Geometria II

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Autovalori ed autovettori. Diagonalizzazione. Forme bilineari. Forme quadratiche. Spazi vettoriali euclidei. Spazi affinieuclidei. Operatori unitari, simmetrici e teorema spettrale. Spazi …

Esame Geometria II

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Caterino Alessandro

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2013-2014

100 pagine

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Definizione di spazio vettoriale

RipassoDef(V, +) è uno spazio vettoriale sopra un campo (K, +, ⋅) se (V, +) è gruppo commutativo (quindi + è interna) e |K×V| ⇒ V è esterna. (K, ·) → K con t.c. (k+l)·N = k·N + l·N, k(N+N')=kN+kN', (k·l)·N = k·(l·N), I_K o N = N per ∀ k ∈ K e ∀ N, o ∈ V.

Sottospazio vettoriale

Def(W, +) è sottospazio di (V, +) ⇔ W ⊂ V e (W, +) è spazio vettoriale. W ⊆ V ⇔ ∀ α, β ∈ K (sopra il campo (K, +, ·)) ∀ ω₁, ω₂ ∈ W s.t. αω₁+βω₂ ∈ W.

Proprietà dello spazio vettoriale

E spazio vett. sopra campo K, E₁, E₂, ..., E_κ ⊆ E. Dim ∑^κ_i=1 E_i : ∑^κ_i=1 ω_i : ω_i ∈ E_i ∀ i = 1,..., κ ∀ x κ∈ ∑^κ_i=1 E_i, ∀α ∈ K αx ∈ ∑^κ_i=1 E_i : {αω_i(solo sotto spazi)OK x+y = ∑^κ_i=1 ω_i, ∑ ω_i = (ω₁ + ω₁) x·y ∈ ∑^κ_i=1 E_i.

OK con x = ∑^κ_i=1 α_iω_i ∀ α, ω_i ∈ E_i, ∀ i = 1,...,κ in t.c. : ε_i.

Spazio vettoriale sopra un campo

RipassoDef: (V, +) è uno spazio vettoriale sopra un campo (K, +, ⋅) se (V, +) è gruppo commutativo (quindi + è interna) ∃! 0 ∈ V (0 esterna (K, ⋅) ⇒ K ⋅ 0 = 0, t.c. (k + k') 0 ∈ = k ⋅ 0 + k' ⋅ 0 k (n + n') = k ⋅ n + k ⋅ n' (k ⋅ k') ⋅ n = k ⋅ (k' ⋅ n) 1_K ⋅ n = n ∀ k, k' ∈ K e ∀ n, n' ∈ V.

Sottospazio vettoriale (2)

Def: (W, +) è sottospazio di (V, +) ⇔ W ⊆ V e (W, +) è spazio vettoriale. Prop: W ≤ V sopra il campo (K, +, ⋅) ⇔ ∀ α, β ∈ K sia α w₁ + β w₂ ∈ W ∀ w₁, w₂ ∈ W.

Spazio vettoriale sopra campo K

Prop: E spazio vett. sopra campo K ∃! e₁, e₂, ..., e_r ≤ E t_i = ∑_i=1^r t_i ∈ N, t_i ∈ t ∀ i = i₁, ..., i_r < ε ∑_i=1^r t_i = ∑_i=1^r N_i ∈ t ∀ i = i₁, ..., i_r - ℍαCK ∝ t₁, t_i = ∑_i=1^r α_i n_i : α n₁ + α n₂ + ... + α n_r ⇒ α x ∈ ∑_i=1^r e_i : α ∈ α_i (solo sopra spazi) x + y = ∑_i=1^r ω_i : ∑_i=1^r (ω_i + ω_j) ⇒ x + y ∈ ∑_i=1^r e_i cαV x = ∑_i=1^r e_i + ∑_i=1^R ω_i : t_i n_i, ω_i ∈ e_i ∀ i = i₁, ..., i_r IN t C t_i < ε.

Proprietà di sottospazi vettoriali

Equivalenza degli spazi vettoriali

Def: È spazio vettoriale E₁, E₂ ≤ E. PROP(2) E₁, E₂ ≤ E allora sono equivalenti:

E₁ + E₂ = E₁ ⊕ E₂
E₁ ∩ E₂ = {0_E} vettore zero
N₁ + N₂ = 0_E con N₁ ∈ E₁, N₂ ∈ E₂ ⇒ N₂ = 0_E e N₁ = 0_E

Dimostrazione delle proprietà

(Da 1 ⇒ 2) Considero N ∈ E₁ ∩ E₂ ⇒ N ∈ E₁ e N ∈ E₂ ⇒ N ∈ E₁ e N ∈ E₂ con unicità della scrittura segue che N = 0 ⇒ E₁ ∩ E₂ = {0_E} ok.

(2 ⇒ 3) Sia N₁ + N₂ = 0 ⇒ N₁ = - N₂ ⇒ (N₁-N₁) ∈ E₁ ∩ E₂ = {0_E} ⇒ N₁ = N₂ = 0 ok.

(3 ⇒ 1) Sia N = N₁ + N₂ = v₁^t + v₂^t con N₁^t ∈ E₁ e N₂^t ∈ E₂ ⇒ (N₁-N₁^t) (N₂-N₂^t) = 0 ⇒ N₁^t + N₂^t = 0 e N₂ - N₂.

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