Appunti Algebra lineare anno 2024/25, matematica

B=(

) =

'

C=(

)

Per ogni v in V valgono le seguenti uguaglianze:

CB(v)=(x1…xn) → = ∑

=1

CB’(v)=(x’1…x’n) → = ∑ ''

=1

CL(v)=(y1…ym) → () = ∑

=1

CL’(v)=y’1…y’m) → () = ∑ ''

=1

Abbiamo dimostrato che A(x1…xn)=(y1…yn)

D(x’1….x’n)=(y’1….y’m)

B(x1…xn)=(x’1…x’n)

C(y1…ym)=(y’1…y’m) −1 −1 −1

Dunque, A(x1…xn)=(y1…yn)= .

('1... ') = ('1... ') = (1... )

Uguagliando primo e ultimo membro si ottiene che:

−1 −1

A(x1…xn)= → . (1) Equivalentemente si può dire che

(1... ) =

' '

(

) = ( )

' '

Definizione: due matrici A,B appartenenti a M(mxn,K) si dicono equivalenti se

invertibile e invertibile tali che B=YAX

∃ ∈ (, ) ∃ ∈ (, )

'

Osservazione: (1) dice che ( e ( sono equivalenti. Viceversa, se A e B sono

) )

'

equivalenti, allora A e B sono matrici associate ad una stessa applicazione lineare rispetto a

basi diverse.

Dimostrazione del viceversa:

invertibile e invertibile tali che B=YAX, V=K^n, W=K^m.

∃ ∈ (, ) ∃ ∈ (, )

, FA(x)=Ax. Siano B= e L= due basi standard, la prima di

: −> {

1,...,

} {

1,...,

}

1

{ }

K^n la seconda di K^m. Chiamate B’= le colonne di X, insieme che è base di K^n, si

...,

ha che FX: è un’applicazione invertibile ( .

−> = = ()

−1 −1 1 −1

{ }

Inoltre, L’=colonne di .

= ( ) .... ( )

, Id( (j indica la colonna della

= ( ) = ) = = (1... ) = 11 +... +

' '

matrice, dunque rimane sempre uguale).

A=matrice associata ad FA=

.

( ) = − () = = (1... ) = ∑

=1

' ' '

Invece B=YAX= . In conclusione,

( ) ⇔ ( 1) ( ) = ( ) =

' ' '

abbiamo dimostrato la seguente proposizione:

Due matrici A,B in M(mxn,K) sono equivalenti se e solo se sono le matrici associate ad una

stessa applicazione lineare rispetto a basi diverse.

Definizione: A,B in M(nxn, K), A si dice simile a B se esiste X in M(nxn,K) invertibile tale che

−1 .

=

Osservazione: la similitudine è una relazione di equivalenza

Definizione: sia V uno spazio vettoriale su K, F: V→V applicazione lineare si dice un

OPERATORE LINEARE o ENDOMORFISMO (dominio e codominio coincidono).

Sia F: V→V un operatore lineare, dimV=n, fissiamo B= una base di V.

{

1,...,

}

( ) =

'

Sia B’= un’altra base di V, D:=

{

'1,..., '

} ( )

' ' '

Per quanto dimostrato prima, si può dire che . (matrice del

( ) = ( )

' '

cambiamento di base ma in verso opposto) Le matrici A e D sono simili, dunque abbiamo

dimostrato che 2 matrici associate allo stesso operatore lineare rispetto a basi diverse, ma

scegliendo la stessa base in partenza e in arrivo, sono simili. −1

Viceversa: supponiamo che A e D sono simili → .

∃ ∈ (, ) ℎ =

Sia B= lla base standard di K^n. B’=

{

1,...,

}

−1

{ } , se A=

; = * : −> , ↦ =

−1 ' , allora

( ) ; = −> =

'

−1 −1 −1 −1 ' ' '

= (( ) · ( ) ) , , ( ) = * * ⇒ = ( ) = (1)( )

' ' '

(nota bene: le matrici in M del penultimo membro sono le inverse per cui ho moltiplicato sia a

destra che a sinistra nella prima uguaglianza.

D e A sono le matrici associate all’operatore lineare.

