Geometria I

(A, ∘) è un gruppo rispetto a ∘ se ∀ a, b, c ∈ A

• ∀ a, b ∈ A a ∘ b ∈ A (∘ interna ad A)
• ∀ a, b, c ∈ A a ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c (prop. associativa)
• ∃ 0 ∈ A a ∘ 0 = a = 0 ∘ a (esistenza elem. neutro)
• ∀ a ∈ A ∃ ¬a ∈ A a ∘ (¬a) = 0 = (¬a) ∘ a (esistenza inverso)

(A, ∘) è un gruppo commutativo o abeliano rispetto a ∘ se

• ∀ a, b ∈ A a ∘ b = b ∘ a (prop. commutativa)

A è un anello (A, ⊕, ∘) se ∀ a, b, c ∈ A

• A, ⊕ è un gruppo rispetto a ∘
• • (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) (prop. associativa)
  • a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c ∧ (b ⊕ c) ⊕ a = b ⊕ (c ⊕ a) (prop. associativa)

A è un anello commutativo (A, ⊕, ∘) se ∀ a, b ∈ A

• a ∘ b = b ∘ a (prop. commutativa)

A è un anello con unità (A, ⊕, ∘) se ∀ a ∈ A

• ∃ 1 ∈ A a ∘ 1 = 1 ∘ a = a (el. neutro)

A è un campo (A, ⊕, ∘) se è un dominio se

• (A, ⊕) è un gruppo commutativo
• (A*, ∘) è un gruppo commutativo con A* = A\0
• a ∘ (b ⊕ c) = a ∘ b ⊕ a ∘ c (prop. distributiva)
• con 0 = zero se uso e "1" unità se uso

A è un dominio (al inversita) (A, ⊕, ∘) se

• A è un anello commutativo con unità
• A è privo di divisori dello 0 ∀ d ∈ A t.c ∀ b ∈ A, b ⊕ 0 ⊕ ° ∀ deco 0 d ⊕ 0 = 0 ∨ b ⊕ 0 = 0

P.S. Dominio → campo

Dato H ⊆ G con H ≠ ∅ e (G, +) gruppo

(Ho):

un sottogruppo di (G, +) se

• ∀ a, b è H   a+b è H   (+ è interna)
• H e chiuso

Dato H ⊆ K con H ≠ ∅ e (K, +, ⋅) campo

(Ho):

un sottocampo di (K, +, ⋅) se

• ∀ a, b è H   a+b è H   e   a ⋅ b è H   (+ e ⋅ sono interne)
• H e un campo   (H, +, ⋅)

Dato H ⊆ A con H ≠ ∅ e (A, +, ⋅) anello

(Ho):

un sottoanello di (A, +, ⋅) se

• H è anello   (H, +, ⋅)
• ∀ a, b è H   a+b è H   e   a ⋅ b è H   (+ e ⋅ sono interni)

A e un dominio euclideo se ammette una funzione, detta norma

α: A^* → ℕ con le seguenti proprietà

• α(ab) ≥ α(a)   ∀a, b è A con a ≠ 0 e b ≠ 0
• ∀a, b è A con b ≠ 0 ∃q, r è A t.c.   a = qb + r  e  r = 0
• V   α(r) < α(b)

Esempio   (ℤ, +, ⋅)   α = | · |

• |ab| ≥ |a|   vera ∀a, b è ℤ
• a = qb + r   e   |r| < |b|   vera

(V, ⊕) e uno spazio vettoriale sopra (K, +, ⋅) campo se     (V, +) è gruppo commutativo

è data un’operazione esterna ⋅: K × V → V   (k, x) → k⋅x tale che:

• (k+k')x = k⋅x + k'⋅x   falso se DUE
• k ⋅ (x+y) = k ⋅ x + k ⋅ y   falso se DE
• k ⋅ (k' ⋅ x) = (k ⋅ k') ⋅ x
• 1 ⋅ x = x   falso se D
• ∃ 0 è V   k ⋅ 0 = 0   ∀ x, y, x ⊆ V

Un'applicazione f : G → G'

Con (G, •) e (G', •) gruppi

e un omomorfismo se

f(g₁ • g₂) = f(g₁) • f(g₂)   ∀ g₁, g₂ ∈ G

• Se f è suriettiva ⟹ f si definisce epimorfismo
• Se f è iniettiva ⟹ f si definisce monomorfismo
• Se f è biiettiva ⟹ f si definisce isomorfismo
• Se G = G' ⟹ f si definisce endomorfismo
• Se G = G' e f è biiettiva ⟹ f si definisce automorfismo

