Curve e superfici quadriche, affini e proiettive con immagini

Polinomi Quadratici

Parte Affine

Nel piano i suoi sottinsiemi sono descritti tramite equazioni lineari del tipo

f(x,y)=0 con f(x,y) polinomio (equazione cartesiana polinomiale) (disegna le coordinate di punti che soddisfano le condizioni)

(x,y)={g(t), h(t)} (g,h: R | R^1)

Equazione parametrica Al variare di t definisce un punto nel piano, questi punti definiscono una curva

I corrispondenti insiemi di dipendenza definiscono una linea curva poligonale o il sottinsieme di una linea nel piano e quando cade naturalmente una retta nel piano, quelli si applicano a linee rette nel piano

Nello spazio tridimensionale i suoi sottinsiemi sono descritti attraverso:

f(x,y,z)=0 (equazione cartesiana)

(x,y,z)={g(u,v), h(u,v), k(u,v)} (g,h,k: R^2 | R^3)

Equazione parametrica

Nello spazio si definisce superficie o superficie curva poligonale e l'equazione del piano non sono più curve, ma superfici.

Superficie piana = spazio tridimensionale

(u,v)={g(u,v), h(u,v), k(u,v)}

Ogni polinomio ammette soluzioni parametriche? Nel caso di un parametro sono necessarie o come descrivo insieme queste soluzioni?

Def A^n(K) spazio affine numerico con coo affini (x_1,...,x_n) R ∃ p∈K[x_1,...,x_n] Polinomio si può vedere come applicare f: A^n(K)=K e in questa corrispondenza non vi è nulla

p=f(p) compatibile se e solo se l’immagine di ogni punto in A^n coincide con l’immagine assolutamente identica

P(x_1,...,x_m)∈A^m(K) se e solo se f(x_1,...,x_n)=0

se due zero si dice luogo degli zeri di f

V(g):=∃ p∈A^n(K) | f(x_1,...,x_m)=0 si dice luogo degli zeri di f

• f ∈ F ⇒ V(α) ≠ V(β)
• f ∈ K^* ⇒ V(β) = ∅
• f ∈ I(αK) ⇒ V(α) ⊆ V(β) = V(β)

Dato un luogo degli zeri il polinomio a cui si riferisce non è univocamente determinato, almeno che li considero tutti isti.

Prop

Sia f polinomio omogeneo (f somma di monomi dello stesso grado) ⇒ f(tx₁,...,tx_m) = t^d f(x₁,...,x_m) di grado d

f = ∑ c x_i^αi, u₁ + ... + u_m=d, t,u ∈ K (polinomio omogeneo grado d)

• f(tx₁,...,tx_m) = ∑ c_α,i (tx)^uα,μ = ∑ q_i,α,μ t^u_ij x^u_i
• = ∑ c_i t^u₁ x^α4 t^u_m +... = t^d ∑ c_{i,αi x... = t^d f(x1,...,xm) α.}

f polinomio omogeneo di grado d

• P(α, x_m) ∈ gen(K)

f(x₁,...,x_m) = 0 ⇒ g(tx₁,...,tx_m) = 0 ∀t

QUNDI, P∈ V(β) ⇒ <0, P> ⊆ C N (β)

V(β) è un cono convesso nul omogenee

x₁² + y² = x² 0 w³²(K) omogenee di grado 2

m^m (K) sopra affine

V∈ K(K) puller

C ⊆ P(K) sottospazio

• C, Solee ⟹ ∀P∈ C ∃V∋V: ⟨V,P⟩ ∈ C

Cono

diretto V

• <V, P>⊆ C

oss Oh V

C = ∅ QND (V no puoi approssimare C )

C∋V⊆ sono coni

C\∃V + ∅ ⟹ t∈ C e C e unione di parti presenti

Un inseieme puo essere un cono rispetto a più vertici (a conio d x lo coni winice canorso quno). Un congrupozzo (unirele c lonoi contangi plisno quno)

• La relazione f ∘ g è una relazione di equivalenza in K_{x₁,...,xₘ}, infatti:

• f = id^A_ff(K) a-⊆ k = id

• ∀ f ∈ K[x₁,...,xₘ] f(x₁,...,xₘ) = f(f(id(x₁,...,xₘ)))

⇒ f ∘ g invale riflessiva

• ∀ g, φ ∈ K[x₁,...,xₘ] ∃ η g ∘ η = φ ⇔ φ ∘ f (K) ⊆ f A_ff(K)(K)

∀ α ∉ K^× ∃ α' ∈ K^× φ A_ff (f (K)) = ∃ φ₁² ∈ A_ff (f (K¹))

f (φ(x₁,...,xₘ)) = α ₒ g (x₁,...,xₘ)

φ = f(φ (x₁,xₘ)) = α g' (x₁,..xₘ)