FA: K^n→K^n è un'applicazione rispetto a basi diverse di K^n, scegliendo la stessa base in

partenza e in arrivo. In conclusione abbiamo dimostrato che due matrici quadrate sono simili

se e soltanto se sono le matrici associate ad uno stesso operatore lineare rispetto a basi

diverse, ma con stessa base in partenza e in arrivo. La similitudine vale solo per le matrice

quadrate però, altrimenti non tornerebbe il prodotto righe per colonne.

Osservazione: Siano due matrici A,B in M(nxn,K), con A e B simili, allora A e B sono

equivalenti, ma non è vero il viceversa.

Ad esempio le matrici I2 e ( ) non sono simili. Infatti, se lo fossero esisterebbe una

−1

matrice X in GL(2,K) tale che , ma questo è assurdo perché B non è I2.

= = 2

Altro esempio: , X e Y sono invertibili perché X è

I2 mentre Y lo è perché le colonne sono linearmente indipendenti → A e B sono equivalenti.

Questo vale in generale, con A=In e B=( )

Osservazione: A in M(nxn,K) è invertibile se e solo se le colonne di A sono una base di K^n

(dimostrazione dell’implicazione scritta poche righe sopra).

Dimostrazione:

→) A=(A’...A^n); base di K^n e

= = (). : −> è , {

1,...,

}

FA iniettiva (vero perché (FA)^-1= . Allora segue che è una base di

) {

(1)... ()

}

−1

K^n 1

{ }

←) A=(A’...A^n), FA: K^n→ K^n deve essere

.... è , = (),

dimostrata come biunivoca:

-​ suriettività: . Dato che FA è lineare →

· ∀ ∈ , = (1... ) = ∑

=1

per la linearità di F. Dunque è

∃(1... ) ∈ . . = ∑ () = ( ∑ )

=1 =1

suriettiva

-​ iniettività: siano v,w in K^n tali che FA(v)=FA(w).

. Si può dire che FA(v)=A( )

= ∑ = (1... ); = (1... ) = ∑ ∑

=1 =1 =1

e che FA(w)= ). Moltiplicando la matrice a per la matrice Ej (sommatoria di

( ∑

=1

tutte le ej da 1 a n) si può concludere che . Ma

−> ∑ = ∑

=1 =1

1

{ } , quindi l’uguaglianza scritta nel

,... è ( )

passaggio precedente è vera se e solo se 0 → xj-zj=0→xj=zj

∑ ( − ) =

=1

per ogni j=1…n → v=w. Per cui, essendo biunivoca, FA è invertibile, quindi esiste

(FA)^-1: lineare tale che B= , con B base standard.

−> ( )

−1

()

−1 −1

Come conseguenza, per ogni x in K^n x= FA(x)= x)=BAx → BA=In;per ogni

◦

() () (

−1

y in K^n y= (y)= y)=(AB)y→ BA=In. Dunque AB=In e A è invertibile.

◦()

()(

Definizione: siano V e W due spazi vettoriali su K e F: V→W un’applicazione lineare. Si

definisce nucleo di F l’insieme KerF= . ImF=

{

∈ |() = 0

}

.

{

∈ |∃ ∈ . . () =

} ⊆

Proposizione:

(a)​ KerF è un sottospazio vettoriale di V

(b)​ ImF è un sottospazio vettoriale di W

(c)​ F è iniettiva

⇔ = {

0

}

(d)​ F è suriettiva ImF=W

⇔

Dimostrazione:

(a)​ 0v perché F(0v)=0w. Per ogni v1,v2 in KerF devo dimostrare che

∈ 1 + 2

appartiene a KerF; per la linearità di F: F(v1+v2)=F(v1)+F(v2)= (dato che v1 e v2

stanno nel nucleo) 0 w + 0w=0w. In modo analogo, per il prodotto scalare:

, devo dimostrare che

∀ ∈ , ∀λ ∈ 0w=0w → KerF

λ ∈ : (λ) = (à ) λ() = λ · λ ∈

(b)​ 0w=F(0v) → 0w appartiene a ImF; devo dimostrare che w1+w2

∀1, 2 ∈

appartiene ImF. .

∃1, 2 ∈ : 1 = (1), 2 = (2)

w1+w2=F(v1)+F(v2)=F(v1+v2) per la linearità di F → w1+w2 appartiene a ImF.

∀ ∈ , ∀λ ∈ , ℎ λ ∈ −> ∈ ⇔ ∃ ∈ : () =

per la linearità di F →

λ = λ() = (λ) λ ∈

(c)​ F è iniettiva: 0w, ma F(0v)=0w, qu