Appunti di Geometria

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Appunti di Geometria

Applicazioni lineari

Esame Geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Battaglia

Università Università degli Studi di Firenze

Appunti esame

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Appunti di Geometria analitica. Esplorano i concetti fondamentali delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Il testo introduce le definizioni e le proprietà matematiche di base, concentrandosi in particolare modo sull'analisi del Nucleo (Ker) e dell'Immagine (Im), i quali vengono dimostrati essere dei veri e propri sottospazi vettoriali. Attraverso vari esempi pratici e dimostrazioni, il documento analizza inoltre le condizioni necessarie per definire un'applicazione come iniettiva o suriettiva, culminando con la spiegazione del Teorema della dimensione, un principio cardine che stabilisce una relazione algebrica cruciale tra le dimensioni dello spazio vettoriale di partenza, del nucleo e dell'immagine.

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Geometria analitica

Esame Geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Battaglia

Università Università degli Studi di Firenze

Appunti esame

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Il documento di Geometria analitica approfondisce lo studio dei sottospazi vettoriali, concentrandosi in particolare sulle operazioni algebriche che si possono definire tra di essi e sul calcolo delle relative dimensioni. Dopo aver determinato la dimensione dell'iperpiano ortogonale in K^n e analizzato sottospazi definiti tramite condizioni analitiche (come vincoli su polinomi e derivate), il testo esamina il comportamento dell'intersezione e dell'unione tra sottospazi, mostrando come l'intersezione sia sempre un sottospazio vettoriale, a differenza dell'unione. Viene quindi introdotto il concetto di spazio somma U + W e formalizzata la fondamentale Formula di Grassmann, che mette in relazione le dimensioni dei singoli sottospazi, della loro somma e della loro intersezione. Infine, la trattazione definisce la nozione di somma diretta, caratterizzata dall'intersezione banale ridotta al solo vettore nullo e dall'unicità della decomposizione dei vettori, concludendo con un esercizio applicativo completo nello spazio dei polinomi di grado minore o uguale a tre.

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Geometria analitica

Esame Geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Battaglia

Università Università degli Studi di Firenze

Appunti esame

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Il documento di Geometria analitica tratta i concetti fondamentali dell'algebra lineare relativi alla struttura degli spazi vettoriali. Il testo approfondisce inizialmente la nozione di spazio finitamente generato e di dimensione infinita, introducendo le definizioni cardine di base e di dimensione di uno spazio, legate alle proprietà di lineare indipendenza, insiemi di generatori e all'unicità della rappresentazione dei vettori tramite coordinate. Vengono quindi analizzati diversi esempi notevoli (come $\mathbb{R}^n$, i numeri complessi visti su campo reale e gli spazi di polinomi di grado limitato). Infine, la trattazione si sposta sui sottospazi vettoriali, presentandone la definizione formale tramite le proprietà di chiusura rispetto alla somma e al prodotto per scalare, le relazioni dimensionali e le relative interpretazioni geometriche in $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$, come nel caso di rette e piani passanti per l'origine.

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Matrici

Esame Geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Battaglia

Università Università degli Studi di Firenze

Appunti esame

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Appunti di Geometria analitica che introducono le definizioni fondamentali e la struttura delle matrici, illustrando operazioni come l'addizione, la moltiplicazione per uno scalare e il prodotto righe per colonne, chiarendo esplicitamente che quest'ultimo non è commutativo. Vengono classificate diverse tipologie di matrici, tra cui quelle quadrate, triangolari superiori e inferiori, diagonali, simmetriche e antisimmetriche. Infine, il testo illustra concetti chiave come la matrice identità, l'applicazione trasposta e la traccia di una matrice, definita come la somma degli elementi che si trovano sulla sua diagonale.

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Argomenti di Geomatica

Esame Geomatica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. S. Artese

Università Università della Calabria

Appunti esame

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Vengono trattati in modo dettagliato e con un linguaggio semplice tutti gli argomenti trattati nel corso di Geomatica presente nel piano di studi del secondo anno della laurea triennale in Ingegneria civile.

