Analisi di Fourier

Teoremi utili di analisi

Teorema di Fubini

A,B σ.fin misura su fin.

f: A x B → R misurabile

• a) ∫_A f(x,y) dµ_A < ∞ a.s.y ∈ B
• b) ∫_B f(x,y) dµ_B < ∞ a.s.x ∈ A

Teorema di Fubini

A,B σ.fin misura comp.

• ∫ |f| dµ_Adµ_B < ∞
• a: y₁={(x,y) ∈ L¹(B)} a.s.x∈A
• b: x₁={(x,y) ∈ L¹(A)} a.s.y∈B

Si vale:

• ∫_A ∫_B f(x,y) dµ_ydµ_x = ∫_B ∫_A f(x,y) dµ_xdµ_y

Teorema di Beppo - Levi

(f_n) misurabili e positive

• f_n ↑ f uniformemente

⇒ ∫ f_n ↑ ∫ f

Teorema di convergenza dominata di Lebesgue

• (f_nm) ⊂ L^p(X) 1 ≤ p < ∞
• f_m → f a.s. ∞ X
• ∃g ∈ L^p(X) f_nm ≤ g ∃g a.s. ∞ X

1. p = 1
2. p < ∞

lim_m ∫_x f_m - f = 0

Pro

• f_nm → f w L^p ⇒ ∃(ε_n^k)c (f_nm - f_m) ⇒ ffε
• 1 ≤ k ≤ p < ∞

1. p = ∞

f_m → f w L^∞ ⇒ f_m → f a.s.

Teorema

(f_n,m) A → ℝ

lim_x→x0 ^∞∑_m=0 f_n(x) = ∑_m c_m = L e lim_x→x0 f_n(x) = 0

lim_x→x0 ∑_m=0 f_n(x) = ∑_m=0 lim_x→x0 f_m(x)

Teorema

(f_n,m: [a,b] → ℝ )

converg

1. ∑ _m f_m (x) → ∃ F(x) c_m F′ = G
2. ∑ f′_n(x) = ∑_m Df_m(x)

Teorema

(f_n,m: (a,b) → ℝ sono mode

1. ∑_m f_m(x) → ∃F(x)

lim_n→∞ ∫_a^b f_n dx = ∫_a^b lim_m→∞ f_m(x) dx

Teorema di derivazione sotto il segno di integrale

f: I x D¹ → ℝ

D _u⊂Dʹ assito riluttato

f_0, g(t,x) continua ∀( t, xo) ∈ I x I²

∃_dt ∫_a^b g(t,x) dx = ∫_a^b ∂² f _t (x, t) dx

Esempi

• L²([-π,π])

S = {x^m}_m=0,1,..._G.s.

Sono un Wsp per il principio di identità di polinomi.

Polinomi di Legendre. Polinomi ortogonali, infatti in quanto soluzioni polinomiali dell’equazione differenziale (1-x²)y'' - 2xy' + k(k+1)y = 0

Che risolve con il metodo di Frobenius cercando soluzioni come somma di potenze Σa_kx^k allungando poi a_k

• L²(R)

... devo aggiungere un peso

S = {x^me^-x2}_m=0,1,..._G.s.

Funzioni di Hermite soluzioni dell’equazione di Hermite che si risolve col metodo di Frobenius.

• L²(R⁺)

S = {x^me^-x}_m=0,1,..._G.s. Funzioni di Laguerre

Questo è il sistema ortogonale

I = [-π,π]

S = {1/√2π cos mx sin mx / √π√π }_m∈N

Forme ortogonale

S = {e^imx/√2π }_m∈Z

Sistema trigonometro complesso

I due sistemi sono equivalenti almeno si possa da uno all’altro tramite Eulero (e^imx = cos mx + i sin mx)

Problema della migliore approssimazione

• L²(I)

N = {φ₀, φ₁, ...} ortononame

{φ_{01, φm}, ...} siano un Wsp che genera l'intero}

V^m = {Σ_k=1^m a_kφ_k(x) | a_k∈C }

∀f∈L²(I)

∃? minim ||f - v_{m_1/2}||_L² se esiste e l’unico ?

Oss: la funzione f∈L²([−π,π]) è cui esistenza è assicurata dal teorema di Riesz Fisher, tale che

lim_m→∞ ‖f − s_m‖₂=0 (→ valore parziale ‖f‖₂²=∑_k=0∞ |f_k|²)

Def: N={φ_k}: sistema ortonorm. w L²([0,2π])

N è completo ↔ ∀f∈L²([0,2π]) vale identità di Parseval

(↔ s_m→ f w L²([0,2π]) )

Si può dim. chiedendo che il sistema trigonometrico reale e complesso sono completi in L²([0,2π])

Trasformata finita di Fourier

L²([ − π , π ] ) = L²[0,2π] N={ ¹/_2π cosmx , ^sinmx / m∈ℕ } sistema trigonometrico reale

∮_c(k) = ¹/_π ∮ f(x)coskxdx, k∈ℕ₀, ∮_s (k) = ¹/_π∮f(x)sinmxdx , k∈ℕ

La serie di Fourier reale è

f(x) ~ ¹/₂ c(0) + ∑_k=1∞ (∮_c (k)coskx + ∮_s (k )sinmx )

Un polinomio trigonometrico di ordine m ha la forma:

¹/₂a₀ + ∑_m=1 (a_mcos_kx + b_msinmx ) , α_k, b_k∈ℝ

Ogni funzione continua a periodica si può approssimare uniformemente con suo sviluppo trigonometrico (vedi teorema 3.10)

Applicando le formule di Eulero si vede che ogni polinomio trigonometrico si può riscrivere in forma complessa

N= ¹/_√2π e^mx ∑ f_n e^ixk

_{fk = ¹/2π ∫^π−πf(x)e^−ixk dx, k∈ℤ} = e^ixk =  _Ck^ix/ℕ

coskx = ^{eixk  +  e−ixk}, sinmx =   _{^{( emx − S−k)Ck}}

Vale pure “ indotta da con:

C_k=C_i², c_k = ( a_m)_am+ π/2( a_ⁿ)ck

2∫^π_infx(α_kcos1 sinmx

Cosa succede per f∈L¹([0,2π]) ? Hanno senso (i coefficienti ∮f)abilité₂ ∩)

||g_n - g||_∞ = sup |g_n(x) - g(x)| ≥ |g(a) - g(a)| = 1 ∀n negativo

⇒ lim_h→0 ||T_hg - g||_∞ = 1

• La dimostrazione del teo. 2.2 in ℝ è differente e si basasulla def di funzione continua

f ∈ ℝ^[a,b] ∀ε>0 ∃δ: ∀x∈ℝ: |x|0 ∃δ: ∀x: |x|