Riassunto Geometria affine e proiettiva

RIPASSO DI GEOMETRIA AFFINE

DEF: Uno spazio affine sul campo K costruito su uno spazio vettoriale V su K è dato da

• A ≠ ∅ insieme
• A×A → V applicazione con le seguenti proprietà

1. ∀P∈A ∀v∈V ∃!Q∈A t.c. [PQ]⃗=v (Q si dice estremo finale)
2. ∀P,Q∈A si ha P0 + ⃗QR = ⃗PR (Regola del parallelogramma)

DEF: A spazio affine su V dim(A) = dim(V)

OSS: La retta, il piano lo spazio ordinario sono spazi affini sul campo ℝ, con dimensione 1, 2 e 3

La geometria si fonda sui "vettori geometrici" (o latini) definiti come classi di equivalenza di segmenti orientati quindi ogni vettore applicato di un vettore si dirà rappresentante di quel vettore considerato.

OSS: V spazio vettoriale su K

Considero α: V×V → V (ṽ, w) ↦ ṽ - w̃

Definendo su V una struttura di spazio affine su se stesso

Quindi ogni spazio vettoriale V si può considerare spazio affine su se stesso e si denota con A(V) o V_a

SE: V = K^m A(V) = A(K^m) = A^m(K) con dim(A) = dim(K^m) = m

DEF: A spazio affine su K costruito su V

S⊆A Q∈S W⊆V

S si dice sottospazio affine di A ⇔ S = {P∈A| QP∈W}

Inoltre, S con l'applicazione α_|

S×S → W è a sua volta spazio affine su K costruito su W

OSS: In un sottospazio affine in quanti modi posso scegliere Q ∈ W? Il punto Q e arbitrario, basta che Q∈S

La giuntura W è unicamente determinata

A spazio affine su K costruito su V

S, S' sottospazi affini di A con giaciture W, W'

S ≅ S' ⇔ W ≅ W' v W = W'

dim(W) = dim(W') allora S ≅_def V = V'

A spazio affine su K costruito su V

(O, e₁, ..., e_m) si dice riferimento affine in A ed è dato da

• un punto O∈A
• una base di V formata da vettori e₁, ..., e_m∈V

Quindi, ∀P∈A ∃! scrittura OP = x₁e₁ + ... + x_me_m

con (x₁, ..., x_m)∈K^m successione delle coordinate di P

Si crea una A = K^m cioè un sistema di biiezione P ↔ (x₁, ..., x_m)

Usiamo la seguente notazione P(x₁, ..., x_m) o P=P(x₁, ..., x_m)

Rispetto ad un sistema di coordinate, ogni sottospazio affine può esprimere con descrittori mediante equazioni cartesiane o parametriche

A, A' spazi affini su K costruiti su V, V'

A→A' si dice aff_def ℘: V→V' applicazione lineare t.c.

∀P, Q∈A ℘(P)℘(Q)

Bijunivoco ⇒ ℘ si dice isomorfismo affine

A=A' i ℘ è oltre isomorfismo affinità di A: (y = Ax+b)

se ℘(OP_A + Q_A)=℘(P)2(x₂)(1,4)(1,2)(0,1)(1,0)=(1,2,0)

A spazio affine su K costruito su V

A→A' (k) l'isomorfismo affine quindi

X_K affine numerico Aff(K) con m=dim(A)

_OSS L(S) = S   ↔   S ⊆ P(V)    sottospazio di P(V)

_DEF P(W) spazio proiettivo   ↔   S ⊆ P(V)    (sottospazio proiettivo)

L(S,S') = L(S ∪ S') si dice il sottospazio somma di S, S'

è il più piccolo sottospazio proiettivo che contiene S e S'

(l'unione sembra altro sottospazio che contiene S ∪ S')

si scrive anche come <S,S> o S+S' perché? (vedi oss.)

_OSS S ⊆ P(W) e S' &supsube;  P(W')   →   L(S,S') = P(W + W')

_DIM

P(W + W') ⊆ P(V) poiché W + W' ⊆ V

P(W + W') contiene P(W) e P(W') poiché W ⊂ W' ⊂

∀ P(U) ⊂ P(V) l.c. P(W) ⊂ P(U) ⊃ P(W)   ⊃   W = U ∩ W   ⊃   W + U ⊃ ⊃

∃ P(W + W') ⊆ P(U)

→ P(W + W') è il    più piccolo sottospazio

di P(V) che contiene P(W) e P(W')

→ P(W + W') = L(S,S')

_PROP P spazio proiettivo su K      S, S' ⊆ P(V) = P

_{FORMULA DI GRASSMAN}

_PROIETTIVA

dim(S ∩ S') + dim(L(S,S')) = dim(S) + dim(S')

sa    P = P(V)    S = P(W)

S∩S' = P(W∩W')

dim(W∩W') + dim(W∪W') = dim(W) + dim(W')

→ dim(S∩S') + dim(L(S,S')) = dim(S) + dim(S')

