Teoria delle categorie e Topologia

Teoria delle Categorie

Fondate da S. Eilenberg e S. MacLane nel 1940.

Si introdusse il concetto di categoria come continuazioni dei vari strumenti.

Una coppia di funzioni definendo un morfismo tra categorie è tutto finalizzato ad un attributo in ogni oggetto.

La teoria è nata a Perugia nel 1988/1989 con la ricerca di Laverne.

L'analisi di questo tema chiedeva: nel 1972-1973 un linguaggio universale della matematica in quanto permetteva una grande facilità alle idee. Edc: sistemi ipermetrici universali che parlavano di spazi metrici, pool fonetici, oltre ai poli metrici dello stesso atollo.

Infine interromperò il conteggio per parlare di una categoria, unificando su una dimostrazione, ottenendo pure quella come applicata ad esempio:

• S¹ cerchio unitario
• Dⁿ disco unitario ¹/2

è difficile.

Costruisco dei funtori che mi permettono di passare dal prodotto geometrico a quello algebrico.

π(X) _{gruppo fondamentale di X}

X ^categ

Presentazione gruppo di omotopia di X

Þ: X -> Y _{f.c. continui (sostituiamo alcuni questi vincoli)}

π(g): π(X) -> π(Y) e Þ: H(g): H(X) -> H(Y)

Ora, il problema è continuare π(X) e H(X)

Tornando all'esercizio e passando a Funtore π II problema del banale

π(S¹)=ℤ e π(D¹)={0}

Facile il colore ti descrive una sfera intorno sull’oggetto fino al centro.

Þ: discorso al centro, si continua all'infinito.

Def:

Una categoria C è costituita da:

1. Una classe di oggetti ObC e |C|
2. ∀X, Y ∈ |C| ∃f(X,Y) un insieme di morfismi (o frecce) da X a Y che rispondono ai seguenti assiomi di categoria
   • ∀X, Y, Z ∈ |C| è assegnata una funzione detta composizione∅(X, Y) x ∅(Y, Z) → ∅(X, Z){f,g} → f ° gX →_f Y →_g Z
   • la composizione è associativa cioè h ° (g ° f) = (h ° g) ° f
   • ∀X ∈ |C| ∃_1X ∈ ∅(X, X) morfismo speciale detto identità su X
     • ∀g, h: X → Y ∀g: Y → X morfismi f°1_X = f 1_X ° g = g

Oss. La definizione è semplice ma è necessaria per ottenere una distinzione di classi e insiemi per evitare i paradossi che esulano dalla teoria degli insiemi, come i paradossi di Russell. Una classe di una generica collezione di oggetti (come l'insieme di tutti gli insiemi) sono classi piccole (è il rischio di incoerenza)

• SET è la categoria in cui:
  • SET è la classe di tutti gli insiemi
  • ∀X,Y ∈ SET un morfismo f: X → Y è una funzione di insiemi DV DV 3V OK
• GR è la categoria in cui:
  • GR è la classe di tutti i gruppi
  • ∀G,H ∈ |GR| un morfismo f: G → H è un omomorfismo di gruppi DV DV 3V OK
• AB è la categoria in cui:
  • AB è la classe di tutti i gruppi abeliani
  • ∀G,H ∈ |AB| un morfismo f: G → H è un omomorfismo di gruppi DV DV 3V OK

Definizione

∀ x ∈ |C|

_C(-,X) : C → Set

Y → _C(X)

f: Y → _C(X)

z → φ(z,X)

[L’]Un funtore

φ(_C(X),_C(z,X)) → φ(_C(Y,X) → φ(_C(z,X))

x ⟶_g y ⟶_g z

dove φ(_C(X))(q_g,p_f)⟹ g∘ f

Def

C, D due categorie

F: C → D funtore (contravariante) è dato da:

1. una funzione F: |C| → |D|x → F(x) – F_x
2. ∀ X, Y ∈ |C| una funzione F_X,Y: C(X,Y) → D(F(Y), F(X))

• In modo che esistono composizione e identità:
• F_g∘f= F(q)∘F(q)
• F(1_X) = 1_F(x)

Oss.

Un funtore contravariante F: C → D è un funtore covariante

verso la categoria opposta D: |C^op| → D^op

• Un funtore si dice covariante se il verso di morfismo viene mantenuto
• Un funtore si dice contravariante se inverte il verso del morfismo

Esempio

Q^*: Set → Set

x ⟶ Q(x)

y₁ → Q(y)

Q^*(g∘ f) = f(z)∘y ∀ x

Funtore covariante

Q_*: Set → Set

x ⟶ Q(x)

y ⟶ Q(y)⟶ Q(x)

Q_*(g∘(q))= q^-1(Q(x) ⟶ ⟶ Q(x) ∀ B, C, y

Funtore contravariante

Def

C, D e E categorie

F: C → D, G: D → E funtori

Esempio di composizione di funtori

G∘ F: C → E tc. ∀ x∈ |C| ∃ q∈ φ(x)

(G∘F)(X) = G(F(x)) (G∘F)(q)= G(F(q))

Sia in una categoria Gr, Rng, Fld avendo ad esempio Gr

D: Gr → Set

Si dice funtore dimenticante

then si dimentica la struttura e fornisce insieme e sostegno per l'applicazione sostegno

∀ G, H ∈ Gr

D_Gr: Gr(G, H) → Set (D(G), D(H))

Il funtore è fedele poiché D_G è iniettiva

Ma non è pieno poichè non tutti gli archi tra insiemi sono omogeni

Ma non è pieno sugli oggetti poichè ad uno stesso insieme posso dare più strutture di gruppo

e dando più soggetti sugli oggetti

D: Gr → Set funtore dimenticante

∀ {G₀, e Gr

D(G) ≅ Gr(ℤ, G) allora esistono:

x ⇔ z^g∈ G

x ∈ D(G) insieme sostegno del gruppo ∃! φ: ℤ → G di origini di gruppo

t.c. f(φ) = x ∈ G

È ben definito in quanto un otto morfismo di canedi si complementa

determinando da ℤ⁽ⁿ⁾ w.n.m:

∀ m ∈ ℤ φ(m) = {g₁, g₂, …} = {g₁ g₂ g_..} φ(1) = xⁿ

Considero θ: D → Gr (ℤ, .) un isomorfismo naturale

γ in (x) genera solo iso (vi lascopa)

∀ψ: G → G

w in Gr(G, G) h è in diagonale

osservando che è complemento:

∀ x ∈ D(G) x ⇔ φ^x: ℤ → G φ(x): ℤ → G

φ_G: ℤ → G φ(x)∈ G

d(φ(x))∪(x) ↔ z^g∈ G φ(x)

x = f_q∣ z^q_g φ