Formulario completo di Geometria e algebra lineare (schemi e formule)

V W

noti (il vettore ).

~b

Quando puoi usarlo? vengono rappresentati partenza e arrivo).

solo se il sistema è compatibile

con una soluzione (quindi se è quadrata). 1. Se rappresenta una funzione in delle basi di

A A B ,B

V W

partenza e arrivo, si può ottenere la matrice in nuove

2. Metodo della Matrice Inversa: .

~b ~b

−1

⇒

A~x = ~x = A

Quando puoi usarlo? basi con l'operazione

solo se il sistema è compatibile

con una soluzione (quindi se è quadrata).

A −1

3. Metodo della Sostituzione: quello che usi già per trovare A = M A M

0 0 0 0

B

B B →B B →B

,B

,B V W

W V

V W W V

le basi degli spazi vettoriali.

Quando puoi usarlo? Se le basi di partenza sono le basi canoniche, la formula

sempre, sopratutto se il sistema diventa

ha molte incognite e poche equazioni. −1

A = M AM

0 0

B 2

,B

4. Algoritmo di Gauss: una volta ridotta a gradini , 1

V W

(A|b) dove sono le matrici che hanno come colonne,

svolgi il sistema molto più semplice. M 1,2

Quando puoi usarlo? rispettivamente, i vettori di e .

0 0

sempre, sopratutto se il sistema B B

V W

ha tante equazioni e tante incognite. 2. Se chiede di trovare la base tale per cui diventa ,

A B

svolgi la formula inversa e trova la matrice cambiamen-

Metodo dei Minimi Quadrati:

ˆ to di base: le sue colonne sono i vettori della base che

Se il sistema è incompatibile, posso comunque tro-

~b

A~x = permette la trasformazione.

vare le soluzioni del sistema con inteso come il

A~x = p

~ p

~ 3. Se è data tramite indizi, e chiede di trovare la matrice

vettore appartenente all'immagine di più vicino possibile f

A in delle nuove basi, riscrivi direttamente gli indizi

a . Il sistema diventa

~b A

nelle nuove basi e poi svolgi il sistema.

~b

T T

A A~x = A

(e lo svolgi con uno dei metodi descritti prima) 1 3

nella base e

B

Es. f (1, 2) = (6, 4, 3) = ,

V 2 0

1. Se rk è massimo, allora risolvi direttamente con

A  

     

6 0 0

~

−1

T T

~x = (A A) A b   diventa

B 0 4 0

= , , f (1, 0) = (1, 1, 1)

W      

con detta matrice .

−1

T T

(A A) A pseudoinversa 0 0 3

 

2. Il vettore lo si trova sapendo che , quindi

p

~ p

~ = A~x Basi Ortonormali:

ˆ Una base composta di vettori ortonormali semplica di

con

P~b −1 U

T T

p

~ = P = A(A A) A molto le cose:

viene chiamata matrice di .

P proiezione ortogonale

In una base ortonormale (vedi voce "Gram-Schmidt") 1. Il cambiamento di base per vettori lo si ottiene facendo

. solo i prodotti scalari con i vettori di :

T U {û

P = AA = , û , ...}

1 2

Se ti chiedono di vericare che è la matrice di proie-

P

zione su , verica solo che  

·

~v û

A 1

·

~v û

~v = 2

Im Im  

T 2 U ..

P = P P = P P = A  

.

least square distance

3. La minima distanza ( ) tra e è

~b p

~ 2. La matrice cambiamento di base , da alla canonica,

U

U

~ ~ ~

||~ − ||(P −

d(~

p, b) = p b|| = I)

b|| è ortogonale, quindi vale ;

T

A = U AU

U

Diagonalizzabilità:

3. La matrice di proiezione su Im , se Im è espressa ˆ

P A A

in una base , diventa Una matrice quadrata è se è possibile fare

.

T

U P = A A diagonalizzabile

U U un cambiamento di base che la renda diagonale, tramite il

4. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt: cambiamento di base , con

−1

D = P AP

i−1 ·

~v w

~ .. .. ..

i j

X 



− w

~

w

~ = ~v   . . .

λ ... 0

j

i i 1

·

w

~ w

~ .. ..

..

j j

j=1  

.

. . ~v ... ~v

P =

D =   1 n

 

.. .. ..

   

w

~ . . .

0 ... λ

Ortonormalizzazione: .

i n

û =

i || ||

w

~ i

Primi 3 vettori: Su devo mettere in diagonale gli autovalori (e ripeterli se

D ) e su devo mettere in colonna gli autovettori

m (λ) > 1 P

·

~v w

~ a

2 1 (nello stesso ordine con cui ho disposto i su ).

− w

~ ,

w

~ = ~v , w

~ = ~v

B B λ D

1 1 2 2 1

·

w

~ w

~

1 1

· ·

~v w

~ ~v w

~

3 1 3 2 Una matrice è diagonalizzabile se valgono

− −

w

~ = ~v w

~ w

~

B 3 3 1 2

· ·

w

~ w

~ w

~ w

~

1 1 2 2

Per trovare una base di , non ortogonalizzare vet- n

n n

R e

X ∀ ≤

m (λ ) = n m (λ ) = m (λ ) i n

tori a caso: a partire da uno spazio , trova e or-

⊥ a i a i g i

U U

togonalizza separatamente i due spazi (così l'algoritmo i=1

diventa più semplice da usare). Se abbiamo autovalori distinti (tutti con ), è

n m = 1

a

SICURAMENTE diagonalizzabile;

DIAGONALIZZAZIONE: Decomposizione Spettrale: −1

A = P DP

Autovalori e Autovettori:

ˆ Usala per trovare a partire da autovalori e autovet-

A

Se un vettore , allora è un di , tori, oppure per trovare una potenza di matrici.

