Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Proprietà dei numeri naturali
- Principio del numero intero
- Non sottocenere non vuoto in insieme numeri
- Principio del successore
Dato un qualsiasi numero naturale esiste il suo successore, ovvero il numero naturale maggiore del numero dato
- Principio di induzione
S0 ∈ IN
- 0 ∈ IN
- ∀ n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S
Dim.
S ⊆ IN e S ≠ ∅ ⇒ IN \ S + ∅ ⇒ IN \ S ∃ m = minimo IN \ S
m = minimo IN \ S ⇒ m ∈ IN \ S
m > 0 ⇒ m - 1 ∈ S ⇒ (m - 1) + 1 ∈ S ⇒ m ∉ S
Prop.
σ(m) prescindato
σ(m0) vero
σ(m) vero ⇒ σ(m + 1) vero
⇒ σ(m) vero ∀ m ≥ m0
CALCOLO COMBINATORIO
- PERMUTAZIONIPmm = m!
- DisposizioniDmk = m! / (m-k)!
- CombinazioniCmk = m! / k!(m-k)! se 0 ≤ k ≤ m
PROVA "√2 NON È RAZIONALE"
- √2 ∈ Q → √2 = p/q → 2 = p2 / q2 con (M.C.D. (p,q) = 1)
- p = 2k → p2 = 4k2 e dispari
- q2 = 2j + 1 → q2 = 4j2 + 4j + 1
- p2/q2 non può avere radice 2 (contraddizione!)
ASSIOMA DI DEDEKIND
- A ≠ ∅ e B ≠ ∅
- A, B ⊂ R
- ∀a ∈ A ∀b ∈ B a ≤ b
- → ∃c ∈ R t.c. a ≤ c ≤ b ∀a ∈ A ∀b ∈ B (elemento separatore)
Il Valore Assoluto
Def.
Valore assoluto: ℝ → ℝ
f(a) = |a| = max {a, -a}
Proprietà
- ∀a∈ℝ
- a ≤ |a|
- |a| = εa a ≥ 0
- a ≥ 0
- |a| = 0 ⇔ a = 0
- -|a| ≤ a ≤ |a|
- |a| ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b
- |a| > b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ -b
- |a| = |-a|
Prop. (2.17)
Disuguaglianza Triangolare
- |a + b| ≤ |a| + |b| ∀a,b∈ℝ
- Dim
- -|a| ≤ a ≤ |a|
- -|b| ≤ b ≤ |b|
- -(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b| ⇒ |a + b| ≤ |a| + |b| ok
- |a| - |b| ≤ |a + b| ∀a,b∈ℝ
- |a| = |a - b + b| ≤ |a - b| + |b|
- |b| = |b - a + a| ≤ |b - a| + |a| = |a - b| + |a|
- ⇒ -|a - b| ≤ |a| - |b| ≤ |a + b| ⇒ ||a| - |b|| ≤ |a - b| ok
Def.
Parte Positiva & Parte Negativa
- x+: ℝ → ℝ0+, x≥ 0 ⇒ max {x, 0}
- x-: x → ℝ0+, x > 0 ⇒ min {x, 0}
- x∈ℝ
- x = x+ + x-
- x = (x-)+
Proprietà delle funzioni continue
-
f+g continua.
∀ε>0 ∃δ:0 t.c. ∀x∈A con |x-x0|<δ1 ⇒ |f(x)-f(x0)|<ε/2,
∃δ2 t.c. ∀x∈A con |x-x0|<δ2 ⇒ |g(x)-g(x0)|<ε/2,
|x-x0|<δ1 con δ=min(δ1,δ2).
∀ε>0 ∃δ t.c. ∀x∈A con |x-x0|<δ(sero) ⇒ |f(x)+g(x)-(f(x0)+g(x0))|<ε,
<ε/2+ε/2<ε
-
g⋅q continua.
n∑i|g(x)q(x)|<ε/2 OK.
