Geometria II

Ripasso

DEF: (V, +) È uno spazio vettoriale sopra un corpo (K, +, ·) se

• (V, +) È gruppo commutativo quindi + è interna
• 0 ∈ K x V = V per esterna (K,int) = K, 0 ∈ K t.c.

(k + k') · oN = k · oN + k' · oN

k (N + N') = kN + k'N'

(kK oN) oN = K (oK oN)

-k oN = -N

DEF: (W, +) È sottospazio di (V, +) ⇔ W ⊆ V e (W, +) è spazio vettoriale

PROP: W ⊆ V ⇔ ∀α β ∈ K ∀w₁, w₂ ∈ W si ha αw₁ + βw₂ ∈ W

PROP: E spazio vet. sopra campo K

E₁, E₂, ... E_π ⊆ E

E = ∑_i=1^π E_i : ∑_i=1^π N · N_i ∈ t i vi t | xi² | < E

∀i = 1, ..., π^? ∀x ∈ ∑_i=1^π E_i ∈ a K

α = ∑_i=1^π N; N ∈ E_i ∀i = 1, ..., π_?

∀x ∈ ∑_i=1^π E_i

αx = ∑_i=1^π αN_i = αN₁ + αN₂ + ... + αNπe ⇒ αx ∈ ∑_i=1^π E_i : x = ∑_i=1^π

x + y = ∑_i=1^π ∑_j=1^π w_i : = ∑_i=1^π (w + w)_i ⇒ x + y ∈∑_i=1^π E_i

E c,oK w_i : ∈ E_i

x = ∑_i=1^π e + ∑_i=1^π ω_i; e, a N, w_i ∈ E_i ∀i = 1, ..., π

⇒ ∑_i=1^π ε_i < ε

(2)

E spazio vettoriale

E₁ + E₂ = E₂ ⊕ E₂

PROP (2)

E₁ ⊕ E₂ = nullo sono equivalenti

1. E₁ ⊕ E₂ = F₀ elemento zero
2. N_x + N_y = O_E con N_x ∈ E₁, N_y ∈ E₂ → N_x = O_E e N_y = O_E
3. Supponiamo N ∈ E₁ ∩ E₂ → N ∈ E₁ e N ∈ E₂ → -N ∈ E₁ e +N ∈ E₂

→ O = O + 0 = -N + (+N)

→ N = O → E₁ ∩ E₂ = {O}

OK

1. Siccome N_x + N_y = O → N_x = -N_y → N_x + N_y ∈ E₁ ∩ E₂ = {O}
2. → N_x = -N_y = O → N_x = O e N_y = O

OK

1. Siccome N₂ = N_y + N_y = N₂ + N₂ con N_y, N₂ ∈ E₁ e N₂, N₂ ∈ E₂
2. → (N₂ - N_y) + (N₂ - N₂) = O → N_y - N_y + O e N₂ - N₂ = O
3. OK

Diagonalizzazione autovalori autovettori

Def. Operatori lineari

Se _v vettore nel SUI

se \( F: V \rightarrow V \) funzione lineare

\( F \) è operatore lineare se e solo se \( F: V \rightarrow V \) funzione lineare

se \( F: V \rightarrow V \) endomorfismo con \( L = (e_1, e_m) \) ho la stessa base

allora \( M_e, e(F) = M_e(F) \)

Quindi, si ottiene un'applicazione dall'insieme dei endomorfismi a quello delle matrici quadrate \( m \times m \).

\( \operatorname{End}(V) \rightarrow M_m(K) \)

\( F \rightarrow M_e(F) \)

Def. Matrici simili

\( A, B \in M_{m}(K) \)

\( A \) si dice simile a \( B \) se e solo se \( \exists M \in \operatorname{Gl}(m,k) \)

t.c. \( B = M^{-1} A M \)

Prop.

