Algebra commutativa e computazionale - Prima parte

RICORDANDO

• (A, +) ANELLO ↔ (A, +) GRUPPO ABELIANO
• (ASSOC. + EL. NEUT. + INVERSO)
• (A, ·) ASSOCIATIVO + DISTRIBUTIVE
• (A, +, ·) DOMINO → A ANELLO CON UNITÀ TA ∃ 1A ≠ 0

∃ 0A, 0 ∃ 0, a ∃ A ab=0

• A CAMPO ↔ (A, +) GRUPPO ABELIANO, (A, ·) GRUPPO ABELIANO, DISTRIBUTIVE
• A ANELLO _A(1, I) ⊆ (A, +) SOTTOGR
• ∀ X ∃ I hrdaA A X ∃ I e &exists; a
• A ANELLO CON I. U. ∃ a ∃ A o d’ANELLO a* (o+i)un+invers.t. ∀ c ∃ A obcalcolivale, qual (IRRIDUCIBLE SPOCHT NON UWU.+ INV)+readerA: abcd-b.nnw.c
• Δ DOMINO o PRIME ⇔ a IRRIDUCIBLE
• A+∃∃CON I. UNIT. 1
• A DOMONIO
• A ANELLO EUCL 1⇒
• ∃ J. O. ∀ ∃∃ -1 NO. ∃ a M

12: (a)S (a,b)-ya.ae A ∃

UME DIVISE EUCL.

∃ VAEEE (a’0 bcda’∃∃

ENCD

VALE BEZOUT (ha,n.e Ar A I n u ∃ MCDA (ab)end= (a+h)+u) A+∃∃CON UNIT. 2 N

⇄

FI,E

• CHECK MEA _{riaco c)-4n}

{el.Areo.S}{al.e ^prini}

{a IRARE.{2°!= "A+priirc}_{el irriducible}}

• EK campo K[x]=Obama {[a Mr. k]ınClmeirn. a±0{plmGk} ⇑ x ∃

• TAUNORTE N UNA NUODIMSI
• EDONTAL SU n2
• SEA FTO = DEG (f) > = DEG (g)

REP MOSALE DE BCD, FUNZIO - ROBBODINROP DOBLE RE NORCREATE FUNJOHO

E`IST ISOLLEPOSSIBILE MENDIBLE EUCLIDIE

THEOREM

(I.ΠSTIPRO\-c,3) ∀ ecki [X] Vege K [ég] Pra $ \frac{gogtr.} {vorm Grenk})

℞

• Sea g=0 ⇒ G=or

• Sea deg(g)=deg"X(f)r=fT ⇒(gf)⇔=(99)

• IRDE, GOL>o FG>e&Y
  • SE DAG(g)jG c Seo g=fg/j write 9=0
  • RENo NOZOT Sul MANMAY (he ^{deg(∑g xÑ= )})

  m > 0 ⇒ vedi prima

  m = deg(f) ⇒ m = deg(g) ⇒ ∃f₀ ≠ 0 a₀x₀t₀n tilde = b₀b₁ + t₀m x tilde^m

  sía f = b₀ - a₁m ₀

  SE l ₀ = 0 ⇒ a₀ = a₁m x^n-m x

  SE f t₀ ≠ 0 f₀ = a₁ + t₀x xⁿ tilde^-m

  ⇒ deg f < m = deg(g)

  uso l'ipotesi induttiva

  ⇒ g₀ = r ∈ G [X] f₀ = a₁g + r₁ k=0 = deg(r₁) ≤ deg(g)

  ⇒ g₀ = a₁g + a₀m₀ x^n-m x_m + r

  ⇒ r - r₁ = v ₀ sía deg(v) ≤ deg(g)

  Sviluppamo l'induzione, per sviluppare il calcolo

  deg(f) > deg(f₁) ≥ deg(f₂) ≥ ...

  sía δ := {deg(f), deg(f₁), ... } ⊆ ℕ Σ ≠ φ

  ⇒ δ diventa unico. o r=1 ⇒ rₙ = 0

  in avanti

  In particolare ⇒ A[X] razionale

  ℂ[X] α a uno spazio vetic su ℝ levo di differenziale mediano base

  P 0=1, Xⁿ, X₂ 'lin dip + non mimulieb'

  Problemi di appartenenza a un ideali

  ∏ ∈ A[X], f ∈ I ⇔ ??

