Analisi moderna

Revisionato il 25/06/2026

di el_ces_94

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Definizione e proprietà fondamentali dello spazio di Schwartz. Concetti basilari della teoria delle distribuzioni. Elementi di Calcolo delle Variazioni ed equazioni di Eulero-Lagrange: …

Esame Analisi moderna

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Mugnai Dimitri

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2017-2018

104 pagine

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Estratto del documento

Notazioni e concetti nello spazio topologico

Consideriamo uno spazio topologico (X, T), dove X ≠ ∅.

Intorni

Per un insieme A ⊂ X e un elemento x ∈ A, A si dice intorno di x se e solo se esiste un insieme aperto U ∈ T tale che x ∈ U ⊂ A.

Separabilità

Nello spazio (X, T), se per ogni x, y ∈ X con x ≠ y esistono insiemi aperti U(x) e V(y) tali che U(x) ∩ V(y) = ∅, allora lo spazio è detto spazio di separabilità o T₁.

Convergenza

Un insieme S ⊂ T e una successione (x_n)_n ⊂ X che converge a x se e solo se per ogni intorno U(x), tutti gli x_n, tranne un numero finito, appartengono a U.

Interno e chiusura

Per un insieme E ⊂ X, l'interno di E è dato da E = ∪(A ⊂ T contenuti in E).

Un insieme C ⊂ X è chiuso se e solo se il suo complementare C^c è aperto.

La chiusura di un insieme C ⊂ X è data da Cl = ∩(C ⊂ T contenenti E).

Densità e frontiera

Un insieme A ⊂ X si dice denso se A^– = X.

La frontiera di A è data da ∂A = A^– ∖ A^° = ∩ (Â)^c.

Compattezza

Un insieme K ⊂ X è compatto se e solo se ogni suo ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito.

Mappe continue tra spazi topologici

Per spazi topologici X e Y, una funzione f: X → Y è continua se e solo se per ogni intorno aperto V ⊃ f(x), la controimmagine di V è un intorno aperto di x.

Spazi vettoriali topologici

Uno spazio vettoriale topologico è uno spazio vettoriale dotato di una topologia T che rende continue le operazioni di somma tra vettori e moltiplicazione per scalare, come ad esempio (X, II).

X × X → X, (x, y) ⟼ x + y
X × K → X con K campo, (x, 1) ⟼ 1 × x

Seminorme

Dato uno spazio vettoriale X, una funzione p: X → ℝ si dice seminorma se:

p(x + y) ≤ p(x) + p(y) per ogni x, y ∈ X (subadditività).
p(λx) = |λ|p(x) per ogni λ ∈ K e x ∈ X.

Una seminorma soddisfa p(0) = 0 e p(x) ≥ 0 per ogni x ∈ X.

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