ψ: A_ff(K) → A^m(K)

(x₁,...,xₘ),...,,(x₁,...,xₘ)

• ∀ β (x₁,...,xₘ) = α₀ g (φ (x₁,...,xₘ)) ⇒ ∃ η g ⊗ β

⇒ vale simetrica

• ∀ φ, β ∈ K[x₁,...,xₘ] f ∘ g e g ∘ η = φ ⟹ ∃ f ∈ φ_A(f A_ff (K)), ∀α,β ∈ K^×

f η (x₁,...,xₘ) = φ (β(φ η(x₁,...,xₘ)))

h (x₁,...,xₘ) = β (φ) x₁, ..., xₘ = φ(x₁,...,xₘ) ⇒ β (α φ(φ η (φ η (x₁,...,xₘ)))) ⇒ h (x₁,...,xₘ) = β ∘ f (φ η(x₁,...,xₘ)) = β ∘ f (φ η(ψ η(x₁,...,xₘ)))

⇒ φ (x₁,...,xₘ) = β₁ ∘ f (φ (ψ (φ (g(y(x₁,...,xₘ)))))) = β ∘ f (φ (ψ η (ψ(x₁,...,xₘ))))

con α': β ∈ K^× fφ η(F A_ff(F)(K) = β ⇒ vale transitiva

N è una classe di equivalenza

OSS:Il grado di un polinomio è invariante per equivalenza affine∀ β, g ∈ K[x₁,...,xₘ] x₁-m ∘ f ∘ g ⇒ Grado g = Grado d g

Tutti i polinomi di grado 1 K[x₁, x₂, ⋯, xₘ₎ sono equivalenti

• Supponiamo β = o_x₁ + o_x₂ • o_xₙ 同 g_i: ≠ 0 ∀ i 绑 = f(x_i)

Considerato φ suona are ôf = 0 a_i = 0 年-欠_i 绑 = 0 几

O lo spaziô -l_i KN ⊗ ⎯ ⢑ ⍣⍣年-ǎ 类

un коopunđo

d _{етровой}: i ⊔ (јейапостолем

(C B) / (B A) = (-Q C) / (A P) => (C B) / (B A) ? (1 0) / (Q P) => A'? B'? C?

(C B) / (B A) = (C+QB B+QA) / (QB QA)

(A B) / (B A) = (QA BP)

(C B) / (B A) = (C+QB B+QA) / (PB PA)

=> A = PAP

B' = (QA + BP)

C = QAQ + QB + BQ = C = QAQ + 2BQ + C

Se il quadr

e

quaretico => g(x1...xm) = xAx + 2Bx + C

g'(Xn... x1) = g(x1... xn) = xAx + 2Bx + C

im X = Px + Q (definiamo о)

=> g'(x1... xm) = (Px + Q).A(Px + Q), 2B(Px + Q) + C-

=(XP+Q).A(PX+Q)+2B(PX+Q)+C-

=x(PAPX+pAPX+QAPX+QAQ+2BPX+2BQ+C-

Sono interposte quindi verso che non traducesse cambiò modo un'unica suaure nuova

= x(txPAPX + 2(B A B)PX + QAQ + 2BQ + C

———— ——— ———

A' B' C

ok

ax un composante unuaa ne nomo)

di cere 0.000

» - Papeoо(pp(n» ... 0

P ensibile Pnist

=> PAP = 0 => Не

ax un nomoreovo

di gradio - emoiiaio

E

3) Separazione dei termini non quadratici rimanenti

Terminando il polinomio di grado 2.

Ogni quadrico di grado 4 del tipo P(x₁, ..., x_n) è equivalente al modello X_n+1 + secondo l'invariante

(P(X₁, ..., X_n) - X_n) = (P(X₁, ..., X_n))

Quindi costruito la seguente trasformazione

• (x₁, x₁², x_n) = (X_n, X_n+1)
• (b₁) = (A_nx₁)

→ Esistono α, φ ∈ k² × Affⁿ(k)

• g(x₁, x_n) = α β ((X₁, ..., X_n) mach solo?)

Governando le nuove forme canoniche

• I tipo: a₁x₁² + a₀x₂

A = |0 0| matrica

M = |0 0 0|

→ rg(M) = rg(A)

• II tipo: a₁x₂ + a₂x_n+1

A = |0 0 0|

M = |1 0 0 A|

→ rg(M) = 1 + rg(A)

• III tipo: a₁x₁² + a₀x₂x_n+1

A = |0 0| matrica

M = |0 —1/2 0|

|a₁ 0|

= |0 0 a₁₂|

→ rg(M) = rg(A) + 2

sono 6 di quelle forme canoniche

• (# 6 di fasi canoniche + 6 varianze di a_n, a_n)

tiene.

• # se f.g. real^k = (rg (A), rg (M) + 1

= → n’alcuni invariante per affine