) ≤ p(x) + p(y) ∀x,y∈X (subadditività) (2) p(a x) = |a|p(x) ∀a∈K ∀x∈X}

X sp. vet.p: X→ℝ seminorma ⇔{ p(0) = 0 e p(x) ≥ 0 ∀x∈X}

1. p(0) = p(0 - x) ² =0 p(x) = 0 ✓
2. p(x) ≤ p(x - y) + p(y) ∀x,y∈X

p(y) ≤ p(y - x) + p(x) = p(-(x-y)) + p(x) = p(x-y) + p(x)⇒ p(x) - p(y) ≤ p(x-y); 0 ≤ |p(x) - p(y)| ≤ p(x-y) ⇒ p(x) ≥ 0 ∀x∈X

• X sp. vet.
• p: X → ℝ r norm(*) p e‘ seminorma e “ ∀α |p(α)|=0 ⇒ α=0 ”
• X sp. vet. p seminorma ∀r > 0 Bp(r)= {x∈X: p(x)0: x ∈ λBp(r)) (conseguenza: 0 ∈ Bp(r))

TEOREMA

{pi: i∈I} famiglia di seminorme, I qualunque X sp.normato

• ∃ τ topologia su X compatibile con la struttura lineare di X in cui ogni seminorma è una funzione continua

Inoltre (X,τ) e‘ sp.vet. topologico localmente convesso (e τ ha una base i cui elementi sono insiemi convessi)

(no qui) τnuclea { x1+x2+tx} ⟨teoremi⟩ ≤ {t∈0,1,2} ⟨ A

TEOREMA

• X sp.vetoriale localmente convesso
• X metrizzabile ⇔ X e‘ T2 e ha base numerabile (ex. ℝ ha base numerabile B(x,r) , x∈())

sia {xₙ∈X : dᴛ(xₙ,0)= 1 2ᶰ } e base numerabile W O mescolando si ottiene per tutto X

• β = {Bᵢ: Iₑ} base numerabile
• Sia = {pi} ʲⱽᵢᵉᴵᴺ , pi(x) = nf { z } > 0 ∈ Bᵢ

Definiscodᵢ(x,y) = Σᶰᵢ=1 i +pi(x- y) (⇒ dᵢ(x,y) ≤ 2ᶤ + ≤ 1 ⟨y, x⟩ X ultimo δil⟩ convex ⟼ setti con quella

Questo costruttore e‘ importante perché permette di costruire norme a partire da seminorme

⍺=(⍺₁,...,⍺N)∈ ℕᶯ multindice , ⍺ᵢ∈ℕ i = 1...N

|⍺|=⍺₁+... ⍺N una qualsiasi ⍺∈A

{⍺}⍺=⍺₁...⍺N : fattorizzazione 4⍺

∇= (∂⍺¹ ∂⍺ᴺ)ᵀ

⍺⟨ϑ⟩ = x1... x1......

Esempi Fondamentali

1. f ∈ L_loc¹(Ω)

   T_f: 𝒟(Ω) → ℂ T_f(ϕ) = ∫_Ω fϕ dx, ϕ ∈ 𝒟(Ω)

   T_f(ϕ) = ∫_Ω fϕ dx ⇒ È ben definito T_f è lineare (ovvio) T_f è continuo. Vedi: ϕ_m→_m→∞ ϕ in 𝒟(Ω) ⇒ ∃K ⊂ ℂ supϕ_m < K ∀m e ð_kϕ_m → ð_kϕ ∀k ∋ ℕ

   DD. T_f(ϕ_n) → T_f(ϕ) 0 ≤ |T_f(ϕ_m) - T_f(ϕ)| = ∫_Ω |f||ϕ_m - ϕ| dx ≤ |f|dx sup|ϕ_m - ϕ| → _n→∞} → T_f è una distribuzione

   Veniamo la sua importanza: f,g ∈ L_loc¹(Ω)

   T_f = T_g ⇔ ∫_Ωgϕ = ∫_Ωfϕ ∀ϕ∈𝒟(Ω) ⇔ ∫_Ω (f-g)ϕ=0 ∀ϕ∈𝒟(Ω) ⇔\\

   Dunque si tende a unicare la distribuzione T_f con la funzione stesso f

   T_f ≈ f Def T ∈ 𝒟'(Ω) Si dice distribuzione Ressure ⇔ ∃f∈L_loc¹(Ω) : T=T_f

   Ciò vuol dire ogni funzione in l_loc¹ (ce ne sono tante!) determina una distribuzione quindi esistono tante distribuzioni!

   Vale il Δinverso? Ovvero tutte e sole le distribuzioni ∃ possono rappresentare con una funzione in L_loc?

   NO Te ∈ 𝒟'(Ω) Si dice singulare ⇔ \\non ∃ ressure

2. ∃c ?

   P, c∈ P⟶ &Reals; Altra di òrch W P

   S_p(ϕ) = ϕ(P)

2) K ⊂ ⊂ compatto

∀ o ∈ ∀ ϵ∃ T^-1(U) ∃o aprimosu W ∈ _κ(Ω)?

ma T^-1(U) ≠o W aprimosu in (Ω) TKcompatto

⇒ T^-1(U) aprimosu in (Ω)

↑

∃o aprimosu in (Ω)⟺ θ_m(D_x) → 0

∀k ↑Ω

Cauchy 1.3

(, _κ(Ω)) unitario ⟹⟺

il Teorema di Caratterizzazione delle Distribuzioni 1.4

T : (Ω) → ∪ ≤ Lineare

T è distribuzione ⇒∀ K ⊂ ⊂ compatto∃m∈(k)∀ε(m)t.c. |T(ϕ)| ≤ M ||ϕ||_m∀ϕ ∈ (Ω)

⇒ T distribuzione T_kcarino *⇒T_kwilma ∃o∈ testDef T ∈ '(Ω)

si OSE ordine su T ii più piccolo m∈ℕ t.c. ∀K ⊂ ⊂ compatto∃ M (k) t.c. |T(ϕ)| ≤ M||ϕ||_m∀ϕ ∈ _κ(Ω)

Si dice che T ha ordine infinito se tale stima è impossibile.

Esempio

1) T = I_g con f∈L¹_loc(Ω)|T(ϕ)| = || = | ∫_Ωf(x)ϕ(x) dx|_≤ ≤ ∫ |f(x)| supϕ|g|_K |⇔| K⇒ |T(ϕ)| ≤ M||ϕ||_m∀K ⊂ ⊂ compatto ⇒ m=0

∃ ordine di ogni distribuzione regolare L0

ζ(I) = ∫ ∂_i (φ|x|^2-N) = 0

(II) = lim ∂_iζ |x|^2-N = 0

= o(1) + ∂_i(∅+o(ε))dσ = o(1) ₋

∅(o)+∂(ε+o(ε)) → ∂(o)

δη-DU=∂ AVERETE UNA FORMULA L¹ nel SENSA delle DISTRIBUZIONI

TEOREMA 1.6

1) u&t=∅(IR^N)

1. ∂u=-f e f ∈ L¹(IR^N)
2. DU E una OLOBRA NEGATIVE e ∂

1 ∂ώ → F existe E finendo Ω

Osservazioni bene per i ΰ

1. ζ(t,x) = t ∈ ∞
2. non ho problemi per exp

N=3

∀N=2

N>3 → x

• PONONO POTENZIALI DI YUKAWA
• γγ(x-y) con Gγ

t=+∞ non ho problemi per exp

t =-∞ non ho problemi

t=0* int limφ+0cdϒ

N=1 → x ∈ &8477;

N>=2 → x ∈ &8477;^N