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1a PARTE: SOLUZIONI DI EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI CON TRASFORMATE DI LAPLACE
DEF
f : R+ → R
L{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt
si dice trasformata di Laplace di f(t)
DEF
f(t) si dice esponenziale di ordine α se
∃ M, α ∈ R+ t.c.
|f(t)| < M eαt (∀t ∈ I)
(Equivocamente |f(t)| < Keαt)
CONDIZIONE SUFFICIENTE
f(t) continua a tratti
f(t) esponenziale di ordine K per t → ∞
PROPRIETÀ
- L{c1f(t)} = c1L{f(t)} = c1F(s), ∀c1 ∈ R moltiplicazione per costante
- Se F1(s) = L{f1(t)} e F2(s) = L{f2(t)}
- L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s) combinazione lineare
I TEOREM DI TRASLAZIONE 1
F(s) = L{f(t)} allora
- L{e-atf(t)} = F(s+a) ∀ α > 0 e a < s
- L{eu f(t)} = F(s-u)
(se)
L{e-atf(t)} = ∫0∞ e-st e-at f(t)dt = ∫0∞ e-(s+a)t f(t) dt = f(s+a)
Il teorema di traslazione
L{f(t-a)} = e-as F(s), se t ≥ a
= 0, se t ≤ a
ossia
G(t) = {f(t-a), t ≥ a
0, t ≤ a
L{G(t)} = L{f(t-a)} = L{G(t-a)} = ∫a∞ e-st f(t-a) dt = ∫0∞ e-sy f(y) dy
= e-sa ∫0∞ e-sy f(y) dy = e-sa F(s) ✓
Teorema di cambiamento di scala
L{f(at)} = 1/a F(s/a), M > 0
L{f(at)} = ∫0∞ e-st f(at) dt =∫0∞ e-sy f(y) dy = 1/a F(s/a)
Nota: se a < 0 i cambiamenti a seno non comparano
Teorema di differenziazione
f(t) soddisfa u.c.s
f'(t) continua a tratti ⇒ ℒ{f'(t)} = sF(s) - f(0)
L{f'(t)} = ∫0∞ e-st f'(t) dt = e-st f(t) |∞0 + s∫0∞ e-st f(t) dt = -[0 + sF(s) - SF(s), f(0)
f'(t), f''(t) soddisfano u.c.s.
f'(t) continua a tratti ⇒ ℒ{f''(t)} = sF(s) - sf(0)
CASO PARTICOLARE No = 0 xo ≠ 0
(POICHÈ) X(t), Ẋ(t) SODDISFANO C. S. X(t) CONTINUA A TRATTI
ℒ (Ẋ(t)) = ∫0∞ e-st Ẋ(t) dt = sX(S)
ℒ (Ẍ(t)) = S X(S) - Sx(0) - Ẋ(0) = S X(S)
ℒ (Ẍ(t)) = S2 X(S) - S xo
Ẍ(t) = -ω2x(t) = 0
x(t) + ω2x(t) = L(0)
L(Ẍ(t)) = L(ω2x(t)) = L(Ẍ(t)) + ω2x(t)
L(Ẍ(t)) = s2 X(S) - S xo
ω2X(S) = 0
X(S) = s2 X(S) - s xo
X(S) = -s xo
ω2 + S2
L-1(X(S)) → x(t)
[ s ] s1
(ω2 + S2) → t
Altrimenti, Ẏ(t) L-1 (X(S)) = xo L-1 s ₁
(ω2 + S2) → 2π cosωt
Dunque x(t) ≠ a₀
Ẍ(t) + ω2ẍ(t) = 0
x(0) = xo
L-1 (X(S)) = L-1 (X(S)) → x(t)
X(S) = -s xo
CASO GENERICO : STESSA EQ. CON m DBRIS DIASS
Ẍ(t) + ω2Ẍ(t) = 0
x(0) = No
ao = xo cosωt = xoω
sinωt
Equazione di propagazione delle onde su una corda
Equazione corda vibrante
U = U(x,t) f(t) termine forzante esterno x>0 t>0
U_tt = c2 U_xx + f(t) λ > 0 anche ho una corda dell'infinita
U(0,t) = 0 condizione di estremo fisso
U_x(x,t) x > s condizione asintotica
U(x,0)=0
U_t(x,0)=0
Ho bisogno di 2 d.m. minimi (3 condizioni)
Posizione e velocità iniziali banali
Osservare che per edo a derivate parziali non risolvendo l'equazione trovando la soluzione generale "utile" è definita in modo di due funzioni arbitrarie {g(x), f(x+t)}.
Ha risolvuto un problema associato all' equazione.
Note:
U'x,U"xx soddisfano c.s. Utt : max con 4 term
E' necessario fare la trasformata di Laplace se conosciuto u(x,0) e ut(x,0)
{U(x,t)}=∫ e-stU(x,t)dt = U(x,s)
{U_xx(xt)}=∂2∫ e-stU(x,t)dt/∂x2 = d2/dx2 ∫ e-stU(x,t)dt = ∂2U(x,s)/∂x2 = U''(x,s)
{f(t)} =∫ e-stf(t)dt := F(s)
La condizione asintotica si riflette su U e d.l.u.croce Ux→ x >0 o U(x,s)→0 x >0
Applichiamo la trasformata:
{Utt} = c2 {Uxx} + {f(t)}
s2U(x,s) = c2U''(x,s) + F(s)
U''(x,s) - s2/c2U(x,s) = - F(s)/c2
E.O. diff. ordinaria di II grado a coeff. costanti
Ho bisogno di due condizioni auxo:
U'(x,s)|x=0
∫(U(x,t))= U(x,s)=0 => U(0,s)=0
U(x,s)= 1/√k U₂(x,s)=>γ₁=0 γ₂= N /√2 xcon il periodicité y₂ ha segno-= > Gen a1e−N /√2 x + a2eN /√2 x= il valore sta in y (x,s)
ma U₀=0 => 0 = a2 = 0 => 0 = Ugen
METODO DEI WRONSKIANO
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