Appunti di geometria e algebra lineare

GEOMETRIA 2022

Ax = b

• SISTEMA COMPATIBILE: se ammette soluzioni se l'ultimo pivot NON è nella colonna dei termini noti

DETERMINATA: se il numero di pivot è uguale al numero delle incognite.

AMMETTE una sola soluzione.

INDETERMINATA: quando il numero dei pivot (r) è diverso dal numero delle incognite (m) → ∞ soluzioni

• SISTEMA INCOMPATIBILE: se l'ultimo pivot della matrice completa appartiene alla colonna dei termini noti → NON HO SOLUZIONI.

SIMMETRIE (m = m)

A = A^T → a_i,j = a_j,i ∀ i ≠ j

ANTISIMMETRIA

A^T = -A → a_i,j = -a_j,i e a_i,i = 0

MATRICE TRASPOSTA:

(A^T)^T → A = m x m A^T = m x m

PRODOTTO TRA MATRICI: il n° delle colonne di A uguali e numero delle righe di B.

A = ^{(1 2)}_{(3 4)}

B = ^{(1 -1 3)}_{(0 2 2)}

A x B = ^{((1.1)+ (2.0) (1.-1)+ (2.2) (1.3)+ (2.2))}

_{((3.1)+ (4.0) (1.-1)+ (4.2) (3.3)+ (4.2))}

= ^{(1 3 7)}_{(3 5 17)}

Matrici Invertibili

A m×m è invertibile ⇔ ∃ A^-1 tale che AA^-1=A^-1A=I_m

Teorema di Binet

Dato 2 matrici A,B ∈ M(2,2|R) ⇒ ha sempre det(AB)=detA⋅detB

Matrici invertibili e detA ≠ 0 ⇒ A^-1=₁/_detA ^{(d -b)}/_{(-e a)}

Inverti se AB=I ⋅ BA=I ⇒ A è invertibile con A^-1=B

Calcolo della matrice inversa (esempio)

A = _{(2 0 1)}/_{(0 1 0)}/_{(3 2 0)}

1. Stabilire det e vedere se det ≠ 0

det A = _{(2 0)}/_{(3 2) (0 1)}/_{(2 0)} = 0 + ( -6) = -6 ≠ 0

2. Note che l’inversa è A^-1 = ¹/_detA

_{cof(a11) cof(a12) cof(a13)}

_{cof(a21) cof(a22) cof(a23)}

_{cof(a31) cof(a32) cof(a33)}^T

3. Calcolo dei cofattori con la regola di Laplace

cof(a_ij) = (-1)^i+j det(A_i,j)

cof(a₁₁) = (-1)² det _{(2 0)}/_{(2 0)} = 0

cof(a₁₂) = (-1)³ det _{(0 0)}/_{(3 0)} = 0

cof(a₁₃) = (-1)⁴ det _{(0 2)}/_{(3 2)} = -6

cof(a₂₁) = (-1)³ det _{(0 1)}/_{(2 0)} = +2

cof(a₂₂) = (-1)⁴ det _{(1 1)}/_{(3 0)} = -3

cof(a₂₃) = (-1)⁵ det _{(1 0)}/_{(3 2)} = -2

cof(a₃₁) = (-1)⁴ det _{(0 1)}/_{(2 0)} = -2

cof(a₃₂) = (-1)⁵ det _{(1 0)}/_{(2 0)} = 0

cof(a₃₃) = (-1)⁶ det _{(1 0)}/_{(0 2)} = 2

Stesso esempio con matrice a scalini:

A = _1/2 | 4 2 0 | 2 0 1 | | 1 1 |

-2 | 0 0 | -_1/2 -_1/2 | -2 1

1 2 | 1 0 | 1 -1

=

( 1 2 0 1 1 |

0 0 0 | _1/2 1 1 -_1/2 ) =

0 0 0 0

⇒ p = 2

1. ρ(A) < ρ(A') ⇒ sistema incompatibile
2. ρ(A) = ρ(A') = m ⇒ sistema determinato
3. ρ(A) = ρ(A') = p < m ⇒ sistema indeterminato

• se det A ≠ o ⇒ sistema determinato
• se det A = 0 ⇒ sistema indeterminato o incompatibile

Base Spazio Vettoriale

{v₁, v₂, ..., v_m} ⊆ V è una base per V se è un insieme di generatori e indipendente

• insieme minimale di generatori
• ogni vettore è essenziale: no comb. lineare di altri
• componenti o coordinate → sono gli f_n moltiplicati per i vettori della base.

