Appunti di Algebra lineare e geometria con mappe sintetiche

INSIEMI (EXTRA)

A ⊂ B "A è sottinsieme di B"

Quantificatori:

• Esistenziale: ∃
• Universale: ∀

Intersezione: A ∩ B

Congiuntivo X ∈ A ∧ X ∈ B

Prodotto cartesiano:

A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}

Esempio (x; y) R × R = R²

Logica elementare

p, q, r... proposizioni (Vero o falso)

P(x) proposizione "aperta"

Esempio: p: "è un numero pari" V

p => q => p oppure p ∨ ¬ q

Implica q / se p allora p / ⇔ condizione sufficiente (C.S.) per q

q ⇔ condizione necessaria (C.N.) per p

• Esempio: p: "7 è pari"
• ¬ p: "7 è dispari"
• p ⇒ q ≠ q ⇒ p

Esempio:

Se x è divisibile per 10, allora x è pari.

La x pari. (V)

La x è divisibile per 10 (F) allora q ≠ p

Argomento:

∀x ¬ 7p ⇒ ¬ 7p

VETTORI COLONNA (R^m)

• m - upla di numeri reali ordinati

Forme m ∈ N^*

DEF: u ∈ R^m

u = ^{( x₁ )} _{( ... )} ^{( x_m )}

⬅ componenti di u

Proprietà:

1. ∀ u, v, w ∈ R^m u_i(v+w) = (u_i + v)w
2. ∃ 0_m = ^{( 0 )} _{( ... )} ^{( 0 )} vettore nullo ∀ u ∈ R^m u + 0_m = 0_m + u = u
3. ∀ u ∈ R^m ∃ v = -u u + v = v + u = 0_m (v = -u)
4. ∀ u, v ∈ R¹ u + v = v + u

DEF: in R^m da λ

∀ α ∈ R λu = ^{( λx₁ )} _{( ... )} ^{( λx_m )}

Proprietà: per R^m

1. ∀ λ ∈ R, ∀ u, v ∈ R^m λ(u+v) = λu + λv
2. ∀ λ, β ∈ R ∀ u ∈ R^m (λ+β)u = λu + βu
3. ∀ u, ρ ∈ R ∀ u ∈ R^m λ(βu) = β(λu) = (λβ)u
4. ∀ u ∈ R^o 1u = u neutralità dell’1

IMPORTANTE!

DEF: Sia \( \Sigma_{i} \{ v_{i} \} \) c.s.o. di vettori di V⁵ s.v. ℝ.

Chiamiamo SPAN del vettore \( \{\operatorname{Span} (v_{1}, \ldots, v_{k})\} \) (l'insieme di tutte li c.l. dei v₁...v_k

Oss.1: \( \operatorname{Span} (v_{1}, \ldots, v_{k}) = \{\Sigma_{i} a_{i} v_{i}\} = d_{v_{1}...v_{k}}: x_{1} v_{1} + x_{2} v_{2} + \ldots + x_{k} v_{k} \}, a_{i}, x \in ℝ}

la h-colonna corrispondente a v_i

In particolare \\( \Sigma_{i} x_{i} v_{i} \in v \)

d_v è una c.l. di v s.e. \( v \in \operatorname{Span} (v) ) \)

• \( \operatorname{Span} (v) = \{\Sigma_{i} \beta_{i} v_{i}\} \)
• \( \operatorname{Span} (v) = \{\Sigma_{i} \beta_{i} v_{i} - \beta v_{v}\}, v = \Sigma_{j} v_{j}, \beta_{i} \in ℝ \)
• \(\operatorname{Span} (v) = \{\Sigma_{i} \beta_{i} + \beta v_{v}, v = \Sigma_{j} v_{j}, v \in ℝ \}

Oss: \( \operatorname{Span} (\emptyset) \{x_{k} = x_{l}\} x_{l} \in ℝ = \{\emptyset\} \) insieme finito

in E^o3 \( Q_{i} = 0\) \( E_{nc}^{\emptyset} \Longleftrightarrow E^{\emptyset}_{nc} \) (con v.g. Binomico) quindi: Vi^op < E^o

Sic: \( \overrightarrow{0}

\(\frac{\overrightarrow{\alpha^{o}}}{\overrightarrow{\alpha}}\)

\( \frac{0}{P} \)

\(\overrightarrow{\alpha} = \alpha \overrightarrow{p}\)

\( \alpha \in ℝ \)

Oss. \( \operatorname{Span} (o^{p}) \) ^{C s} \( \overrightarrow{OQ} \in \operatorname{Span} (x)? \) Si.

\(\frac{\overrightarrow{o}}{\sigma}\)

< \( V \nparallel \alpha o \overrightarrow{P}\equiv \nu \in \overrightarrow{oz}\)

x \( A \in ℝ \), \( \chi= y \)

Alternativi: \(\alpha = y\)

Oss1: Qualsiasi V^S s.V .R. e qualsiasi x\(\sum_{1}, y v x \in v^{P}, Qv\) x)) b ∈ R , f (a + b) = f(a) + f(b).

f (a,b) = f (a) f (b) pure f : R(0,x) ->R

R[_x, x₂, ..., x_m] e il insieme di tutti .. polinomi a coeff. rael ralle variabile x₁, x₂..., x_m.

Q[x] L'insieme di tutti polinomi a coeff...nazionali delle varie C.b.x

Un polinomio, si dice omogeneo si ottiene un equazione lineare.

x 0 , l'equazione e linear ungania

Dite a(x) b C(x) ≠ 0, neg(x) c(r(x) _R[9] λ(x) a(x) = b (x) q(x) + r(x)

deg < x ^{deg b(X)}) q(x) .. ditto quoziente al r(x) resto.

x(x) r(x) = 0

e (x) = b(x)q(x) e quini b(x) = un polinomi a (x) λ a(x) x divide x, X, b(x).