Algebra commutativa e computazionale - Prima parte

RICORDANDO,

• (A, +, •) anello (A, +) gruppo abeliano (assoc. + elem. neut. + inverso)
• (A, •) associativo e distributive
• (A, +, •) dominio anello con unità ∀ a ≠ 0 ∃ b ≠ 0 tale che a•b=0
• A campo (A, +) gruppo abeliano; (A, •) gruppo abeliano; distributive
• A anello
• (I, +) ⊆ (A, +) sottogr.
• ∀ a, b ∈ a + aβ ∈ I e α a ∈ I
• A anello con unità ≤ a ∈ A a ∈ anello unità + non invert. u | ∃ b | : a | b a | a(b/c) se b/c ≠ 1
• A dominio a primo => a irredudibile
• A ≤ ∑a così unit. a(n - n.a. + dom.ino,
• A anello euclide ∃ g ≤ ∑a così unit. a(n • da(a: b) v. • a, | a | : {a n.a. ∑a | a})
• A così unit. P.N. A anello a dom.ino a(I) a = I
• µ µ non vale bezout {∃ a, f primo : ∃, f | irr.ore
• A dominio => a(a/ a ≠ 1 : b • x/a • x verde)

è sempre possibile è un'equazione euclide

TEOREMA (Algoritmo a divisione)

∀ f, g ∈ k[x], ∃! q, r ∈ k[x], (q - r : deg(f) : (q : f)]

• se f = 0 => q = 0 = r ✓
• se deg(f) ≥ deg(g) => q : 0 = (r < deg(g)
• se f =0 deg(f) < deg(g)
• se deg(g) = 0 = deg(f) : 0 => q • f : fq = 0
• se deg(g) > 0 ren.
• se deg(g) > 0 ren.nazione su m : deg(g)

RICORDANDO

• (A, +) ANELLO ↔ (A, +) GRUPPO ABELIANO (ASSOC. + ELEM. NET. + INVERSO)
• (A, ·) ASSOCIATIVO E DISTRIBUTIVO
• (A, +, ·) DOMINIO ↔ 1) ANELLO CON 1 UNITà + A ≠ ∅ “∀ a ∈ A, 1 · a = a” ∧ “∀ a ∈ Q ↔ n.d., n.d. (IDEA a · b = 0)
• A CAMPO ↔ (A, +) GRUPPO ABELIANO, (A, ·) GRUPPO ABELIANO, DISTRIBUTIVO
• A ANELLO Z/0 (I, +) ⊆ (A, +) SOTTOGR.
• F, I ←→ ∀a ∈ Q, a ∈ HOM (AXH), a.core t.
• A ANELLO CON 1 UNITà a ∈ A a PRIME¬+A (TFA: a ∈ A|bc, a|ibc2 solo b vale O, ∃tbc ↑ o/I) IRRIDUCIBILE (SOLO f, t, hom+∀oE.c = 1) ∀bc = 0 L.R. O INV. A DOMINIO a PRIME → a IRRUDICUBILE
• A+(e)(∀a) CON 1: A. CON CUI A SE TI ESEGUE SOLO l A SE f(A, b), Äa, b∈ A (so: te q. a--_{) {0, ∀ a--•3, ∀0 •a mod(|1 − 2v.}
• 3YK=E SE VALE BELLATO (VAL DI A ^ö∞, μ ∈ A; MCD A(b)= d ox.stereotype.)
• A+(e) (ISTO COURL UNIT) ∇ A DOCMLING
• A ANELLO A NUAL |DINIC y&Mef2.(I) |A = A CONT. I: ISVALE A cbIA{∀l. ID+I } ESE&FR;S cn
• A MEDITA aVAO L] (2)(3{ Hoel½. NOT A SUOL MUNCHIS NICOTTORE { SOVELNE AL (e) Mnado&fraqte.print " IN LPERICOLLtv INGRAN
• bffuiO laN NO A POLIZIO BbBOt {0 l.oE3} (E) 12., enz nil REG(r
• A nRADO; }MaK IFMELEeno(i: A; => 0 Hins?. piokke w, una NiSONWAY IT COSsECION vf C ANELLO o WUELCT O MEQUEL TOUTINE → JYKZ VALE BbBOTT {c a, 1pri.|3 = fE IRREDUCIblEsts EbENE SEPSIBLE W MOUVOLOUOCHESE
• TEOREMA o lcG&sqshake;&J¤ Uog HORE&pacоур оп Заг ≡ ∏Тьерапин Whи&lean Ä&Ntoe; ∑ закры&ј

0 {FEQ lfo → 9 = 0 = r ✓

uf deg(f)≠ deg(g) → 9&hat;= r.oF –

Se f ≠ 0 licht(fl)&no;= deg(g)

SE deg(f) = O bag(g)= O → 9 = f • ΨμoF

&there4 deg(g)>o REiNOrACE ship on r.m- days(g

m=0 => vedi alla

m=deg(f) m=deg(g) => f=a₀a₁x+...+a_mx^m g=b₀+...+b_mx^m-na_nxⁿ

sia f₁=f-a_mb_nx^m-n

se f₁=0 => q=a_mb_mx^r-0

se f₁≠0 f₁=a₀t₀x^m-n-a_mb_mx^m-n / m°

=> deg(f₁)<m=deg(f) se lo facessi n° volta

=> ∃q₁,r_k∈K^[x] f=q₁g+r₁ r_k=0 < deg(r_k)

sviluppando l'induzione, per sviluppare l'algoritmo

deg(f)₁ ≥ deg(f)₂ ≥ deg(f)₃...

da ∑={deg(f₁),deg(f₂),...}

∑ ≠ ∅

...∑ diventa minimo r=1

in ordinato

-A particolare => A^[x] razionale

-K^[x] è uno spazio vett su K, duh

coefficiente al univ. indipenden

Problema di appartenenza a un ideale

Π ∆ K^[x]

f∈I ⇔ ??

K^[x] principale => ∃g∈I: Π=<g>={h.ḡl | ḡ∈K^[x]}

dunque

∀f∈I ⇒ g|f & g≠0

cong divisione euclidea

-K campo f:K→K

f per polinomi

∃p∈K^[x] ∀a∈K f(a)=p(a)=f_a(ᵖ)

duh

ℜe(K)≠{f:K→K}

poli