[V]_B = | r₁ | | r₂ | | ... | | r_m | ∈ ℝ^m

Base Canonica

• B_can = {(1 0), (0 1), (0 0), (0 0)}, matrici

⎡ a₁₁ a₁₂ ⎤_BE = ⎡ a₁₁ a₁₂ ⎤> ∈ ℝ⁴ ⎣ a₂₁ a₂₂ ⎦> _BE ∈ ℝ⁴

(a₁₁ a₁₂) = a₁₁ (1 0) + a₂₁ (0 0) + a₂₂ (0 1) (a₂₁ a₂₂) + a₂₁ (1 0) + a₂₂ (0 0)

• B_E = {E₁₁, E₁₂, E₂₁, E₂₂}

• B

  Can

  ={1, x, x², ..., x^d}, Polinomi

[a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_dx^d]_BE = ⎡ a₀ ⎤_BE ∈ ℝ^d+1

Con base canonica ogni vettore ℝ^m coincide con vettore delle componenti.

La base canonica è composta da elementi con 1 in una posizione e 0 altrove.

SOTTOSPAZI DI ℝ^m

A = matrice

righe di A = vettori di ℝ^m

V = spazio generato dalle righe di A → V ⊆ ℝ^m

Le righe di A generano V

• Le righe non nulle di A a gradini sono indipendenti e formano una base per V → dim V = ρ

V = U

• V = sottospazio generato da righe di B(B = A con trasformazioni elementari)
• U = sottospazio generato dalle righe di A

ESEMPIO

Trovare la dim e la base di U, sapendo che A =

• 1 2 5 4
• 0 2 1 2
• 0 0 3 1
• 0 0 0 1

• Riduce la matrice a gradini (in questo caso già lo è)
• Quindi U = <(1, 2, 5, 4), (0, 2, 1, 2), (0, 0, 3, 1), (0, 0, 0, 0)>
• If ρ_A = 3 => quindi i vettori non sono tutti linearmente indipendenti => per trovare base una base me devo togliere uno.
• Possiamo scartare (0, 0, 0, 0) perché è nulla.
• A è a gradini quindi le righe non nulle sono indipendenti e formano una base per U.B = <(1, 2, 5, 4), (0, 2, 1, 2), (0, 0, 3, 1)>
• dim V = n° dei pivot = ρ = 3

COME CERCARE UNA BASE:

A = matrice m x m

B = riduzione a gradini di A

• righe indipendenti di A che corrispondono a righe non nulle di B
• calcolo ρ con minori e prendo righe al minore con det ≠ 0
• vettori non nulli della matrice B
• colonne indipendenti col minori non singolari
• colonne indipendenti di B, ma della matrice iniziali A!

Nucleo e Immagine

K_erf insieme dei vettori v∈V t.c f(V) = o_w

Esempiof: ℝ³→ℝ²f(x₁, x₂, x₃) = (x₁ + x₂, 2x₂ - x₃)

K_erf = {(x₁, x₂, x₃)∈ℝ³ / f(x₁, x₂, x₃) = (0,0)}

x₁ + x₂ = 02x₂ - x₃ = 0x₁ = -x₂x₃ = 2x₂ → (-x₂, x₂, 2x₂)(-1, 1, 2)

Dim K_erf = dimensione del dominio - rgA(m° di eccesso o m° delleincognite di A)m° colonna = 3

senza base canonica

Se non posso definire la base canonica, prendo x se lo consideroun vettore b = x₁v₁, v₂, v₃ → [-v₁ + v₂, 2v₃ = v₂]

f(x₁) = ¹/₀)f(x₂) = ¹/_-1f(x₃) = (-⁰/_-1)(¹/₀, ¹/₀)= (^-1/₂)(0,0)

f è iniettiva se solo se K_erf={o}_v, quindi se l'insieme èindipendente.