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Strutture discrete/Matematica discreta

Esame Matematica discreta

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. V. Cutello

Università Università degli Studi di Catania

Appunti esame

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Il documento di Matematica discreta contiene tutto il programma dall'introduzione della logica proposizionale ai grafi e alberi , con spiegazioni semplici, trucchi per il calcolo ,esercizi ed esempi Parte I: Insiemi e Relazioni: Introduzione alla Logica Proposizionale e agli operatori di base. Il concetto di insieme e le proprietà di base. Insiemi ed operazioni tra di essi. Dimostrazione diretta. Esercizi su Insiemi Famiglie di insiemi. Insieme prodotto. Paradossi. Relazioni binarie e funzioni. Relazioni di Equivalenza. Relazioni d’ordine, Rappresentazione di insiemi finiti Esercizi e Problemi su Relazioni e Famiglie di Insiemi. Il Problema del Hitting Set Caso Studio: Famiglie di insiemi chiuse e la congettura Union-Closed Parte II: Fondamenti di Teoria dei Numeri e metodologie di dimostrazione : Numeri Interi Introduzione e operazioni sui numeri interi. Principio di Induzione. Divisione tra interi. Divisibilità MCD ed Algoritmo di Euclide. Numeri Primi e Coprimi. Criteri di divisibilità. Problemi ed Esercizi Aritmetica Modulare Congruenze. Proprietà delle congruenze. Invarianza rispetto a somma e prodotto: conseguenze ed esercizi Funzione φ di Eulero Definizione e formula generale. Il Teorema di Eulero. Esempi ed esercizi Applicazioni dell’Aritmetica modulare La prova del 9. Codici ISBN e Carte di Credito. Cifrari monoalfabetici a trasposizione Teoria dei numeri e problemi aperti Numeri primi di Mersenne e numeri perfetti. Numeri primi gemelli. La congettura di Goldbach Caso studio: il problema 3x + 1 (Congettura di Collatz) Parte III: calcolo combinatorio e probabilità discrete: Calcolo combinatorio Introduzione. Disposizioni e combinazioni. Permutazioni e Combinazioni. Teorema Binomiale. Il triangolo di Pascal. Combinazioni con ripetizione. Esercizi. Principio dei cassetti (Pigeonhole principle) Probabilità Discrete Introduzione. Formalizzazione Matematica. Assiomi e Proprietà. La regola di Bayes. Problemi d’urna. Esercizi. Variabili casuali. Problemi ed esercizi Caso Studio: Il paradosso di Monty Hall, giochi e paradossi probabilistici. Parte IV: Grafi e Alberi: Introduzione alla Teoria dei Grafi Introduzione: strette di mano e passeggiate su ponti. Definizioni di base. Gradi di un nodo. Classi particolari di grafi: Grafi regolari, Grafi completi, Grafi Bipartiti. Sottografi, Isomorfismi e Omeomorfismi: Definizione di sottografo, Isomorfismi, Omeomorfismi. Percorsi, cammini e cicli. Grafi connessi. Rappresentazione di un grafo. Numero di percorsi tra nodi. Grafi Euleriani ed Hamiltoniani. Grafi pesati. Il problema del commesso viaggiatore. Grafi planari. Colorazione di un grafo. Alberi: definizioni fondamentali e classi particolari di alberi. Casi studio: problemi combinatori su grafi.

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Geometria e combinatoria - Appunti completi (sistemi lineari, matrici, spazi vettoriali)

Esame Geometria e combinatoria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Merola

Università Università degli Studi Roma Tre

Appunti esame

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Appunti manoscritti digitali del corso di Geometria e combinatoria/Algebra Lineare, con date di lezione riportate per facilitare il riscontro con il programma del docente. Il documento tratta sistemi lineari (classificazione delle soluzioni, casi con parametri), matrici (definizione, somma, prodotto per scalare, prodotto tra matrici) e i concetti fondamentali dell'algebra lineare necessari per l'esame. Esposizione chiara con esempi numerici svolti passo passo. Formato PDF leggibile su qualsiasi dispositivo.