La relazione di similitudine tra elementi di \( M_m(K) \) è una relazione di equivalenza

1. \( A = M^{-1} A M \implies A = I^{-1} A I = A \) ok → \( A N A \) riflessiva
2. \( A \sim B \implies B = M^{-1} A M \) con \( M \in \operatorname{Gl}(m,k) \)
3. \( B \sim C \implies A = M B M^{-1} \) e \( M^{-1} \in \operatorname{Gl}(m,k) \) → \( B \sim A \) simmetrica
4. \( A \sim B \quad \text{e} \quad B \sim C \quad \text{con} \quad M, N \in \operatorname{Gl}(m,k) \) → \( B = M^{-1} A M \quad C = N^{-1} B N \) →
5. \( C = N^{-1} M^{-1} A M N = (MN)^{-1} C (M N) \text{e} MN \in \operatorname{Gl}(m,k) \)
6. \( A \sim C \) transitiva

→ \( \sim \) è una relazione di equivalenza

Quindi,

Tutte le matrici si ripartiscono in classi di equivalenza dove

ogni classe è formata da tutte le matrici simili ad una "campione".

PROPRIETÀ

F: V → V op univoca

e(e₁, ..., eₙ) base di V A = [e]_e(F)

I AUTOVETTORI DI F : F - λI = [x₁, ..., x_m]

• NE(V_λ(F)) ⟺ (A - λI_m) (x₁, ..., x_n) = 0

(F - λI)(x) = 0 ⟺ F(x) = λx

⟺ F(n) | λv(n) = 0 ⟺

• ((F - λI)(v))(k) = 0 ⟺ [ (F - λI)(w) ]_e = 0
• ⟺ (A - λI_m) [ (x₁)(x_m) ] = 0

IL NUCLEO È SOLO SE TUTTE LE SUE COMPONENTI

OK

Le coordinate degli autovettori di V_λ(F) sono le soluzioni del sistema omogeneo in x₁, ..., x_m

DEF:

(LA DIMENSIONE DEI OPERAZIONI SI ESPONE SULLE METRICHE)

A ∈ ℝ^m(k) λ ∈ k

det (A - λI_m) = 0 def λ s Ø UN AUTOMORFISMO DI A

• A ∈ ℝ^m(k) ∀ x = (x₁, ..., x_n) ∈ k^m
• λ x = 0 ∀ i = 1, ..., m

NE AUTOVETTORE ⟺ (A - λI_m) (X₁, ^X_m) = 0

PROPRIETÀ

F : V → V

e B: base di N

A = [e]_e(F) B ∈ M_n(F) (A - λI) det (B - λI) = P_B(λ) = P_A(λ)

MATRICE SIMILE HANNO UN STESSO POLINOMIO CARATTERISTICO

A ∼ B ⟹ ∃ U ∈ G_m(k) t.c. B = U^-1 A U

P_B(λ) = det (B - λI_m) = det (U^-1 AU - λI_m) = det (U^-1A U - λU^-1U I_m) = det (U^-1 (A - λI_m) U)

• P_A(λ) = det(U^-1(A + λI_m))
• = det (A - λI_m) det U

= (det x)² det(A - λI_m) det x = det (A - λI_m) (Frobenius Binet Theorem)

OK

MA matrice simili HANNO AUTOVALORI DISTINTI DIFFERENTI

se A, B ∈ ℝ^m(k) HANNO AUTOVALORI DISTINTI

=> A ≁ B

A = ^{(0, A')}(0, 0)

matrice diagonale

quindi

det(A - λI)

(a-λ)^dp(λ) => m_Φ(λ₀) ≥ d = m_Φ(λ₀) OR

3° criterio di diagonalizzazione

F ε End(V) dimV = m

F è diagonalizzabile

1. p(λ) è interamente dec. in pol.
2. m_Φ(λ) = m_a(λ) ∀ λ ε Sp(F)

F è diagonalizzabile

p(λ) è interamente diagonalizzabile -> vale 1

∀ λ₀ ε Spaffa (F) t.c. m_Φ(λ) ⁺ m_a(λ₀) => m_Φ(λ₀) < m_a(λ₀)

p(λ) è interamente diagonalizzabile

PROP

V spazio vettoriale sopra

Sia ε=(ε₁,...,εₙ) base di V

₂:=(₁,...,ₙ) R base a V^*

Diciamo che ·(ε_j)=δ_ij ∀ i,j = 1,...,m

• Sia Σ a_i η_i = 0 ⇒ ∀h ∈ V (Σ a_i η_i)(η_h) = 0

• Sia L∈V^* L:N→ siano L(ε_ei) = a_i, L(ε_m) = 0 ∀...m