Analisi di Fourier

Revisionato il 25/06/2026

di el_ces_94

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Serie di Fourier: convergenza puntuale, uniforme in L^p; Trasformata finita di Fourier e sue proprietà. Fattori di convergenza e generazione di identità approssimate; Trasformata …

Esame Analisi di Fourier

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Bardaro Carlo

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2016-2017

124 pagine

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Estratto del documento

Teoremi utili di analisi

Teorema di Tonelli

A, B σ finita di misura finita f : A x B → ℝ misurabile

∫_A f(x,y) dμ₁(x) ∫_B f(x,y) dμ₂(y)

⇒ f ∈ L¹(μ₁ x μ₂)

Teorema di Fubini

A, B σ di misura finita f ∈ L¹(μ₁ x μ₂)

∃ ᶿ = {x,y} ∈ L¹(B) a.s. x ∈ A with ∫_A β(x,y) dμ₂ ∈ L¹(a)

∃ ᶿ = {x,y} ∈ L¹(A) a.s. y ∈ B with ∫_B α(x,y) dμ₁ ∈ L¹(B)

∫_A dμ₁ ∫_B β(x,y) dμ₂ = ∫_B dμ₂ ∫_A α(x,y) dμ₁ = ∫_{A x B} f(x,y) dμ₁ x dμ₂

Teorema di Egorov - Levi

{f_nm} misurabili e positive

lim ∑ f_nm convergente ⇒ ∀ x lim ∑ f_nm = ∑_m ∫ f_nm

Teorema di convergenza dominata di Lebesgue

{f_nm} ⊂ Lᵖ(X) 1 ≤ p f_nm → f a.e. μ X

∃ g ∈ Lᵖ(X), ∀m f_nm ≤ g ∈ Lᵖ(X), ∀m

⇒ f ∈ Lᵖ(X) lim_m ∫ f_nm = ∫ f

Proof: f_nm → f w Lᵖ ⇒ ∃ {n_k} ⊂ (f_nₖ m f_nₖ) → f a.e. 1 Se p = ∞, f_nm → f w L∞ ⇒ f_nm → f a.e.

Teorema di Fubini

A, B σ-algebra, A⊗B

∫_Ag(x, y) dμ < ∞ a.s. y ∈ B
∫_Bg_A(x, y)y dν < ∞

Teorema di Fubini

A, B σ-algebra con misure σ-finite, a.s. χ = {g(x,y) ∈ L¹(μ)}, a.s. f(x,y) ψ ∈ L_χ(X)

Teorema di Egorov-Lebesgue

(f_n misurabili e positive)

Teorema di convergenza dominata di Lebesgue

(f_n ∈ L^ρ(X) ρ > 0)

Φ-convergenza f_n -> f in L^ρ(X) Φ = Ψ se lim_n ∫_Xf_n -> ∫_Xf

Prop: f_n -> f w L^ρ u < ρ < ∞ u = ρ = 1 se lim_n ∫_XΨ_{k_c}f_n -> f se f_n ->_Xf w L^∞ -> f_m Llim_n < 0

Teorema

(f_n,m) A → &Ropf;^lim_x&xrarr;x₀ f_n(x) = &Sopf;_m n&xrarr;+∞ &Sopf;_m f_n(x) = &Sopf;(x) &xrArr; &Sopf;_m = L e &sup>lim_n&xrarr;+∞ F_m(x) cos^lim_m&xrarr;+∞^lim_x&xrarr;x₀ f_n(x)

Teorema

(f_n,m: [a,b] → &Ropf; continue) ∑ f_m(x) converge punt. ad almeno un piano &aleph; &xrArr; f_n(x) &xrArr; &aleph;G(x) &xrArr; ∑ cos f_m(x) F(x) cosF' = GD ∑ f_n(x) = ∑ Df_n(x)

Teorema

(f_n,m: (a,b) → &Ropf; misure) ∑ f_m(x) = &Sopf;(x) &xrArr; ∫_^a^{^b} ∑_n=0&sup>+∞ f_m(x)dx = ∑_n=0&sup>+∞ ∫_^a^{^b} f_m(x)dx

Teorema di derivazione sotto il segno di integrale

H: T χ Ω → &Ropf; (fpp ² limitato f"(H,t,x) comune ∀(t,x) ∈ T χ Ω &xrArr; &exists; &sup> ∂ _{∫_z} ∫_z f(t,x)dx = ∫_z ∂/∂t (f,nd)dx

Definizione

α ⊆ &Rquad; ∀ x ∈ I → &Copf; f(x) :: = u(x) + iv(x)

Misurabile (= u(x)e v(x) misurabili) |f(x)| = √(u²(x) + v²(x))

L¹(I) :: = {ƒ: I → &Copf; misurabili: ∫_I |f(x)| dx < ∞}

Spazio delle funzioni k-integrabili (classi di equivalenza) (L¹(I), ||.||₁) è spazio vet. normato dove ||f||₁ :: = ∫_I |f(x)| dx

Proprietà

N1 ||f||₁ + g||₁ = ||g||₁ + ||f||₁
N2 ||f+g||₁ = ||g||₁ + ||f||₁
N3 ||λf||₁ = |λ| ||f||₁, λ ∈ &Copf;

OSSL¹(I),..., L^p(I) sono spazi di Banach ovvero completi L^p(I) e' uno spazio normato ovvero anche metrico dove d(p, q) :: = ||f-g||₁

(anno passato) f ∈ L¹(I) ⇒ u, v ∈ L¹(I) ∫_I |f(x)| ≤ ∫_I |u(x)| + ∫_I |v(x)| < ∞ [u(x)]² + [v(x)]² = |f(x)|² ⇒ ∫_I |u(x)| ≤ ∫_I |f(x)| < ∞ Lo stesso per v(x)

Conclusione

DEF f_m → f v

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