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Geometria - Teoria

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. S. Gatti

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Appunti esame

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Concetti di teoria del corso di Geometria oggetto di prova d'esame. Comprende argomenti di dipendenza/indipendenza lineare, sistemi di equazioni lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari autovalori, autovettori, autospazi, geometria euclidea, teoria delle coniche. Alla fine di ogni argomento sono presenti le possibili domande d'esame.

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Geometria - Esercizi d'esame svolti e spiegati

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. S. Gatti

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Appunti esame

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Esercizi svolti e spiegati passo passo di prove d'esame di Geometria passate. Comprende esercizi di dipendenza/indipendenza lineare, sistemi di equazioni lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari autovalori, autovettori, autospazi, geometria euclidea, teoria delle coniche.

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Appunti Geometria II

Esame Geometria 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. A. Bruno

Università Università degli Studi Roma Tre

Appunti esame

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In questo file sono presenti tutti gli esercizi utili per l'esame di Geometria II del professor Bruno. L'esame si suddivide in 3 esercizi, qui spiego sia la teoria dietro che poi con esempi simili agli esercizi d'esame.

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Geometria

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. V. Iacovone

Università Università telematica "e-Campus" di Novedrate (CO)

Panieri

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Paniere contenente il Set Domande con risposte alle domande chiuse di Geometria. Ingegneria industriale (D.M. 270/04) Docente: Iacovone Vincenzo Generato il 27/01/2023 18:13:25 N° Domande Chiuse 330

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Geometria - Parte 1

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. A. Belfiore

Università Università degli Studi di Salerno

Schemi e mappe concettuali

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Schemi sulla prima parte del corso di Geometria riguardanti: — strutture algebriche — matrici (operazioni, tipi, prodotto di matrici) — sistemi lineari — vari teoremi delle matrici e dei sistemi lineari.

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Geometria - Parte due

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. A. Belfiore

Università Università degli Studi di Salerno

Schemi e mappe concettuali

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Schemi riguardante la seconda parte di Geometria: — spazi vettoriali (sottospazi vettoriali, base di uno spazio vettoriale, lemma di Steinitz, teorema della base) — spazi euclidei ( prodotto scalare e spazio euclideo reale)

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Geometria - Parte tre

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. A. Belfiore

Università Università degli Studi di Salerno

Schemi e mappe concettuali

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Schemi di Geometria, parte tre riguardanti: — omomorfismo (nucleo e immagine, teorema della dimensione, proprietà, rappresentazione matriciale, controimmagine) — autovalori e autovettori ( proposizioni e molteplicità)

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Geometria e algebra lineare

Esame Geometria e algebra lineare

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. M. Mauri

Università Politecnico di Milano

Prove svolte

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Appunti di Geometria e algebra lineare. Sistemi lineari e spazi vettoriali: Studio del nucleo (Ker) e dell'immagine (Im) di applicazioni lineari, calcolo di basi e dimensioni, e risoluzione di sistemi lineari dipendenti da parametri attraverso il Teorema di Rouché-Capelli. Geometria analitica nello spazio: relazioni tra rette e piani (parallelismo, incidenza, ortogonalità), calcolo di distanze e determinazione di equazioni cartesiane e parametriche. Teoria degli operatori: diagonalizzazione di matrici e endomorfismi. Si analizzano autovalori, autospazi e la diagonalizzabilità ortogonale per matrici simmetriche. Spazi euclidei: proprietà del prodotto scalare, norme di vettori e proiezioni ortogonali.