A~v = λ~v ~v autovettore A

mentre è l' associato.

λ autovalore .. .. ..

.. .. .. −1

 

 

1. Calcolo degli Autovalori: k

  . . .

. . . λ ... 0

1

. ..

.

Svolgi l'equazione del polinomio caratteristico. . .

k  

  .

. . ~v ... ~v

~v ... ~v

A =   1 n

1 n  

 

.. .. .. .. .. ..

   

  kn

. . . . . .

0 ... λ

det −

(A λI) = 0

Se è una e se la matrice ha una colon- Le matrici simmetriche ( ) sono

− ×

A λI 3 3 T ortogonal-

A = A

na o riga con due zeri, calcola il determinante con , cioè diagonalizzabili e con

mente diagonalizzabili

Laplace anziché Sarrus : in questo modo scomponi autovettori (appartenenti a diversi) ortogonali tra lo-

λ

subito l'equazione di terzo grado in un prodotto ro.

tra una di primo e una di secondo, quindi niente Se hai più autovettori associati a un solo ( )

λ m (λ) > 1

a

teorema di Runi! verica che siano ortogonali. Se non lo sono, usa Gram-

e hanno gli stessi autovalori; Schmidt.

T

A A Se normalizzi gli autovettori, allora diventa ortogo-

Le matrici ortogonali ( ) hanno solo au-

−1 P

T

A = A nale, e quindi e la decomposizione è molto

tovalori pari a ; T

A = P DP

±1 più semplice.

Se è triangolare, gli autovalori sono tutti gli ele-

A

menti sulla diagonale principale ( );

∀ ≤

λ = a i n Matrici Simili:

ˆ

i ii

Relazioni con traccia e determinante: Due matrici e si dicono simili se esiste una matrice

A B P

tale per cui .

−1

A = P BP

n n

tr det

X Y

A = λ A = λ Se devi trovare la matrice , poni ;

i i P AP = P B

i=1 i=1 Una matrice diagonalizzabile è simile a una matrice

Se è una vale la relazione

×

A 2 2 diagonale (quella con gli autovalori);

Se due matrici sono diagonalizzabili e con gli stessi

tr det

2 − λ

p(λ) = λ Aλ + A (e con gli stessi ) allora sono simili;

{z }

| m (λ)

polinomio caratteristico a

stessi autovalori

Due matrici simili hanno (ma non

2. Calcolo degli Autovettori: stesso rango stessa traccia

stessi autovettori), , e

Sostituisci al posto di uno degli autovalori , e trovi

λ λ stesso determinante

.

0

il ker di −

A λ I Se devi vericare che sono simili, parti dal vericare

0 le cose più semplici. Se, ad esempio, tr tr , allora

6

A = B

~

−

(A λ I)~v = 0

0 concludi subito che non sono simili.

Il Nucleo è l'insieme degli autovettori con .

λ = 0 ALGEBRA BILINEARE:

3. Molteplicità: Forme Bilineari:

ˆ

La molteplicità è il numero di volte in

algebrica m (λ)

a Una Forma Bilineare è una funzione che

cui risolve l'equazione degli autovalori, la molteplicità r c

× →

F :

λ R R R

opera su 2 vettori ( e ) e restituisce uno scalare.

è il numero di autovettori associati r c

∈ ∈

~x y

geometrica m (λ) R R

g

allo stesso .

λ r c

Scrivi sempre il polinomio in modo fattorizzato così da X X T

F (~x, ~y ) = a x y = ~x A~y

ij i j

avere chiare le molteplicità algebriche i=1 i=1

con gli elementi di pari ai coecienti .

m (λ ) m (λ )

− −

p(λ) = (λ λ ) (λ λ ) ...

a 1 a 2 A a

1 2 ij

1. Se , è , con .

Vale sempre . T

≤ ≤ F (~x, ~y ) = F (~y , ~x

) F simmetrica A = A

1 m (λ) m (λ)

g a

2. Cambiamento di Base per forme Bilineari: il criterio di Slyvester:

Se subisce il cambio e il cambio si basa sui minori di , ovvero quelle matrici otte-

0

B → B B →

~x ~y Q Q

V W i

V

, la forma bilineare si riscrive come nute prendendo solo le prime -esime righe e colonne (a

0

B i

W partire da nord-ovest).

T

A = M A M

0 0 0

B

B B →B

0 ,B

,B B →B W

V W

V

V W W

V

V ( det è denita positiva

∀ ≤ ⇒

Q > 0 i n Q

Se e sono nello stesso spazio, è quadrata, e Se i

~x ~y A det è denita negativa.

i

per passare dalla base canonica a una base vale ∀ ≤ ⇒

(−1) Q > 0 i n Q

B i

0 T

A = M AM denita: per le ×

3 3

con che è la matrice che ha come colonne i vet-

a a

M det det

positiva 11 12

a > 0, > 0, Q > 0

tori di . 11 a a

B {~v

= , ~v , ...} 12 22

1 2

Puoi però, più furbamente, calcolare in tutte le

F

a a

negativa det det

11 12

a < 0, > 0, Q < 0

possibili coppie di vettori di e ottenere 11

B a a

12 22

semi pos. come caso positiva ma almeno u