  A[X] principale ⇒ ∃g ∈ I : Ι := ⟨g⟩

  A[X] contenuti avvenne ⇒ ∃g : ∀g | a ∈ A[X]

  può meglio dire

  f ∈ Ι ⇔ g f, g ≥ 0 (cond dimostel eucideo)

  g (f g) per (f g) x

  Rel(K) - {f : j : K- K : C polinomiale, l’area ₀ seno

  Unisono per ogni

  g, f ∈ Rel(K) ∀a ∈ K polinomiale - f(a)=g(a)

  può derivare

  q, ∀x tic K, ∀f ∈ K[π] ∀k = f⟨g⟩ − f⟨g⟩

  per dere fonti, incontro ∃p,ν ∈ K[X]

  rcusciplpo con p(x)

  α: (f+q) (a) = f(a) g(a) + p(a) + q(a) = u(a) d(a) ⇒ gΩ, ρ universally

  rel ₀K５０(B)

  שתמ-maedq 010: disc +0

  1 (Anello di identità dei polinomi)

  K infinito ⟹ Ψ iniettiva

  ∀m per induzione su m

  m = 1 caso fatto √

  ∀m Ψ aperto(k) ≠> Ψ(p) ≠> δp = 0 ⟹ ∃p1(a1,...,am) ≠> 0 ∀(a1,...,am) ∈ Kᵐ

  p = Σ_i g_i(x₁,...,x_m-1) xⁱ_m solo ultimo monomio tira

  ∀(a1, ..., am-1) ∈ Kᵐ^m-2 ⟹ h = p(a1,...,am-1,x_m) ∈ K[x_m]

  m-1 ̸> Σ_i g_i(a1 + am-1xⁱ_m)

  ∀a_m ∈ K Σ1≤m Σ g_i(a_m - _ia_m), i=0 ⟹ Σ_i g_i ≠> 0 ∀i

  ∀ x tutti i coeff in R sono nulli ̸> gi(...

  ̸> gi(a1, ..., a ᵐ−i ̵a ̵̵i

  SOL_NOSUE ... g₁¹ = 0

  p = Σ_i g_i(x₁,...,x_m) x_m ⟩

  ⇒Ψ = 0 ⟺ Σ pᵢζᵢ ∈ setup |

  OSS...

  ∑ Έ∉A un cor. unit.

  Λ = σ S. di A-modulo ⟹ 2) A∑ ψ = Ψ+1 (co. esterna)

  • (a,b)∅ = αk tale
  • ∀α,α βy = λug ϐ
  • (a + b) = α + bα
  • (a:b)x = a(bx)
  • a(x + y) = ax + ay
  • lγ*x = λx

  OSS M A-modulo N∋M

  N si dice sottospazio (N + Δ(H+.)) sono uguali

  A×N⟹N anca conv Vo∈Aⁿnu_K cues ✝

  OSS..:

  ΛA DEPIAZIONE di A moduio è mezzo sfere A conviene SI spazio sentamento MA NON p. esempio CHE AFERNO UNA BASE polini non e l'OSO CITE GENERATION DANO UNA VIODI

  ΛA SI ruò pensare come Αⁿ, quindi allora iponto A-modulo sono -iti idemi o A

  3) ⇒ 2) per def.

  2) ⇒ 1) ovvio.

  1) ⇒ 3) non c'e' x_α ∈ I ⇒ c_α x_α ∈ I ∀ c_α ∈ K \ {0}

  Infatti:

  3) ⇒ 2)

  β ∈ I = Σ x^α x_α ∈ A Β ⇒ A ⊂ N^m

  ⇒ ∃ a_i, ..., a_t ∈ A ∃ b₁, ..., b_t ∈ K[x₁...x_n]

  β = Σ a_i x^{α (i)} = Σ x^α(i) &=Sigma; p_ia_(i) - I

  Polinomio t.c. [ ... ]

  Usando ogni t.c.

  e il supporto di tutte non si riduce.

  Per un certo numero di scelte β tutti termini sono uguali

  (contenuto di omomorfismo tra domini ideali monomi)

  I₁, J₂ Δ K[x₁...x_n]

  Allora,

  I = J ⇒ ^M(I₁) = ^M(J₁)

  dove ^M(I) = tutti i monomi in I

  (no aut.)

  Lemma di Jackson 3

  I Δ K[x₁...x_n] I={x^α | α∈ A} ⊂ N^m

  Allora, I = {x^α | α∈ A} ô N^m

  Cioe' finitamente generato e i coefficienti si

  Possono ottenere

  con generatore di contratti

  Per Waring:

  m = 1 ∅ +A ⊂ N₀ I Δ K[x₁] ⇒ I = Σ ^{xα | α∈ A}

  β: K[x], δ: ancorare

  ∅ ⊕ b ∈ N₀. I < x^b ⇒ p.o. DEA

  dove p.o. DEA

  N₀ β ordinato ⇒ ∃ una a = be Δ x^k ∈ I ⇒ < x^u > c ∈ I

  (1) Il totale e maggiorativa poiché v_i è un cammino discendente

  x_i x_i+1 ^v_i

  (1) è ordinamento monomiale

  (2) Il totale è maggiorativa ma non E' un buon ordinamento, infatti

  x > x ² > x ³.

  2 non è ordinamento monomiale

  prod₂

  dove S è contenuto in M

  x ^α(s) T^α(s)

  S

  controllo minorativo di x ^α(s) S

  oss. Si poteva usare questa Proof per accorgersi che 2 non E' un buon ordinamento (poliche)