Analisi matematica I

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Estremi superiore ed inferiore. Numeri Complessi. Succesioni. Infiniti e infinitesimi. Funzioni continue e uniformemente continue e loro proprietà. Limiti di funzioni, proprietà e …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Pucci Patrizia

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2013-2014

74 pagine

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Estratto del documento

Proprietà dei numeri naturali

Principio del minimo intero
Principio del successore

Dato un qualsiasi numero naturale esiste il suo successore. Ovvero il primo (più piccolo) numero naturale maggiore del numero preso.

Principio di induzione

S ⊆ N

0 ε N
∀ m ε S ⇒ m+1 ε S

S = N

Dim.

S ⊆ N e S ⊕ N ⇒ N \ S ⊕ ∅ ⇒ N \ S possiede minimo.

m = min N \ S ⇒ m ε N \ S

m > 0 ⇒ m - 1 ε S ⇒ (m - 1) + 1 ε S ⇒ m ε S

Prop.

σ(m) Vero/Vedi caso particolare
σ(m₀) Vero
σ(m) Vero ⇒ σ(m + 1) Vero

σ(m) Vero ⇒ σ(m) Vero, ∀ m ≥ m₀.

Proprietà dei numeri naturali

Principio del minimo intero (no in Q e R)
Ogni sottoinsieme non vuoto di N ammette minimo ⇒ m è ordinato

Principio del successore

Dato in qualsiasi numero naturale esiste il suo successore, ovvero il primo (più piccolo) numero naturale maggiore del numero preso

Principio di induzione
S ∈ N

0 ∈ N
m ∈ S ⇒ m+1 ∈ S

Dim.

# S ⊂ N e S+N ⇒ N \ S ≠ ∅ ⇒ N \ S esiste minimo (Principio minio intero)

m = min N \ S ⇒ m ∈ N \ S

m > 0 ⇒ m−1 ∈ S ⇒ (m−1)+1 ∈ S ⇒ m ∈ S #

Prop.

σ(m) pred. falso

σ(m₀) vero

σ(m) vero ⇒ σ(m+1) vero

⇒ σ(m) vero ∀m ≥ m₀

CALCOLO COMBINATORIO

PERMUTAZIONI

P_m = m!

P_m è il # di modi diversi in cui m oggetti possono essere disposti in un certo ordine

DISPOSIZIONI

D_m,k = ^m!/_(m-k)!

D_m,k sono i modi distinti in cui possono disporsi in fila k oggetti scelti tra un gruppo di m. È come mettere in fila tutti gli m oggetti (m!) e scartare degli ultimi (m-k)!.

COMBINAZIONI

C_m,k = ^m!/_{k! (m-k)!} = ^{m^-1}/_{k! (m-k)} se 0 ≤ k ≤ m (0 altrimenti)

C_m,k sono i modi diversi in cui possono scegliere (no ordine) k oggetti da un insieme di m.

PROVE

"√2 NON È RAZIONALE"

# √2 ∈ Q ⇒ √2 = ^p/_q ⇒ 2 = ^p²/_q² con MCD (p,q) = 1 q ≠ 0 , p,q ∈ N

Quindi se p pari ⇒ p = q e disparip = 2k ⇒ ^p² = ^4k² q = 2j + 1 ⇒ q² = q₁ + _q₁ ( ) è dispari^-4k²/_q² = 2 ⇒ ^-4k²/_{q = 2 ⇒ 2k² = q² se p ≠ dispari ⇒ p² = 2q² #}

ASSONA DI DEDEKIND

A ≠ Ø e B ≠ Ø A, B ⊆ R∀a ∈ A ∀b ∈ B a ≤ b ⇒ ∃c ∈ R t.c. a ≤ c ≤ b ∀a ∈ A ∀b ∈ B N.B. ro però non essere unico!

Def Maggiorante (lo stesso per il minorante)

A ⊆ R

m ∈ R

m è maggiorante di A ⇔ ∀ a ∈ A, a ≤ m

_{M_A} è l'insieme dei maggioranti di A

Def Insieme limitato superiormente

A ⊆ R

A limitato sup ⇔ _{M_A} ≠ ∅

Def Massimo (lo stesso per il minimo)

A ⊆ R

m ∈ R

m è massimo di A ⇔ m ∈ A

m ∈ R

m è massimo di A ⇔ {x ∈ A, x ≤ m} ⇒ m ∈ A

m = max A

NB:

Il max o min possono non esistere

Il max e min sono unici

m = max A = m'

m ∈ A m ∈ A ⇒ m ≥ m'

m ∈ A m ∈ M_A ⇒ m' ≥ m m' ≤ m ⇒ m = m'

Def Estremo superiore (lo stesso di estremo inferiore)

A ⊆ R A ≠ ∅

A limitato sup ⇔ _{M_A} ≠ ∅

ξ è l'estremo sup ⇔ ξ ∈ M_A

ξ = sup A

Se ξ ∈ M_A

⇔ ∀ x ∈ A t.c. ξ < x

ξ ≤ ∀ ^W ∀ T

ξ ⩽ ^O &ere; e ξ &inc; ació maggiore

NB:

Il sup o inf sono unici

Se sup A ∈ A ⇒ sup A = max A

PROP

∀ mxA con A⊂R ⇒ mxA = supA

TEOREMA 2.11

∀ A⊂R con A ≠∅Mq ≠∅⇒ ∃ supA = ξ SEMPRE!

DIM: ∀α∈A ∀m∈Mq α ≤ m ⇒ ∃ ξ∈R t.c. Hα∈A ∀m∈Mq osservando a ≤ ξ ≤ m a↑b⇒ ξ = supA

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