Geometria I

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Geometria affine elementare.Struttura di spazio vettoriale nel piano e nello spazio ordinario.Spazi vettoriali su un campo K, con particolare riguardo alla dimensione 2 e 3 e al campo R dei …

Esame Geometria I

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Vincenti Rita

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2013-2014

60 pagine

Appunto

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Estratto del documento

(A, ⊕)

è un gruppo rispetto a ⊕ se ∀a, b, c ∈ A
∀a, b ∈ A a ⊕ b ∈ A (⊕ è interna ad A)
∀a, b, c ∈ A (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) (Prop. Associativa)
∃0 ∈ A a ⊕ 0 = a = 0 ⊕ a (Esistenza elem. neutro)
∀a ∈ A ∃ⱼ ∈ A a ⊕ a̅ = 0 = a̅ ⊕ a (Esistenza inverso)

(A, ⊕)

è un gruppo commutativo o abeliano rispetto a ⊕ se
A e un gruppo
∀a, b ∈ A a ⊕ b = b ⊕ a (Prop. Commutativa)

A e un anello (A, ⊕, ⊗) se ∀a, b, c ∈ A

A e un gruppo rispetto a ⊕
(a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c) (Prop. Associativa)
a ⊗ (b ⊕ c) = a ⊗ b ⊕ a ⊗ c (Prop. Distributiva)
(b + c) ⊗ a = b ⊗ a + c ⊗ a

A e un anello commutativo (A, ⊕, ⊗) se ∀a, b ∈ A

a ⊗ b = b ⊗ a (Prop. Commutativa)

A e un anello con unità (A, ⊕, ⊗) se ∀a ∈ A

∃1 ∈ A a ⊗ 1 = 1 ⊗ a = a (El. neutro)

A e un campo (A, ⊕, ⊗) se e un anello e se

(A, ⊕) e un gruppo commutativo
(A* , ⊗) e un gruppo commutativo
a ⊗ (b + c) = a ⊗ b + a ⊗ c (Prop. Distributiva)
con A* = A \ {0} se uno e "1" unità se esiste

A e un dominio (o intero) (A, ⊕, ⊗) se

A e un anello commutativo con unità
A e privo di divisore dello 0 (∄dea t.c. ∀b ∈ A, b ≠ 0, ∃deo dob = 0 ∨ b ⊗ 1 = 0)

P.S. dominio → campo

(A,⊕) è un gruppo rispetto a ⊕ se ∀a,b,c∈A

∀a,b∈A a⊕b∈A (⊕ è interna ad A)
∀a,b,c∈A (a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c) (prop. associativa)
∃θ∈A θ⊕a=a⊕θ=a (esistenza elem. neutro)
∀a∈A ∃a̅∈A a⊕a̅=a̅⊕a= (esistenza inverso)

(A,⊕) è un gruppo commutativo o abeliano rispetto a ⊕ se

A è un gruppo
∀a,b∈A a⊕b=b⊕a (prop. commutativa)

A è un anello (A,⊕,⊙) se ∀a,b,c∈A

A è un gruppo rispetto a ⊕
(a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c) (prop. associativa)
a⊙(b⊕c)=a⊙b⊕a⊙c \ (prop. distributiva Dx e Sx)
(b⊕c)⊙a=b⊙a⊕c⊙a

A è un anello commutativo (A,⊕,⊙) se ∀a,b∈A

a⊙b=b⊙a (prop. commutativa)

A è un anello con unità (A,⊕,⊙) se ∀a∈A

∃1∈A a⊙1=1⊙a=a (el. neutro)

A è un campo (A,⊕,⊙) se è un ordine e se

(A,⊕) è un gruppo commutativo
(A\{0},⊙) è un gruppo commutativo con A*={ Δ-{θ} con
a⊙(b⊕c)=a⊙b⊕a⊙c (prop. distributiva)
0=zero se usio e "1" unità se area

A è un dominio (di integrità) (A,⊕,⊙) se

A è un anello commutativo con unità
A è privo di divisori dello 0 (7 dea t.c. ťa,b∈A, b⊙a=θ dea
do⊙b=0 v b⊙a=0)

P.S.: Dominio => Campo

Dato H ⊆ G con H ≠ ∅ e (G,+) gruppo

H_g è un sottogruppo di (G,+) se

∀a,b∈H a⊕b∈H (⊕ e − interno)
H è un gruppo (H,⊕)

Dato H ⊆ K con H ≠ ∅ e (K,+,∘) campo

H_K è un sottocampo di (K,+,∘) se

∀a,b∈H a⊕b∈H ∧ a∘b∈H (⊕ e ∘ sono interni)
H è un campo (H,+,∘)

Dato H ⊆ A con H ≠ ∅ e (A,+,∘) anello

H_AR è un sottanello di (A,+,∘) se

H è un anello (H,+,∘)
∀a,b∈H a⊕b∈H ∧ a∘b∈H (⊕ e ∘ sono interni)

A è un dominio euclideo se esiste una funzione, detta norma

α:A* → ℕ con le seguenti proprietà

α(ab) ≥ α(a) ∀ a,b∈A con a≠0 ∧ b≠0
∀a,b∈A con b≠0 ∃ q,r∈A t.c. a=q∘b+r e r=0
α(r) < α(b)

Esempio (ℤ,+,∘) α=|.|

|ab| ≥ |a| ∀a,b∈ℤ
a=q∘b+r e r=0 ∨ 0≤|r|<|b| norma

(V,+,∘) è uno spazio vettoriale sopra (K,+,∘) campo se (V,+) è gruppo commutativo

È data un'operazione esterna ∘:K×V→V

(k,n)↦k∘n tale che

(k+k')∘n=k∘n⊕k'∘n falso dev.
k∘(n⊕n')=k∘n⊕k∘n' falso dev. ∀k∈K ∀n,n'∈V
kk'∘n=k∘[k'∘n]→no→falso pos.−
1_K ∘n=n

Proprietà di un gruppo

a, b, c ∈ G

(aⁿ)^-1 = a^-n
(a∘b)^-1 = b^-1∘a^-1
a∘b = a∘c ⟹ b = c (legge di cancellazione)
a∘x = b e y∘a = b hanno una sola soluzione in G

∀ x, y ∈ G t.c. x∘a = b ∧ y∘a = b₀^-1 (assioma di quozienti)

Condizioni necessarie o s

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