Numeri Naturali, Appunti

Numeri Naturali

N := {0,1,2,3,…}

N = naturali

:= uguale per definizione

Il simbolo scritto dalla parte dei due punti prende significato da ciò che è scritto dalla

parte dell’uguale.

Assiomi di Peano:

1. Zero (0) è un numero naturale.

n [sigma di (n)],

2. Ad ogni naturale è associato un naturale diverso da 0 detto il

n;

successivo di questa corrispondenza è tale, che ad ogni naturale diverso

corrispondono successivi diversi.

Due numeri naturali diversi NON possono avere lo stesso successivo.

3. Se un insieme A di numeri naturali contiene 0 e contiene il successivo di ogni suo

elemento, allora A = N.

L’insieme N si ottiene da zero, poi il suo successivo, e poi ancora il successivo, tutto

ciò ripetuto infinite volte.

Partendo dalla nozione di successivo si può definire l’addizione, e in base all’addizione

si definisce la moltiplicazione tra numeri naturali.

Addizione:

Zero è il elemento neutro dell’addizione.

n + 0 := n

n + 1 = n + sigma di 0 := sigma di (n + 0) = sigma di (n)

n + 2 = n + sigma di (1) := sigma di (n + 1) = sigma di (sigma di (n))

Proprietà:

1. Commutativa:

a + b = b + a; a*b = b*a

2. Associativa:

(a + b) + c = a + (b + c); (a*b)*c = a*(b*c)

3. Esistenza dell’elemento neutro:

a+0 = a; a*1 = a

4. Distributiva:

a*(b+c) = a*b + a*c

Principio di induzione:

Proposizioni:

Se la famiglia di proposizioni P(n), è vera per un assegnato n naturale, verifica le

condizioni:

P(0) è vera;

per ogni n, dall’ipotesi che P(n) è vera segue che P(n + 1) è vera;

allora P(n) è vera per ogni naturale n.