_OK

_OSS

dim (S∩S') + dim (L(S,S')) = dim(S) + dim(S')

dim (P) dim (L(S,S'))

poiché L(S,S') ⊆ P(V)

→ dim (S∩S') ≥ dim S + dim S' - dim(P)

dim(S) + dim(S') ≥ dim (P) → dim (S∩S') ≥ 0 → S∩S ≠ ∅

Quindi

Basi di V

Sistemi di coordinate omogenee di P(V)

Classe di equiv. delle basi

Def: Riferimento proiettivo

P(V) spazio proiettivo sul K campo: dim (P(V)) = m

La successione [...] di m+2 punti in posizione generale designa un riferimento proiettivo di P(V)

Prop: ∀ sistema di coordinate omogenee ⇒ ∃ riferimento proiettivo

Dim: Sia [...] m [...] P(V) = P^m(K) un sistema di coo. omogenee con [...] em base di V

Costruisco i punti

F₀ = [...]

F₁ = [...]

U [...] F₀, I^m, F₁ = [...] U = [...]

Chiamati punti fondamentali, chiamato punto unità

Fo-1, Fm sono uni indipendenti poiché [...] Fm sono indipendenti in quanto base di V

F₁, ...Fm, U sono uni indipendenti?

dim(V) = m+1

V e F₀, ...Fm = ≤ e₀, e₁,...em

N e ≤ e₀, rᵢm, e₀, ...+ rᵢm > N e ≤ e₀, ..., rᵢm poliche ne r comb. uni

(...)

E e₁, .... , rᵢm e₀+..+em

Volume [...]

F(i, ...fₘ), ...poliche ne r comb. uni

e₀, eβ, ..., em e₀+.. + em cercano ve abborando le altre componenti

Sostituisce ve abborando le altre componenti (se gli altri)

⇒ F₀, Fm, U sono uni in posizione generale ⇒ F₀, Fm, U sono un riferimento proiettivo

Prop: ∀ riferimento proiettivo ⇒ ∃1 sistema di coo. omogenee

Dim (esistenza)

Sia F₀ = [W₀], F₁ = [Wₘ], Fₙ = [W] ⇒ [...], m, ... indipendenti [...] un riferimento proiettivo

dim(V) = m+1 ⇒ base di V

⇒ ∃1, x₀, ..., xₘ e non nulli con x₀, ..., xₘ ≠ 0

IN QUESTO CASO,

H₂^af INSIEME DEI PUNTI ALL'INFINITO RISPETTO AL PIANO AFFINE

CONSIDERANDO

U_z={x,y,z|x∈P²(K),z≠0}≅A²(K) (DESCRITTA ALGEOMETRICAMENTE) PIANI

RETTI AFFINI

ALLORA,

Pⁿ(K)=U_x∪U_y∪U_z

SPA^m(k)=U_∞∪U_m≃A¹(K)∪P^m(K) IN m+1 MODI DIVERSI

VOLENDO

P^m(K)=U₀∪U_m

OSS. SPAZI PROIETTIVI REALI

Pⁿ(R) = P(Rⁿ⁺¹) con n > 1

Posso sempre costruire una catena di applicazioni biunivoche ridotte per passaggio al quoziente dalle applicazioni di questo tipo

Dⁿ -> Sⁿ -> P^m(R) - {∞} -> P^m(R)

n _n [∞_R]

P(x₁, ..., x_n, x_n+1, ..., x_m, t₁² + t_m²)

P^m - {∞}

x_i = x₁ -> x_n = x_p + x_mt_i² = x_p+1 + ... + x_n

t₁² + ... + t_m² = 1

P_{n-1} = {x₁, ..., x_m}

PⁿP^of Pⁿ = P² = P^o * λ * P² = = P² => u^* = λ_*

OSS. RETTA PROIETTIVA COMPLESSA

P¹(C) e considerando: C = R i²

Punto all'infinito che rappresento il polo nord

Re(z_t)

Politico eff +1

Assissa complessa

Comb + i

( ∞ , O , l) ->

S^∞_u¹ -> R²

Oppure p^com.

S², U({∞∇}) S²

Considerando

Re(z²) -> biù

Si allegorita un punto e si crea una corrisp. biuniv. con la sfera

Si trallido ^totjla il punto

In una corresp. biunivoca

~= N sulla sfera

Si crea una corris. biunivoca

Con il piano R²

(0 , O , l) (0 O 1) ↔ (b - a )

S^∞(C):

Conv fel =

( x , y , z ) = u i + λλ -> [ z₂ + u² + λt = N] z i

(∞ O l)

Conv t z =

∞ (O , O) i = -∞ =. 0 (0 i 1)

[ ( l o ) gz ]

Si chiama proiezione stereografica dell'esfera sul piano R²

Es. rappresenta analiticamente così. Infatti, lui:

S¹∩ S^∞⊂R²

" ( x , y , z ) ?

x , y

( - z , z )

Pu -> N

2u

2N² = u | 2u² z²+1 = u:

+( i ) ⦰ ( u - 2 t)

x² + 2N = 2N

2z ;

N²