Riassunto Geometria affine e proiettiva

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Author: el_ces_94

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Riassunto Geometria affine e proiettiva basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del professore Guerra, dell’università degli Studi di Perugia - Unipg, …

Esame Geometria III

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Guerra Lucio

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2014-2015

52 pagine

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RIPASSO DI GEOMETRIA AFFINE

DEF

Uno spazio affine sul campo K costruitosu uno spazio vettoriale V su K è dato da

A ≠ ∅ insieme

α: A×A → V applicazione con le seguenti proprietà

∀ P ∈ A ∀ v ∈ V ∃! Q ∈ A t.c. −−→PQ = v
∀ P,Q,R ∈ A si ha −−→PQ + −−→QR = −−→PR (regola del parallelogrammo)

DEF

A spazio affine su V

dim(A) := dim(V)

OSS

La retta, il piano e lo spazio ordinario sonospazi affini sul campo R, con dimensione 1,2 e 3

La geometria si fonda sui vettori geometrici (o lettere) definiticome classi di equivalenza di segmenti orientati. Quindi ogni vettore applicato di un vettore si dirà rappresentantedi quel vettore considerato.

V spazio vettoriale su K

Considero α: V×V → V(n,t) → n−t

Quindi ogni spazio vettoriale V si può considerare spazio affine su se stesso e si denota con A(V) o V_a

V = k^m

A(V) = A(k^m) = A^m(k) con dim(A) = dim(k^m) = m

DEF

A spazio affine su Kcostruito su V

S A Q ∈ S W VS si dice sottospazio affine⇔ S = ∑ P ∈ A | Q ∈ W

Inoltre S con l'applicazione α_S×S→W è a sua volta spazio affine su K costruito su W

OSS

In un sottospazio affine in quanti modi posso scegliere Q e V?

Il punto Q è arbitrario: basta che Q ∈ SLa griglia W è univocamente determinata

Ripasso di Geometria Affine

Def: Uno spazio affine sul campo K costruito sul uno spazio vettoriale V su K è dato da

A ≠ ∅ insieme
α: A x A → V applicazione con le seguenti proprietà

∀P∈A ∀v∈V ∃!Q∈A t.c. PQ = v
∀P,Q,R∈A si ha PQ + QR = PR (regola del parallelogrammo)

Def: A spazio affine su V

dim(A) := dim(V)

Oss: La retta, il piano lo spazio ordinario sono spazi affini sul corpo ℝ con dimensione 1, 2 e 3.

La geometria si fonda sui "vettori geometrici" (o vettori) definiti come classi di equivenlenza di segmenti orientati quindi ogni vettore applicato di un vettore si dirà rappresente di quel vettore considerato.

V spazio vettoriale su K

Considero α: V x V → V

Definendo su V una struttura di spazio affine su se stesso.

Quindi ogni spazio vettoriale V si allo considerare spazio affine su se stesso e si denota con A(V) o Vₐ.

Se: V = K^m

A(U):= A(K^m) ≅ A^m(K) con dim(A) = dim(K^m) = m

Def: A spazio affine su K costruito su V

S sottoinsieme di A Q∈S W_K

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