∀ε>0 ∃δ t.c. ∀x∈A con |x-x0|<δ ⇒ |g(x)-g(x0)|<ε/2+ε/2=<ε
|g(x)q(x)-g(x0)q(x0)|=|g(x)q(x)-q(x0)g(x)|
<|f(x)|(g(x)-g(x0))+g(x)(f(x)-f(x0))|<
<|f(x)|(|g(x)-g(x0)|+|g(x)|∈|f(x)|&sube|g(x)|<ε/2⪽|f(x)|&sube,|g(x)|<ε/2 OK.
-
max{g(x),g(x)}&pdot;e continua
∀ε>(e,ε)>0 t.c. ∀x∈A con|x-x0|<δ
se f(x)>g(x)
|max{f(x),g(x)}-max{f(x),g(x0)}|=|f(x)-f(x)(x)|<ε−OK.
se f(x)<g(x)
|max{f(x),g(x)}-max{f(x),g(x0)}|=|g(x)-g(x0)|<ε−OK.
OBSERVATION
- limx → x0 g(x) = 0 ⇔ limx → x0 |g(x)| < 0
- limx → +∞ g(x) = 0 ⇔ limx → +∞ |g(x)| = 0 quindi g(x) è un infinitesimo in x0
- |g(x) - 0| < ε → |g(x)| - 0 < ε
-ε < g(x) < ε ⇒ -ε < |g(x)| < ε
- limx → +∞ g(x) = l ⇔ limx → +∞ |g(x)| = |l|
- limx → x0 g(x) = l ⇔ |g(x) - l| < ε
0 < | |g(x) - l| | < |g(x) - l|
- g(x) = log2 x ← f → ∞
limx → 0+ g(x) = -1
DEF
β: Dβ → ℜ x0 ∈ ℜ (Dβ)limx → x0 g(x) = ∅
- ∀ ε ∈ Iε t.c. g(x) > ε ∀ x ∈ Dβ ∩ Vx0 ¶limx → x0 g(x) = ∅
- limx → x0 g(x) = l ⇔ limx → x0 (limx → +∞ g(x) = l)
Cambiamento di variabile nei lim
Contro esempio
f: ℝ → ℝ
g(x) = 2 ∀ x ∈ ℝ ⇒ limx→0 g(x) = 2
g: ℝ → ℝ
g(y) =
- 3, y ≠ 2
- y + 2, y = 2
limx→0 g(f(x)) = limx→0 g(2) = 3
MA
limx→0 f(x) = 2
limy→2 g(y) = 1
Quindi
g(y) non è continua in y = 2 ⇒ limy→2 g(y) ≠ g(2) f è costante, ovvia f(x) = 2 ∀ x ∈ ℝ con x ∈ I0
Esempio
f: ℝ → ℝ
f(x) = 1 - cosx ⇒ limx→0 f(x) = 0
g: ℝ → ℝ
g(y) = siny ⇒ limy→0 g(x) = 1
g(y) è spendibile con continuità in x = 0 (nelle notenze), quindi posso applicare in joruma
limx→0 g(f(x)) = limy→0 g(y) = 1 ∴
(1) bis
: [,] → ℝ , : [,] ∪ [,]
∃lim () = sup () ≤ inf () = ∃lim ()
(x → x0⁻) x → x0⁺
∃ lim () ≥ () ≥ sup () = ∃ lim ()
(x → x0⁻) (x → x0⁺)
Dio
: [,0[
∃lim () = sup ()
(x → x0⁻) x< x0
per la teoria sul limite
delle funzioni monotone
sup () ≤ (0) ∧ inf () ≥ (0)
(x < x0) (x > x0)
(per definizione)
⇒ lim () = sup () = (0) = inf () = lim ()
(x → x0⁻) (x > x0⁺)
oss.
se () è continua 0
⇒ lim () = (0) = lim ()
(x → x0⁻) (x > x0⁺)
⇒ lim sup = (0)= inf () = (x → x0⁺) = lim ()
(x > x0⁻) (x > x0⁺) (x > x0⁺)
⇒ lim () = (0) = min () + lim ()
x > x0⁻ x > x0⁺
lim m = e
(m → ∞)
e
lim m = e ∈ ℝ
(m → ∞)
⟺ lim m - <-
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