Proprietà

Dati (G, •) e (G_u, •)_u, gruppi. Ker f è un sottogruppo di G

• 1. ⁡f(u) = u’
• 2. ⁡f(a’) = f(a)
• 3. f(G) < G

Dim 1

f(g • u) = f(g) • f(u) ⟹ f(g) • f(u) ⟹ f(g) • f(u) ⟹ f(u) = u’ OK

Dim 2

f(a • a’) = f(a) • f(a’) ⟹ f(u) = f(a) • f(a^-1) = f(a^-1 ) = f^-1(a) α

Dim 3

Ker f = {a ∈ G | f(a) = u’}

f(a • b’) = f(a) • f(b^-1) = f(a) • f(b^-1) = f(a) • f(b) = u’ • u’ = u’ ⟹ ab’ ∈ F α

Dim 4 f(a) = a’, f(b) = b’

a • b’ • b

• (a₁₁ a₁₂ a₁₃)
• (0 a₂₂ a₂₃)
• (0 0 a₃₃)

triangolare inf ->

• (a₁₁ 0 0)
• (a₂₁ a₂₂ 0)
• (a₂₃ a₃₂ a₃₃)

MATRICE DIAGONALE

• D= (a₁₁ 0 0)
• (0 a₂₂ 0)
• (0 0 a₃₃)

d_m= m

MATRICE SCALARE

• (k 0 0)
• (0 k 0)
• (0 0 k)

= Ik, k ∈ R

MATRICE IDENTICA (O IDENTITÀ)

I = (1 0 0)

• (0 1 0)
• (0 0 1)

SISTEMA LINEARE OMOGENEO

n variabili di > 2^o grado termine noto nullo

• {(a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ...+ a_1mx_m = 0
• a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ...+ a_2mx_m = 0
• a_m1x₁ + ...+ a_mmx_m = 0

• [(a₁₁ a₁₂ ... a_1m) (x₁)]
• [(a₂₁ a₂₂ ... a_2m) (x₂)]
• [... ... (x_m)]
• [(a_m1 a_m2 ... a_mm) (x_m)]

= (0 0 ... 0)

S= { (x₁, x₂, ..., x_n)} -> nullo

sono le soluzioni contenendo solo termini nulli

S = S₁ ∩ S₂ ∩ ... ∩ S_m ≠ φ

perché c'è sempre se il sistema è omogeneo!

S = (0,0,...,0)

La dipendenza lineare si conserva per sovra insiemi

S ⊂ S'

S={v₁,...,v_n} dipendenti → S'={v₁,...,v_n} dipendenti

α₁v₁+...+α_nv_n = 0_v con (a₁,...,a_n) ≠ 0_v

α₁v₁+...+α_nv_n+0v' = 0_v con (a₁,...,a_n,0) ≠ 0_v

non è nulla per ipotesi OK

Definizione

L'insieme ordinato di vettori {v₁,...,v_n} è una base di V (sovra K) se sono indipendenti e un sistema di generatori per V.

α₁v₁+...+α_nv_n = 0

con (a₁,...,a_n)=0_V

∀ v ∈ V

v = β₁v₁ + ... + β_nv_n unica per "indipendenza"

(v_i è costituito (tutte le possibili combinazioni) unione di vettori v₁,...,v_n)

Teorema

Sia G={v₁,...,v_n} un insieme di generatori per V

→ ∃ S ⊂ G t.c S è costituito da vettori indipendenti e quindi una base

Dim

Sottraggo che v₁≠0_v e considero <v₁> (0_v ∈ <v₁>) che è indipendente WAM → α₁v₁ = 0_v con (a₁=0)

se <v₁> = V → S={v₁} è una base di V

se <v₁> ⊂ V ∃ n₂ ∈ V &land; <v₁,v₂> (0_v∈ <v₁> → n₂+0_v)

t.c. <v₁,v₂> ⊇ <v₁> con v₁ e v₂ indipendenti perché n₂ ∉ <v₁>

se <v₁,v₂> = V → S={v₁,v₂} è una base di V

se <v₁,v₂> ⊂ V tengo il ragionamento fino a che <v₁,v₂,...,v_m> = V e S={v₁,v₂,...,v_m} è una base di V OK