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Geometria e algebra lineare

Esame Geometria e algebra lineare

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. A. Bellini

Università Politecnico di Milano

Prove svolte

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Appunti di Geometria e algebra lineare. Sistemi lineari e spazi vettoriali: studio del nucleo (Ker) e dell'immagine (Im) di applicazioni lineari, calcolo di basi e dimensioni, e risoluzione di sistemi lineari dipendenti da parametri attraverso il Teorema di Rouché-Capelli. Geometria analitica nello spazio: relazioni tra rette e piani (parallelismo, incidenza, ortogonalità), calcolo di distanze e determinazione di equazioni cartesiane e parametriche. Teoria degli operatori: diagonalizzazione di matrici e endomorfismi. Si analizzano autovalori, autospazi e la diagonalizzabilità ortogonale per matrici simmetriche. Spazi euclidei: proprietà del prodotto scalare, norme di vettori e proiezioni ortogonali.

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Appunti Geometria

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Battaglia

Università Università degli Studi di Firenze

Appunti esame

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PDF di 125 pagine di Geometria, realizzato riscrivendo in modo chiaro e ordinato tutte le lezioni del corso e integrandole con il libro e con le videolezioni della professoressa Battaglia. Il materiale copre l’intero programma, spiegato in modo semplice ma rigoroso, così da rendere più immediata la comprensione della teoria e dei metodi utilizzati negli esercizi. Ogni argomento è presentato con passaggi logici ben strutturati, esempi chiarificatori e collegamenti utili per affrontare senza difficoltà sia lo studio teorico sia la risoluzione dei problemi. È un file completo, affidabile e perfetto per chi vuole prepararsi con un supporto chiaro, approfondito e davvero utile per superare l’esame.

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Geometria e algebra - Appunti completi

Esame Geometria e algebra

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. M. Mulazzani

Università Università degli Studi di Bologna

Appunti esame

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Appunti completi di Geometria e algebra presi seguendo le lezioni del professor Michele Mulazzani al fine di aiutare tutti gli studenti nel capire e dunque risolvere tutte le tipologie di esercizi che si possono riscontrare durante la sessione d'esame scritto.

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Vettori

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. G. Codogni

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

Appunti esame

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Appunti di Geometria sui vettori di Codogni; ripasso studio per esame di università Roma Tor vergata. Appunti per sostenere l'esame di sessione; argomento unico sui vettori con definizioni integrato con libro.

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Geometria - Esercizi guidati

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Marino

Università Università degli studi di Genova

Schemi e mappe concettuali

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Questo PDF è stato pensato come una raccolta di esercizi svolti passo passo di Geometria, adatta in particolare a uno studente di Ingegneria che ha bisogno non solo della teoria, ma anche di un metodo pratico per affrontare i problemi più tipici del corso. L’idea centrale del documento è quella di mostrare che in geometria non basta conoscere le formule: è fondamentale capire come impostare il ragionamento, scegliere il procedimento corretto e verificare se il risultato ottenuto ha davvero senso dal punto di vista geometrico. Per questo motivo il PDF è strutturato in modo progressivo. Nella prima parte viene introdotto un piccolo metodo generale per affrontare un esercizio: partire dai dati, riconoscere l’oggetto geometrico coinvolto, scegliere la formula o la rappresentazione corretta e concludere con una verifica finale. Successivamente vengono proposti esercizi risolti completamente, con tutti i passaggi esplicitati. I problemi scelti riguardano temi fondamentali per Geometria e Geometria Analitica in ambito ingegneristico: vettori, rette, distanza punto-retta, piani nello spazio, intersezioni, circonferenze e tangenti, oltre a matrici e trasformazioni lineari. Ogni esercizio è accompagnato da una breve interpretazione finale, perché in un corso di Ingegneria è importante collegare il calcolo al significato geometrico. Ad esempio, non ci si limita a trovare una retta, ma si spiega che quella retta può rappresentare una traiettoria o un vincolo; non ci si limita a calcolare un determinante, ma si chiarisce che esso misura il fattore con cui una trasformazione modifica le aree. In questo senso, il PDF doveva trattare la geometria come una materia applicata, utile per sviluppare precisione nei conti, chiarezza nel metodo e capacità di leggere nello spazio il significato dei risultati ottenuti.

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